《专题10三角形的综合问题（解析版）【苏科版】.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题10三角形的综合问题（解析版）【苏科版】.doc（39页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题10三角形的综合问题【方法指导】1.全等三角形解决问题的常见技巧：（1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形） （2）作辅助线构造全等三角形把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明2.等腰三角形解题技巧：（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边
2、上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析3.等边三角形常用方法与思路：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等（3）等边三角形判定最复杂，在应
3、用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60的角判定【题型剖析】【类型1】三角形有关角的综合计算【例1】（2019泉山区模拟）如图，点、分别在射线、上运动（不与点重合）（1）如图1，若，、的平分线交于点，则；（2）如图2，若，、的平分线交于点，求的度数；（3）如图2，若，的外角、的平分线交于点，求与之间的数量关系，并求出的度数；（4）如图3，若，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点试问：随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由【分析】（1）由三角形内角和
4、定理得出，由角平分线的也得出，再由三角形内角和定理即可得出结果；（2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出，再由三角形内角和定理得出的度数；（3）求出，同理，由四边形内角和求出，由（1）知：，即可得出结果；（4）由三角形外角性质得出，由角平分线定义得出，即可得出结果【解析】（1），、的平分线交于点，；故答案为：135；（2）在中，、的平分线交于点，即，；（3）、分别是和的角平分线，即，同理：，四边形内角和等于，由（1）知：，；（4）的度数不变，；理由如下：，、分别是和的角平分线，即，【方法小结】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的也、三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线
5、的也是解题的关键【变式1-1】（2019沭阳县模拟）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究与、之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则40；如图3，平分，平分，若，求的度数；如图4，的10等分线相交于点、，若，求的度数【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
6、则容易得到；（2）由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案由（2）的方法，进而可得答案【解析】（1）连接并延长至点，由外角定理可得，；且及；相加可得；（2）由（1）的结论易得：，又因为，所以；由（1）的结论易得，易得；而，代入，易得；，设为，为【变式1-2】（2019春海安市期末）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线延长，分别交于点，（1）求证：；（2）小智同学探究后提出等式：请通过推理演算判断“小智发现”是否正确？（3）若，求的度数【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角的性质即可证明结论；（2）根
7、据（1）中的结论变形后可得结论；（3）根据三角形的外角和角平分线的定义，综合已知，等量代换可得结论【解答】（1）证明：是的平分线，是的平分线，；（2）解：由（1）知，小智发现”是错误的；（3）解：中，中，【方法小结】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和【变式1-3】（2019春高淳区校级模拟）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点（1）如图1，若，则，；猜想与的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点若，则【分析】（1）根据三角形的内角和得到
8、，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论；设，根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论【解析】（1），中，三个内角的平分线交于点，平分，故答案为：，相等，理由设，中，三个内角的平分线交于点，平分，；（2）由（1）知，平分，平分，故答案为：，43【方法小结】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键【类型2】全等三角形的判定与性质【例2】（2019如皋市一模）如图，、是直线上的三个点，且（1）求证：；（2）若，点在直线的上方，为等边三角形，补全图形，请判断的形状
9、，并说明理由【分析】（1）由外角的性质可得，由“”可得，可得，可得结论；（2）由“”可证，可得，可得，可得是等边三角形【解答】证明：（1），在和中，（2）补全图形为等边三角形理由如下：为等边三角形，（已证），即（已证），为等边三角形【方法小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题关键【变式2-1】（2019碑林区校级模拟）如图，四边形中，垂足为，（1）求证：；（2）若，求的长（结果精确到0.01，参考数值：，【分析】（1）由“”可证；（2）由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求的长【解答】证明：（1），且，（2），【方法小结
