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1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题06 几何综合探究变化型问题【真题再现】1（2019年宿迁中考第28题）如图，在钝角ABC中，ABC30，AC4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将BDE绕点B逆时针方向旋转度（0180）（1）如图，当0180时，连接AD、CE求证：BDABEC；（2）如图，直线CE、AD交于点G在旋转过程中，AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将BDE从图位置绕点B逆时针方向旋转180，求点G的运动路程【分析】（1）如图利用三角形的中位线定理，推出DEAC，可得BDBA=BEBC，在图中，利用两边
2、成比例夹角相等证明三角形细相似即可（2）利用相似三角形的性质证明即可（3）点G的运动路程，是图1中的BG的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可【解析】（1）如图中，由图，点D为边AB中点，点E为边BC中点，DEAC，BDBA=BEBC，BDBE=BABC，DBEABC，DBAEBC，DBAEBC（2）AGC的大小不发生变化，AGC30理由：如图中，设AB交CG于点ODBAEBC，DABECB，DAB+AOG+G180，ECB+COB+ABC180，AOGCOB，GABC30（3）如图1中设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向左边等边ACO，连接OG，OB以O为圆心，OA为半径作O
3、，AGC30，AOC60，AGC=12AOC，点G在O上运动，以B为圆心，BD为半径作B，当直线与B相切时，BDAD，ADB90，BKAK，DKBKAK，BDBK，BDDKBK，BDK是等边三角形，DBK60，DAB30，BOG2DAB60，BG的长=604180=43，观察图象可知，点G的运动路程是BG的长的两倍=83点评：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题2（2019年连云港中考第27题）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点
4、（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分
5、别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG=52，请直接写出FH的长【分析】问题情境：过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NFMB，证明ABEBCF得出BECF，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，证出DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，证明RtAHQRtQIE得出AQHQEI，得出AQE是等腰直角三角形，得出EAQAEQ45，即可得出结论；（2）连接AC交BD于点O，则APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，由
6、等腰直角三角形的性质得出ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，证明APBCPB得出BAPBCP，证明RtPGNRtNHP得出PGNH，GNPH，由正方形的性质得出PDG45，易得出PGGD，得出GNDH，DHPH，得出PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，即可得出结果；问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EGAG=52，PHFH，得出AE5，由勾股定理得出BE=AE2-AB2=3，得出CEBCBE1，证明ABEQCE，得出QE=13AE=53，A
7、QAE+QE=203，证明AGMABE，得出AM=258，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，求出BM=AM2-AB2=78，AC1，证明AFCMAB，得出AF=257，DF4-257=37，证明DFPDAQ，得出FP=57，得出FH=12FP=514【解答】问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90，ABBCCD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+AEB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在ABE和
8、BCF中，BAE=CBFAB=BCABE=BCF=90，ABEBCF（ASA），BECF，DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和RtQIE中，AQ=QEAH=QI，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF4
9、5；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，点P在BD上，APPC，在APB和CPB中，AP=PCBP=BPAB=BC，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，PNA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，PNG+NPG90，NPGPNH，PNGN
10、PH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP中，NPG=PNHPN=PNPNG=NPH，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH，BD是正方形ABCD的对角线，PDG45，易得PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，点S为AD的中点，DS2，则PS的最小值为2；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EGAG=52，PHFH，AE5，在RtABE中，BE=AE2-AB2=3，CEBCBE1，BECQ90，AEBQEC，ABEQCE，AEQE=BECE=3，QE=13AE=53，AQ
