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1、中考数学几何模型2：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形*常见结论：连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：（1）（2）（3）（4）典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 以点A为顶点作等腰RtABC，等腰RtADE，其中BACDAE90，如图1所示放置
2、，使得一直角边重合，连接BD、CE（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F试求BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由【解答】解：（1）CEBD，理由如下：等腰RtABC，等腰RtADE，AEAD，ACAB，在EAC与DAB中，EACDAB（SAS），CEBD；（2）EACDAB，ECADBA，ECA+CBFDBA+CBF45，ECA+CBF+DCB45+4590，BFC1809090；（3）成立，等腰RtABC，等腰RtADE，AEAD，ACAB，在EAC与DAB中，EACDAB（SAS），CEBD；E
3、ACDAB，ECADBA，ECA+CBFDBA+CBF45，ECA+CBF+DCB45+4590，BFC1809090变式练习1. 已知：如图，ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90（1）求证：BDAE（2）若ABDDAE，AB8，AD6，求四边形ABED的面积【解答】解：（1）ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCEACBDCE90，ACB+ACDDCE+ACD，即BCDACE在BCD和ACE中，BCDACE（SAS），BDAE；（2）由（1）得：BCDACE，CBDCAE，CBP+BPC90，BPCAPD，EAC+APD90，AHB90，BAH+A
4、BD90，DAEABD，BAH+DAE90，即BAD90，AB8，AD6，BDAE10，S四边形ABED1010250例题2. 如图，等边ABC，等边ADE，等边DBF分别有公共顶点A，D，且ADE，DBF都在ADB内，求证：CD与EF互相平分. 变式练习2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得ADAE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点【解答】解：连接BP，ABC和PCD都为等边三角形，ACBC，DCPC，ACBDCP60，ACBDCBDCPDCB，即ACDBCP，ACDBCP（SAS），ADBP，又RAB+BAC+QA
5、E180，R，A，Q三点共线，又CBPCAD60，RBA+ABC+CBP180，R，B，P三点共线，又AQAEADBP，RQRA+AQRB+BPRP，又R60，PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点例题3. 在等边ABC与等边DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若ABC，DCE为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明. 例题4. 【问题探究】（1）如图已知锐角ABC，分别以AB、AC为腰，在ABC的外部作等腰RtABD和RtACE
6、，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CDBE；（不必证明）【深入探究】（2）如图ABC、ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BCCE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图，在四边形ABCD中，ABCACBADC45若BD9，CD3，求AD的长【解答】解：（1）ABD和ACE是等腰直角三角形，ABAD，AEAC，且DABEAC90，DAB+BACEAC+BAC，即BAEDAC，在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），CDBE，故答案为：CDB
7、E（2）ABC、ADE都是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90，BAD+DACCAE+DAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），CEBD，ACEB45，又BCBD+CD，ACE45，BCCE+CD，DCE90，CD2+CE2DE2，BDCE，DEAD，CD2+BD22AD2故答案为：BCCE+CD例题5. 如图1，在ABC中，BC4，以线段AB为边作ABD，使得ADBD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DCDE，CDEADB（1）如图2，当ABC45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段E
8、F，连接BF，AF若90，依题意补全图3，求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）【解答】解：（1）AD+DE4，理由是：如图1，ADBEDC90，ADBD，DCDE，AD+DEBC4；（2）补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，ADBCDE90，ADEBDC，在ADE与BDC中，ADEBDC，AEBC，AEDBCDDE与BC相交于点H，GHEDHC，EGHEDC90，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，EFCB4，EFCB，AEEF，CBEF，AEFEGH90，AEEF，AEF90，AFE45，AF4；达标检测 领悟提升 强化落实1. 如
9、图，在等边ABC与等边DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GHBE. 2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NCAF.3. 如图，在等腰RtABC与等腰RtDCE中，ABC=DCE=90，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在ABC中，AB=AC=10，BAC=45，以BC为腰在ABC外部作等腰RtBCD，BCD=90，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向ABC外作等腰
10、直角ABE请你以A为直角顶点、AC为腰，向ABC外作等腰直角ACD（不写作法，保留作图痕迹）连接BD、CE那BD与CE的数量关系是BDCE【拓展探究】如图2，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，ADC60，BC15，AB8，ADCD，求BD的最大值【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作MAC的平分线AN，在AN上截取ADAC，连接CD，即可得到等腰直角ACD；连接BD、CE，如图1所示：ABE与ACD都是等腰直角三角形，ABAE，ADAC，BAECAD90，B
11、ADEAC，在BAD和EAC中，BADEAC（SAS），BDCE，故答案为：BDCE；【拓展探究】解：BDCE；理由如下：四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，ABAE，ADAC，BAECAD90，BADEAC，在BAD和EAC中，BADEAC（SAS），BDCE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则BAE60，BEABAE8，ADCD，ADC60，ACD是等边三角形，CAD60，ACAD，CAD+BACBAE+BAC，即BADEAC，在BAD和EAC中，BADEAC（SAS），BDCE；当C、B、E三点共线时，CE最大BC+BE15+823，BD的最
12、大值为236. 已知线段AB直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F（1）当点F在线段BD上时，如图，求证：DFCECF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图；当点F在线段DB的延长线上时，如图，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图、图中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD2BF，EF6，则CF2或6【解答】（1）证明：如图中，设AD交EF于OABC，ADE都是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60，BADCAE，ABDACE（SAS），CEBD，AEOFDO，AOEFOD，OFDOAE60，ABBC，ABD90，ABC60，CBF30，OFDCBF+BCF，FBCFCB30，CFBF，DFCECF（2）如图图中，结论：DFCFCE图中，结论：DFCE+CF；如图中，ABDACE，BDEC，ADBAEC，ADB+ADF180，AEF+ADF180，DAE+DFE180，DFE120，FBCFCB30，FBFC，DFBFBDCFCE（3）如图1中，BD2DF，设BFDFCFx，EF6，BDEC，3x6，x2CF2如图中，设BFCFx，则BD2x，BDEC，EF6，6+x2x，x6，CF6，综上所述，CF2或6故答案为2或6