10、】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键【变式2-2】（2019灌南县校级模拟）如图，在四边形中，点是的中点，点是边上的点，的周长为（1）求证：平分；（2）若，求的值【分析】（1）延长，交于点，由“”可证，可得，可证，由等腰三角形的性质可得，即可得结论；（2）由题意可证四边形是矩形，由勾股定理可求，的长，即可求的周长为的值【解析】（1）延长，交于点，点是的中点，且，平分；（2）点是的中点，四边形是平行四边形，且四边形是矩形，在中，在中，在中，的周长为【方法小结】本题考查了全等三角形的判定，矩形的判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三
11、角形是本题的关键【类型3】等腰三角形的有关计算与证明【例3】（2018秋灌云县期末）如图，已知是的边上的一点，（1）若，求的大小；（2）若既是的高又是角平分线，求的大小【分析】（1）首先根据已知条件可知，为等边三角形所以，因为，所以，由，得；（2）由既是的高又是角平分线可知，为等腰三角形，所以，因为，所以，由，求得【解析】（1），；（2）既是的高又是角平分线，【方法小结】本题考查了等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质是解题的关键【变式3-1】（2018秋泗阳县期末）已知，在中，点在上，点在的延长线上，且，（1）如图1，若，试求的度数；（2）若，则的度
12、数为（直接写出结果）；（3）如图2，若，其余条件不变，探究与之间有怎样的数量关系？【分析】根据三角形的内角和得到的度数，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论【解析】（1），；（2），；故答案为：；（3）设，；【变式3-2】（2018秋秦淮区期末）如图，在中，（1）当时（如图， ；（2）当时（如图，求的度数（用含的式子表示）【分析】（1）根据等腰三角形的性质，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数；（2）运用（1）中的方法进行计算，即可得到的度数【解析】（1），中，故答案为：45（2），中，【
13、方法小结】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键【类型4】等边三角形的有关计算与证明【例4】（2019春鼓楼区校级模拟）已知，为等边三角形，点为上的一个动点，点为延长线上一点，且（1）如图1，若点在边上，猜想线段与之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点在的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由【分析】（1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案；解：（1），理由：过作交于，（2）（1）中的结论仍成立，如图3，过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到【解析】（1），证明：如图1，过点作，交于点，是等边三角形，也是等边三角形，又，即，在和
14、中，；（2）如图3，过点作，交的延长线于点，是等边三角形，也是等边三角形，在和中，【方法小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形【变式4-1】（2018秋泰兴市月考）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使取中点，连接（1）求证：；（2）延长交边于点，试说明：【分析】（1）根据等边三角线的性质和三角形外角与内角的关系，可以求得和的关系，从而可以证明结论成立；（2）根据题意和角平分线的性质可以证明结论成立【解答】（1）证明：是等边三角形，是中线，平分，；（2）证明：由（1）知，是等边三角形，是中线，是
15、的平分线，【变式4-2】（2019淮阴区模拟）如图，中，以为边在外作等边三角形，过点作的垂线，垂足为，与相交于点，连接（1）说明：；（2）若，是直线上的一点则当在何处时，最小，并求出此时的值【分析】（1）根据等边三角形“三合一”的性质证得垂直平分；然后由等腰三角形的判定知，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得；最后根据等角对等边证得，所以；（2）由（1）知，垂直平分，故；由等量代换知；根据两点之间线段最短可知，当点、在同一直线上最小，所以点在处时最小【解析】（1）证明：在等边三角形中，垂直平分，（等边对等角）；（已知），（等角对等边），；（2）由（1）知，垂直平分，；
16、当最小时，也就是最小，即点、在同一直线上最小，所以点在处时最小当点在处时，【类型5】直角三角形的综合问题【例5】（2019 溧水校级模拟）已知中，为的中点（1）如图，若、分别是、上的点，且求证：为等腰直角三角形；（2）若，分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论【分析】题要通过构建全等三角形来求解连接，可通过证和全等来求本题的结论（2）与（1）题的思路和解法一样【解析】（1）证明：连接，为中点且平分在和中，即：为等腰直角三角形（2）解：仍为等腰直角三角形理由：，即：为等腰直角三角形【方法小结】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质
17、等知识，难度较大【变式5-1】（2018秋常熟市期末）如图，在中，点是边上一点，垂足为点是的中点，连接，（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）若，连接，求的度数【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可（2）利用四边形内角和定理，证明即可（3）只要证明即可【解答】（1）证明：，（2）结论：理由：，（3），是等边三角形，【方法小结】本题考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【变式5-2】（2019江都区校级模拟）如图所示，已知是等腰直角三角形，为外的一点，连结、，过作，垂足为，的