11、AE+QE=203，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，AMAE=AGAB，即AM5=524，解得：AM=258，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM=AM2-AB2=78，AC1，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，AFAM=ACBM=178，解得：AF=257，DF4-257=37，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，FPAQ=DFAD，即FP203=374，解得：FP=57，FH=12FP=514点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
12、的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键3（2019年无锡中考副卷第28题）如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD（1）请找出图中与ABE相似的三角形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到AB=2BC42，根据勾股定理得到AF=AB2-BF2=(42)2-22=27，如图1，当AE在AB左上方
13、时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；（3）如图3，延长EF到G使FGEF，连接AG，BG，求得BFG是等腰直角三角形，得到BG=2BF22，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论【解析】（1）ABECBD，在RtABC中，ACBC4，ACB90，ABCEBD45，ABECBD，ABBC=2，BEBD=2，ABBC=BEBD，ABECBD；（2）ABECBD，AECD=BEBD=2，CD=22AE，ACBC4，ACB90，AB=2BC42，当A、E、F三点在一直线上时，AFB90，AF=AB2-BF2=(42)2-22=27
14、，如图1，当AE在AB左上方时，AEAFEF27-2，CD=14-2；如图2，当AE在AB右下方时，同理，AEAF+EF27+2，CD=14+2；综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为14-2或14+2；（3）如图3，延长EF到G使FGEF，连接AG，BG，则BFG是等腰直角三角形，BG=2BF22，设M为AE的中点，连接MF，MF是AGE的中位线，AG2FM，在ABG中，ABBGAGAB+BG，22AG62，2FM32点评：本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键4（2019年盐城中
15、考第25题）如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图；（）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B处，如图，两次折痕交于点O；（）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图【探究】（1）证明：OBCOED；（2）若AB8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式【分析】（1）利用折叠性质，由边角边证明OBCOED；（2）过点O作OHCD于点H由（1）OBCOED，OEOB，BCx，则ADDEx，则CE8x，OH=12CD4，则EHCHCE4（8x）x4在RtOHE中，由勾股定理得OE2OH2+EH2，即OB24
16、2+（x4）2，所以y关于x的关系式：yx28x+32【解析】（1）证明：由折叠可知，ADED，BCODCOADOCDO45BCDE，COD90，OCOD，在OBCOED中，OC=ODOCB=ODEBC=DE，OBCOED（SAS）；（2）过点O作OHCD于点H由（1）OBCOED，OEOB，BCx，则ADDEx，CE8x，OCOD，COD90CH=12CD=12AB=128=4，OH=12CD4，EHCHCE4（8x）x4在RtOHE中，由勾股定理得OE2OH2+EH2，即OB242+（x4）2，y关于x的关系式：yx28x+32点评：本题是四边形综合题，熟练运用轴对称的性质和全等三角形的判
17、定以及勾股定理是解题的关键5（2019扬州）如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）直线1是经过点P的一条直线，把ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B（1）如图1，当PB4时，若点B恰好在AC边上，则AB的长度为4或0；（2）如图2，当PB5时，若直线1AC，则BB的长度为53；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，ACB的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB6时，在直线1变化过程中，求ACB面积的最大值【分析】（1）证明APB是等边三角形即可解决问题（2）如图2中，设直线l交BC于点E连接BB交PE于
18、O证明PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题（3）如图3中，结论：面积不变证明BBAC即可（4）如图4中，当BPAC时，ACB的面积最大，设直线PB交AC于E，求出BE即可解决问题【解析】（1）如图1中，ABC是等边三角形，A60，ABBCAC8，PB4，PBPBPA4，A60，APB是等边三角形，ABAP4当直线l经过C时，点B与A重合，此时AB0故答案为4或0（2）如图2中，设直线l交BC于点E连接BB交PE于OPEAC，BPEA60，BEPC60，PEB是等边三角形，PB5，B，B关于PE对称，BBPE，BB2OBOBPBsin60=532，BB53故答案为53（3）如图3中，结论：面
19、积不变B，B关于直线l对称，BB直线l，直线lAC，ACBB，SACBSACB=128328163（4）如图4中，当BPAC时，ACB的面积最大，设直线PB交AC于E，在RtAPE中，PA2，PAE60，PEPAsin60=3，BE6+3，SACB的最大值=128（6+3）43+24解法二：如图5中，过点P作PH垂直于AC，由题意可得：B在以P为圆心半径长为6的圆上运动，当PH的延长线交圆P于点B时面积最大，此时BH6+3，SACB的最大值=128（6+3）43+24点评：本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解
20、题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题6（2019年南京中考第26题）如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上小明的作法1如图，在边AC上取一点D，过点D作DGAB交BC于点G2以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E3在EB上截取EFED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可（2）求出几种
