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1、热点专题2 规律探究问题规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。中考要求能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律学会通过通过观察、猜想、归纳、总结有关实数、代数式、图形、坐标
2、等相关的规律问题。通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力考向1 图形设计规律探究1(2019 江苏省徐州市)阅读理解用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案已知长度为、的所有图案如下：尝试操作如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案归纳发现观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整图案的长度所有不同图案的个数123【答案】如图，5，【解析】如图：根据作图可知时，所有图案个数5个；时，所有图案个数8个；时，所有图案个数13个；故答案为5，8，13；考向2 图形性质规律探究1. (20
3、19 江苏省扬州市)如图，在ABC中，AB5，AC4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+D2019F2019） 【答案】40380【解析】D1F1AC，D1E1AB，即，AB5，BC4，4D1E1+5D1F120，同理4D2E2+5D2F220，4D2019E2019+5D2019F201920，4（D1E1+
4、D2E2+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+D2019F2019）20201940380；故答案为403802. (2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形AB
5、CD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长【解析】解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90，ABBCCD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+AEB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在
6、ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），BECF，DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和RtQIE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF45；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则APN的直角顶
7、点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，点P在BD上，APPC，在APB和CPB中，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，PNA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，PNG+NPG90，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP中，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH
8、，BD是正方形ABCD的对角线，PDG45，易得PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，点S为AD的中点，DS2，则PS的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EGAG，PHFH，AE5，在RtABE中，BE3，CEBCBE1，BECQ90，AEBQEC，ABEQCE，3，QEAE，AQAE+QE，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，即，解得：AM，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM，AC1，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，解得
9、：AF，DF4，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，即，解得：FP，FHFP 考向3 与坐标有关规律探究1(2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 【分析】根据点
10、A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键2(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（）A（1010，0）B
11、（1010，1）C（1009，0）D（1009，1）【答案】C【解析】分析根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），201945043，所以A2019的坐标为（50421，0），则A2019的坐标是（1009，0）故选：C2(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧AB多次复制并首尾连接而成现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为ABC0D1【答案】B【解析】点运动一个弧
12、AB用时为秒如图，作于，与弧AB交于点在中，第1秒时点运动到点，纵坐标为1；第2秒时点运动到点，纵坐标为0；第3秒时点运动到点，纵坐标为；第4秒时点运动到点，纵坐标为0；第5秒时点运动到点，纵坐标为1；，点的纵坐标以1，0，0四个数为一个周期依次循环，第2019秒时点的纵坐标为是故选：3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A（，）B（1，0）C（，）D（0，1）【答案】A【解析】四边形OABC是
13、正方形，且OA1，A（0，1），将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，A1（，），A2（1，0），A3（，），发现是8次一循环，所以20198252余3，点A2019的坐标为（，）故选：A4(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，半径为n1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 （n
14、为正整数）【答案】A【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在RtOA1P1中，OA11，OP12，A1P1，同理：A2P2，A3P3，P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）故答案为：（n，）考向4 与函数有关的规律1(2019 山东省淄博市)如图，是分别以，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，均在反比例函数的图象上则的值为AB6CD【答案】A【解析】过、分别作轴的垂线，垂足分别为、其斜边的中点在反比例函数，即，设，则 此时，代入得
15、：，解得：，即：，同理：，故选：2(2019 山东省德州市)如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且，则为正整数）的纵坐标为（用含的式子表示）【答案】A【解析】过A1作A1D1x轴于D1，OA12，OA1A260，OA1E是等边三角形，A1（1，），k，y和y，过A2作A2D2x轴于D2，A2EFA1A2A360，A2EF是等边三角形，设A2（x，），则A2D2，RtEA2D2中，EA2D230，ED2，OD22x，解得：x11（舍），x21，EF2（1）22，A2D2，即A2的纵坐标为；过A3作A3D3x轴于D3，同理得：A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3，
16、RtFA3D3中，FA3D330，FD3，OD3222x，解得：x1（舍），x2；GF2（）22，A3D3（），即A3的纵坐标为（）；An（n为正整数）的纵坐标为：（1）n1（）；故答案为：（1）n1（）；3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数yx和yx的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，依次进行下去，则点A2019的横坐标为 【答案】31009【解析】由题意可得，A1（1，），A2（1，），A3（3，），A4（3，3），A5（9，3），A6（9，9），可
17、得A2n1的横坐标为（3）n2019210091，点A2019的横坐标为：（3）100931009，故答案为：310094(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：yx1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 【答案】（2n1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），OA11，C1A22，C2A34，C3A48，前n个正方形对角线长的和是：（OA1C1A2C2A3C3A4Cn1An）（12482n1），设S12482n1，则2S2482n12n，则2SS2n1，S2n1，12482n12n1，前n个正方形对角线长的和是：（2n1），故答案为：（2n1），