18、延长线交于（1）如图1，若，且，求的长；（2）如图2，若是等边三角形，求的长【分析】（1）由已知条件求出、的值，由勾股定理即可求出的长；（2）利用等边三角形的性质及勾股定理先计算出的长，再利用三角形的中位线可求出，则的长可求解【解析】（1），可设，则，根据勾股定理得：，解得：，；（2）是等边三角形，是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，【达标检测】一选择题（共4小题）1（2019徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A2，2，4B5，6，12C5，7，2D6，8，10【分析】根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形，本题得以解决【解析】2+24，2，2
19、，4不能组成三角形，故选项A错误，5+612，5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，5+27，5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，6+810，6，8，10能组成三角形，故选项D正确，故选：D2（2019扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A4个B5个C6个D7个【分析】分两种情况讨论：若n+2n+83n，若n+23nn+8，分别依据三角形三边关系进行求解即可【解析】若n+2n+83n，则n+2+n+83nn+83n，解得n10n4，即4n10，正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；若n+23nn+8，则n+2+3nn+83nn
20、+8，解得n2n4，即2n4，正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D3（2019盐城）如图，点D、E分别是ABC边BA、BC的中点，AC3，则DE的长为（）A2B43C3D32【分析】直接利用中位线的定义得出DE是ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案【解析】点D、E分别是ABC的边BA、BC的中点，DE是ABC的中位线，DE=12AC1.5故选：D4（2018南通）如图，RtABC中，ACB90，CD平分ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于
21、点E，F；步骤3：连接DE，DF若AC4，BC2，则线段DE的长为（）A53B32C2D43【分析】由作图可知，四边形ECFD是正方形，根据SACBSADC+SCDB，可得12ACBC=12ACDE+12BCDF，由此即可解决问题【解析】由作图可知，四边形ECFD是正方形，DEDFCECF，DECDFC90，SACBSADC+SCDB，12ACBC=12ACDE+12BCDF，DE=426=43，故选：D二填空题（共4小题）5（2019南通）如图，ABC中，ABBC，ABC90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF，若BAE25，则ACF 度【分析】先证明ABECBF，可得BAEBC
22、F25；然后根据ABBC，ABC90，求出ACB的度数，即可求出ACF的度数【解析】在RtABE与RtCBF中，AE=CFAB=BC，RtABERtCBF（HL）BAEBCF25；ABBC，ABC90，ACB45，ACF25+4570；故答案为：706（2019苏州）如图，扇形OAB中，AOB90P为弧AB上的一点，过点P作PCOA，垂足为C，PC与AB交于点D若PD2，CD1，则该扇形的半径长为【分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出OAB45，结合PCOA可得出ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC1，设该扇形的半径长为r，则OCr1，在RtPOC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解
23、之即可得出结论【解析】连接OP，如图所示OAOB，AOB90，OAB45PCOA，ACD为等腰直角三角形，ACCD1设该扇形的半径长为r，则OCr1，在RtPOC中，PCO90，PCPD+CD3，OP2OC2+PC2，即r2（r1）2+9，解得：r5故答案为：57（2019南京）在ABC中，AB4，C60，AB，则BC的长的取值范围是 【分析】作ABC的外接圆，求出当BAC90时，BC是直径最长=833；当BACABC时，ABC是等边三角形，BCACAB4，而BACABC，即可得出答案【解析】作ABC的外接圆，如图所示：BACABC，AB4，当BAC90时，BC是直径最长，C60，ABC30，
24、BC2AC，AB=3AC4，AC=433，BC=833；当BACABC时，ABC是等边三角形，BCACAB4，BACABC，BC长的取值范围是4BC833；故答案为：4BC8338（2019南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案【解析】由题意可得：杯子内的筷子长度为：122+92=15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm）故答案为：5三解答题（共8小题）9（2019南通）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不
25、经过池塘可以直接到达点A和B连接AC并延长到点D，使CDCA连接BC并延长到点E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离为什么？【分析】利用“边角边”证明ABC和DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答【解析】量出DE的长就等于AB的长，理由如下：在ABC和DEC中，BC=CEACB=DCECA=CD，ABCDEC（SAS），ABDE10（2019镇江）如图，四边形ABCD中，ADBC，点E、F分别在AD、BC上，AECF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H（1）求证：AGECHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由【分析】（1）由垂线的性质得出GH9