21、特殊位置的CD的值判断即可【解答】（1）证明：DEDG，EFDE，DGEF，DGEF，四边形DEFG是平行四边形，DGDE，四边形DEFG是菱形（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x在RtABC中，C90，AC3，BC4，AB=32+42=5，则CD=35x，AD=54x，AD+CDAC，35x+54x3，x=6037，CD=35x=3637，观察图象可知：0CD3637时，菱形的个数为0如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为mDGAB，CDCA=DGAB，3-m3=m5，解得m=158，CD3-158=98，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长
22、为nDGAB，CGCB=DGAB，4-n4=n5，n=209，CG4-209=169，CD=(209)2-(169)2=43，观察图象可知：当0CD3637或43CD3时，菱形的个数为0，当CD=3637或98CD43时，菱形的个数为1，当3637CD98时，菱形的个数为2点评：本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度【专项突破】【题组一】1（2020海门市校级模拟）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC（1）如图1，若点
23、P在线段AB的延长线上，求证：EAEC；（2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断ACE的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB4，BPa，若在旋转过程中ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值【分析】（1）根据正方形的性质证明APECFE，可得结论；（2）分别证明PAE45和BAC45，则CAE90，即ACE是直角三角形；（3）如图3中，连接BD交AC于O因为点E的运动轨迹是以B为圆心，2a为半径的圆，推出当点E在线段OB上时，ACE的面积最小，构建方程即可解决问题（注意一题多解）【解答】证明：（1）如图1中，四
24、边形ABCD和四边形BPEF是正方形，ABBC，BPBF，APCF，在APE和CFE中，AP=CFP=FPE=EF，APECFE，EAEC；（2）ACE是直角三角形，理由是：如图2中，P为AB的中点，PAPB，PBPE，PAPE，PAE45，又BAC45，CAE90，即ACE是直角三角形；（3）如图3中，连接BD交AC于O点E的运动轨迹是以B为圆心，2a为半径的圆，当点E在线段OB上时，ACE的面积最小，12ACOE4，OE=2，BE22-2=2a1，满足条件的a的值为1【题组二】2（2019秋青龙县期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端
25、点）上的动点，且EDF120，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当DEB90时，BE+CFnAB，则n的值为12；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：DE始终等于DF；BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明成果运用（3）若边长AB4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，LDE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是23+6L10【分析】（1）先利用等边三角形判断出BDCD=12AB，进而判断出BE=12BD，再判断出DFC90，得出CF=12CD，即可得出结论；（2）构造出EDGFDH（ASA）
26、，得出DEDF，即可得出结论；由（1）知，BG+CH=12AB，由知，EDGFDH（ASA），得出EGFH，即可得出结论；（3）由（1）（2）判断出L2DE+6，再判断出DEAB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论【解答】解：（1）ABC是等边三角形，BC60，ABBC，点D是BC的中点，BDCD=12BC=12AB，DEB90，BDE90B30，在RtBDE中，BE=12BD，EDF120，BDE30，CDF180BDEEDF30，C60，DFC90，在RtCFD中，CF=12CD，BE+CF=12BD+12CD=12BC=12AB，BE+CFnAB，n=12，故答案为12；
27、（2）如图2，过点D作DGAB于G，DHAC于H，DGBAGDCFDAHF90，ABC是等边三角形，A60，GDH360AGDAHDA120，EDF120，EDGFDH，ABC是等边三角形，且D是BC的中点，BADCAD，DGAB，DHAC，DGDH，在EDG和FDH中，DGE=FHD=90DG=DHEDG=FDH，EDGFDH（ASA），DEDF，即：DE始终等于DF；同（1）的方法得，BG+CH=12AB，由知，EDGFDH（ASA），EGFH，BE+CFBGEG+CH+FHBG+CH=12AB，BE与CF的和始终不变（3）由（2）知，DEDF，BE+CF=12AB，AB4，BE+CF2，
28、四边形DEAF的周长为LDE+EA+AF+FDDE+ABBE+ACCF+DFDE+ABBE+AB+DE2DE+2AB（BE+CF）2DE+2422DE+6，DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DEAB时，DE最小，由（1）知，BG=12BD1，DE最小=3BG=3，L最小23+6，当点F和点C重合时，DE最大，此时，BDE180EDF12060，B60，BBDEBED60，BDE是等边三角形，DEBD=12AB2，即：L最大22+610，周长L的变化范围是23+6L10，故答案为23+6L103（2019秋张家港市期末）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将AED沿AE所在的直
29、线折叠，使点D落在点F处（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且BAC54，则DAE的度数为18（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB6，AD10，求CE的长（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB6，AD10，求CG的长【分析】（1）由矩形的性质和已知得出DAC905436，由折叠的性质得DAEFAE，得出DAE=12DAC18即可；（2）由矩形的性质得出BC90，BCAD10，CDAB6，由折叠的性质得AFAD10，EFED，由勾股定理得出BF=AF2-AB2=8，得出CFBCBF2，设CEx，则EFED6x，在RtCEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3
