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1、热点专题1 新定义型问题综观2019年中考“新定义”问题的解答，效果并不是很理想，普遍出现“题没看清、没看懂”、“理解错了”等状况，究其原因是阅读理解能力太弱.这就要求我们在平时关注理解能力的培养，从而使学生综合分析解决问题的能力得到提升. 1.“新定义”问题的概念及特征 “新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，通过分析近年来中考试
2、卷中出现的这类“新定义”型试题大致分为三种类型：（1）定义“新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型. 2.“新定义”问题类型和常用解题方法 （1）定义“新规则，新运算”型 “新规则，新运算”型一般是先通过阅读示例的解题过程，理解方法要点，并体会蕴含其中的数学思想；再由特殊到一般对新方法加以应用，特别是在解决一般情况时要注意题目中看似不经意的限制条件. （2）定义数学新概念型 定义数学新概念型在中考试题中一般以中档题出现，能较好的考查学生领悟定义的性质与判定的功能，认真审题、缜密思维的习惯以及对数学知识的综合运用能力、迁移能力和发现探究能力. （3）定义新函数，新
3、知识型 定义新函数，新知识型主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力.解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质. 3. “新定义”问题类型应对策略 数学教学也就是数学语言的教学，这是因为数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表达出来并获得理解、掌握、交流和应用.因此，在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法.在中考复习中，要关注初、高中内容的衔接，对与初中数学知识密切相关，或简单的高中数学问题要尽量关注,适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的
4、教学活动. 考向1定义新概念1.（2019岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x11x2，则c的取值范围是（ ）Ac3 Bc2 C Dc12（2019山东临沂）一般地，如果x4=a（a0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个它们互为相反数，记为，若=10，则m=_3（2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab=（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）=24，则m=_4.（2019常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形根据规
5、定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，1)，P是二次函数y=x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是 （填序号） 5（2019陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A=80，则它的特征值k= 6. （2019重庆A卷）道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时
6、，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等现在我们来研究另一种特珠的自然数“纯数”定义：对于自然数n，在计算n(n1)(n2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算323334时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算232425时，个位产生了进位（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数7.(2019宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余
7、四边形;(2)如图2,在54的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,求邻余线AB的长.8.（2019达州）箭头四角形模型规律，如图1，延长CO交AB于点D，则BOC=1+B=A+C+B. 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“BOC=A+C+B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用：.（1）直接应用：如图2，A+B+C+D+E+F=_如图3，ABE、ACE的2等分线（即角平分线）BF、C
8、F交于点F，已知BEC=120BAC=50，则BFC=_.如图4，BO、CO分别为ABO、ACO的2019等分线（i=1，2，3，2017，2018），它们的交点从上到下依次为O，O，O，O. 已知BOC=m，BAC=n，则BOC=_度（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC=CD ，BCD=2BAD. O是四边形ABCD内的一点，且OA=OB=OD. 求证：四边形OBCD是菱形.9.（2019 扬州）如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段请依据上
9、述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角中，则；（2）如图2，在中，求的面积；（3）如图3，在钝角中，点在边上，求，考向2 定义新运算1.（2019济宁）已知有理数a1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=1，1的差倒数是如果a1=2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，依此类推，那么a1a2a100的值是（）A7.5 B7.5 C5.5 D5.52. （2019深圳）定义一种新运算：=，例如：=19=8，若=2，则m=（ ）A2 B C2 D3. （2019襄阳）定义：a*b=，则方程2*(x3)=1*(2x)的解为_4.(2019枣庄)对于实数a、b，定义关于的
10、一种运算：ab=2a+b.例如34=23+4=10.(1)求4(3)的值；(2)若x(y)=2，(2y)x=1，求x+y的值.5.（2019毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，用，表示这三个数的平均数，用，表示这三个数中最小的数例如：，2，2，1，请结合上述材料，解决下列问题：（1），； ，；（2）若，求的值；（3）若，求的取值范围6.（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c（1）解方程填空：若
11、=45，则x=；若=26，则y=；若=，则t= ；（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被整除，一定能被整除，mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这
12、样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” 该“卡普雷卡尔黑洞数”为；设任选的三位数为（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数考向3 定义新函数1.（2019 荆州）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点在一次函数y=kx+t（k0）的图象上，则称y=ax2+bx+c（a0）为y=kx+t（k0）的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数（1）若y=x24是y=x+p的伴随函数，求直线y=x+p与两坐标轴围成的三角形的面积.（2）若函数y=mx3（m0）的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值2.（2019济宁）阅
13、读下面材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f(x1) f(x2)，则称f(x)是增函数；（2）若x1x2，都有f(x1) f(x2)，则称f(x)是减函数例题：证明函数f(x)=(x0)是减函数证明：设0x1x2，f(x1) f(x2)=0x1x2，x2x10，x1x200，即f(x1) f(x2)0f(x1) f(x2)，函数f(x)=(x0)是减函数根据以上材料，解答下面的问题：已知函数（x0），（1）计算：f(3)=_，f(4)=_；（2）猜想：函数（x0）是_函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想3.（2019
14、金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点P为抛物线y=（x2）2m2的顶点（1）当m=0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围4. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：
15、d（A，B）=|x1x2|+|y1y2|（1）已知点A（2，1），则d（O，A）= 函数y=2x+4（0x2）的图象如图所示，B是图象上一点，d（O，B）=3，则点B的坐标是 （2）函数y=4x（x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）=3（3）函数y=x25x+7（x0）的图象如图所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）5.（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=，y=，那么称点T是点A，B的融合点.例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=1，y=2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点.（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）.请说明其中一个点是另外两个点的融合点.（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点. 试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H，当DTH为直角三角形时，求点E的坐标.