26、0，AGCH，由平行线的性质和对顶角相等得出AEGCFH，由AAS即可得出AGECHF；（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AGCH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论【解答】（1）证明：AGEF，CHEF，GH90，AGCH，ADBC，DEFBFE，AEGDEF，CFHBFE，AEGCFH，在AGE和CHF中，G=HAEG=CFHAE=CF，AGECHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：AGECHF，AGCH，AGCH，四边形AHCG是平行四边形，线段GH与AC互相平分11（2019无锡）如图，在ABC中，ABAC
27、，点D、E分别在AB、AC上，BDCE，BE、CD相交于点O（1）求证：DBCECB；（2）求证：OBOC【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到ECBDBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到DCBEBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OBOC【解答】（1）证明：ABAC，ECBDBC，在DBC与ECB中BD=CEDBC=BC=CBECB，DBCECB（SAS）；（2）证明：由（1）知DBCECB，DCBEBC，OBOC12.（2018无锡）如图，在ABC中，ACB90，ACm，BCn，mn，点P是边AB上一点，连结CP，将ACP沿CP翻折得到QCP（1）若m4
28、，n3，且PQAB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式【分析】（1）如图，作CHAB于H证明PCH是等腰直角三角形即可解决问题（2）证明AB2n，利用勾股定理即可解决问题【解析】（1）如图，作CHAB于H由翻折的性质可知：APCQPC，PQPA，APQ90，APCQPC135，BPC+QPB135，QPB90，BPC45，CHAB，CHPH，在RtABC中，AB=AC2+BC2=32+42=5，12ABCH=12ACBC，CH=125，BH=BC2-CH2=95，PBPH+BH=125+95=215（2）如图2中，连接BQ由翻折不变性可知：PAPQ，
29、QPCAPC，四边形BCPQ是平行四边形，PQBCPAn，PQBC，QPC+PCB180，BPC+APC180，PCBBPC，PBBCn，APPBn，AB2n，在RtABC中，则有（2n）2m2+n2，m23n2，m0n0，m=3n13（2018徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF已知BC4（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，PFM的形状是否发生变化？请说明理由；求PFM的周长的取值范围【分析】（1）由折叠的性质可知，FB
30、FM，设CFx，则FBFM4x，在RtCFM中，根据FM2CF2+CM2，构建方程即可解决问题；（2）PFM的形状是等腰直角三角形，想办法证明POFMOC，可得PFOMCO45，延长即可解决问题；设FMy，由勾股定理可知：PFPM=22y，可得PFM的周长（1+2）y，由2y4，可得结论【解析】（1）M为AC的中点，CM=12AC=12BC2，由折叠的性质可知，FBFM，设CFx，则FBFM4x，在RtCFM中，FM2CF2+CM2，即（4x）2x2+22，解得，x=32，即CF=32；（2）PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由如下：由折叠的性质可知，PMFB45，CD是中垂线，A
31、CDDCF45，PMOFCO，POMFOC，POMFOC，OMOC=OPOF，OMOP=OCOFPOFMOC，POFMOC，PFOMCO45，PFMPMF45，MPF90，PFM是等腰直角三角形PFM是等腰直角三角形，设FMy，由勾股定理可知：PFPM=22y，PFM的周长（1+2）y，2y4，PFM的周长满足：2+22（1+2）y4+4214（2019扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特别
32、地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC中，AB5，T（AC，AB）3，则T（BC，AB）；（2）如图2，在RtABC中，ACB90，T（AC，AB）4，T（BC，AB）9，求ABC的面积；（3）如图3，在钝角ABC中，A60，点D在AB边上，ACD90，T（AD，AC）2，T（BC，AB）6，求T（BC，CD），【分析】（1）如图1中，作CHAB根据正投影的定义求出BH即可（2）如图2中，作CHAB于H由正投影的定义可知AH4，BH9，利用相似三角形的性质求解CH即可解决问题（3）如图3中，作CHAD于H，BKCD于K根据正投影的定义
33、，求出CD，DK即可解决问题【解析】（1）如图1中，作CHABT（AC，AB）3，AH3，AB5，BH532，T（BC，AB）BH2，故答案为2（2）如图2中，作CHAB于HT（AC，AB）4，T（BC，AB）9，AH4，BH9，ACBCHACHB90，A+ACH90，ACH+BCH90，ABCH，ACHCBH，CHBH=AHCH，CH9=4CH，CH6，SABC=12ABCH=1213639（3）如图3中，作CHAD于H，BKCD于KACD90，T（AD，AC）2，AC2，A60，ADCBDK30，CD=3AC23，AD2AC4，AH=12AC1，DHADAH3，T（BC，AB）6，CHAB，BH6，DBBHDH3，在RtBDK中，K90，BD3，BDK30，DKBDcos30=332，CKCD+DK23+332=732，T（BC，CD）CK=732