30、）连接EG，证明RtCEGFEG（HL），得出CGFG，设CGFGy，则AGAF+FG10+y，BGBCCG10y，在RtABG中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，BAD90，BAC54，DAC905436，由折叠的性质得：DAEFAE，DAE=12DAC18；故答案为：18；（2）四边形ABCD是矩形，BC90，BCAD10，CDAB6，由折叠的性质得：AFAD10，EFED，BF=AF2-AB2=102-62=8，CFBCBF1082，设CEx，则EFED6x，在RtCEF中，由勾股定理得：22+x2（6x）2，解得：x=83，即CE的长为83；（3）
31、连接EG，如图3所示：点E是CD的中点，DECE，由折叠的性质得：AFAD10，AFED90，FEDE，EFG90C，在RtCEG和FEG中，EG=EGCE=FE，RtCEGFEG（HL），CGFG，设CGFGy，则AGAF+FG10+y，BGBCCG10y，在RtABG中，由勾股定理得：62+（10y）2（10+y）2，解得：y=910，即CG的长为9104（2020兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM（1）求证：PMPN；（
32、2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若PQM的面积为S，求S的取值范围【分析】（1）想办法证明PMNPNM即可解决问题（2）点P与点A重合时，设BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN（3）当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835
33、，AC=AB2+BC2=42+82=45，CQ=12AC25，QN=CN2-CQ2=52-(25)2=5，MN2QN25（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=14S菱形CMPN=14444，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=14545，4S5，【题组二】5（2019秋娄星区期末）在ABC中，ABAC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，过点E作EFBC，交直线AC于点F，连接CE（1）如图，若BAC60，则按边分类：CEF是等边三角形；
34、（2）若BAC60如图，当点D在线段CB上移动时，判断CEF的形状并证明；当点D在线段CB的延长线上移动时，CEF是什么三角形？请在图中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）【分析】（1）根据题意推出ACBABC60，然后通过求证EACDAB，结合平行线的性质，即可推出EFC为等边三角形；（2）根据（1）的推理方法，即可推出EFC为等腰三角形；根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证EACDAB，推出等量关系，即可推出EFC为等腰三角形【解答】解：（1）如图1，ABAC，ADAE，BACDAE60，ACBABC60，EACDAB，DABEAC，ECAB60，EFBC，EFCACB60
35、，在EFC中，EFCECF60CEF，EFC为等边三角形，故答案为：等边；（2）CEF为等腰三角形，证明：如图2，ABAC，ADAE，BACDAE，ACBABC，EACDAB，EACDAB，ECAB，ACEACB，EFBC，EFCACB，EFCACE，CEFE，EFC为等腰三角形；如图，EFC为等腰三角形当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE证明：ABAC，ADAE，BACDAE，ACBABC，EACDAB，EACDAB，ECADBA，ECFABC，EFBC，AFEACB，又ABCACB，
36、AFEECF，ECEF，EFC为等腰三角形6（2019秋东海县期末）已知BC5，AB1，ABBC，射线CMBC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DPAP交射线CM于点D，连接AD（1）如图1，若BP4，判断ADP的形状，并加以证明（2）如图2，若BP1，作点C关于直线DP的对称点C，连接AC依题意补全图2；请直接写出线段AC的长度【分析】（1）先判断出PCAB，再用同角的余角相等判断出APBPDC，得出ABPPCD（AAS），即可得出结论；（2）利用对称的性质画出图形；先求出CP4，ABAP，CPD45，进而得出CPCP4，CPDCPD45，再判断出四边形BQCP是矩形，进而求
37、出AQBQAB3，最后用勾股定理即可得出结论【解答】（1）ADP是等腰直角三角形证明：BC5，BP4，PC1，AB1，PCABABBC，CMBC，DPAP，BC90，APB+DPC90，PDC+DPC90，APBPDC，在ABP和PCD中，B=CAPB=PDCAB=PCABPPCD（AAS）APPD，APD90，ADP是等腰直角三角形（2）依题意补全图2；BP1，AB1，BC5，CP4，ABAP，ABP90，APB45，APD90，CPD45，连接CP，点C与C关于DP对称，CPCP4，CPDCPD45，CPC90，BPC90，过点C作CQBA交BA的延长线于Q，Q90ABPBPC，四边形BQ
38、CP是矩形，CQBP1，BQCP4，AQBQAB3，在RtACQ中，AC=107（2019秋江都区期末）在RtABC中，ACB90，AC15，AB25，点D为斜边AB上动点（1）如图1，当CDAB时，求CD的长度；（2）如图2，当ADAC时，过点D作DEAB交BC于点E，求CE的长度；（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度【分析】（1）求出BC20，由ABCDBCAC可求出答案；（2）根据HL证明RtACERtADE，推出CEDE，ACAD15，设CEx，则BE20x，BD251510，在RtBED中根据勾股定理即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题【解答】解：（1）ACB90，AC15，AB25，BC=AB2-AC2=252-152=20，ABCDBCAC，25CD2015，CD12；（2）在RtACE和RtADE中，CEDA90，AE=AEAD=AC，RtACERtADE（HL），CEDE，设CEx，则BE20x，BD251510在RtBED中x2+102（20x）2，x7.5，CE7.5（3）当ADAC时，ACD为等腰三角形AC15，ADAC15当CDAD时，ACD为等腰三角形CDAD，DCACAD，CAB+B90，DCA+BCD