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1、中考数学几何模型4：中点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；等腰三角形“三线合一”的性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N求证：MQQN【解答
2、】证明：连接BG和CE交于O，四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，ABAE，ACAG，EABGAC，EAB+EAGGAC+EAG，GABEAC，在BAG和EAC中，BAGEAC（SAS），BGCEBE、BC、CG的中点M、Q、N，MQCE，QNBG，BGCE，QNMQ变式练习1. 如图，在ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形求证：FMH是等腰直角三角形【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，MDAC，且MDACBCBF；MBCE，
3、且MBCECDDH，四边形BCDM是平行四边形，CBMCDM，又FBPHDC，FBMMDH，在FBM和MDH中，FBMMDH（SAS），FMMH，且FMBMHD，BFMDMHFMB+HMD180FBM，BMCE，AMBE，同理：DMEAAMB+DMEA+AMBCBM，FMH180（AMB+DME）（FMB+HMD）180CBM（180FBM）FBC90，FMH是等腰直角三角形例题2. 如图，已知BD、CE分别是ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点求证：GFDE【解答】证明：如图，连接EG、DG，BD、CE分别是ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，DGEGBC，点F
4、是DE的中点，GFDE变式练习2. 如图，在ABC中内取一点，使PBAPCA，作PDAB于点D，PEAC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M【解答】解：取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，MFBP，MNPC，MFPN，MNPF，四边形NMFP是平行四边形，PNMPFM，PDAB，PEAC，DNPB，EFPC，DNMF，MNEF，DNP2ABP，PFE2ACD，ABPACD，DNPPFE，DNMEFM，在DNM与MFE中，DNMMFE，DMEM，DME是等腰三角形，底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M例题3. 已知：AD为ABC的中线，A
5、E是ABD的中线，ABBD，求证：AC2AE（两种证法）【解答】（1）解：AD为ABC的中线，AE是ABD的中线，BDCD，BEDE，BEBD，BDBC；又ABBD，BEAB，ABBC，BB，ABECBA；（2）证明：由（1）知，ABECBA，AC2AE变式练习3. 如图，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PMNQ，可证PMOQNO根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAEEAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：
6、EC1：2，BAEEDF，CFAB若AB4，CF2，求DF的长度【解答】解：（1）ABAF+CF如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据图得ABEGCE，ABCG，又ABDC，BAEG而BAEEAF，GEAF，AFGF，ABCGGF+CFAF+CF； （2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据CFAB得ABEGCE，AB：CGBE：CE，而BE：EC1：2，AB4，CG8，又ABFC，BAEG，而BAEEDF，GEDF，DFGF，而CF2，DFCGCF826例题4. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的
7、长为【解答】解：方法1、延长GE交AB于点O，作PHOE于点H则PHABP是AE的中点，PH是AOE的中位线，PHOA（31）1直角AOE中，OAE45，AOE是等腰直角三角形，即OAOE2，同理PHE中，HEPH1HGHE+EG1+12在RtPHG中，PG故答案是：变式练习4. 如图，过边长为3的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PACQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为【解答】解：过P作PFBC交AC于F，PFBC，ABC是等边三角形，PFDQCD，APFB60，AFPACB60，A60，APF是等边三角形，APPFAF，PEAC，AEEF，APPF，A
8、PCQ，PFCQ，在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FDCD，AEEF，EF+FDAE+CD，AE+CDDEAC，AC3，DE，故答案为例题5. 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EGCG.（1）将BEF绕点B逆时针旋转90，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将BEF绕点B逆时针旋转180，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将BEF绕点B旋转一个任意角度，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关
9、系？请直接写出结论.解答：第（1）（2）略（3）解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证GEFGHDEF=HD且GEF=GHD，所以EF/DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EBEF，而EF/DH，所以EKHK，即BKM=MCD=90.又BMK=CMD.根据三角形的内角和，可得KBM=MDC.所以EBC=HDC.又EB=HD，BC=DC所以EBCHDC.所以CE=CB且ECB=HCD.所以ECB=90，即BCE是等腰直角三角形，又因为点G是斜边EB的中点，所以CGGE且CG=GE.
10、变式练习5. 请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及数量关系小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3）
11、，你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明【解答】解：（1）PGPC，；理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：四边形ABCD和BEFG均为菱形，DCBC，GFBG，DCAEGF，HDPGFP，DHPFGP，P是线段DF的中点，DPFP，在DHP和FGP中，DHPFGP（AAS），HPGP，DHFGBG，CHCG，CPHG，即PGPC，ABC60，HCG18060120，CGP（180120）30，；（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：过点F作FHDC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，连接CG、HG，如图3所示：则CDPPFH，在CDP
12、和FHP中，CDPFHP（ASA），CPPH，CDFH，BNMMEF90，BMNEMF，NBMEFM，CBG+NBM1809090，EFM+MFG90，CBGMFG，在CBG和FHG中，CBGFHG（SAS），CGGH，BGCFGH，CGHBGCHGBFGHHGBBGF90，CGH是等腰直角三角形，PGPC，且PGPC达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图所示，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB8，MN3，则AC的长是（）A12B14C16D18【解答】解：延长BN交AC于D，在ANB和AND中，ANBAND，ADAB8，BNND，M是ABC的边BC的中点，DC2
13、MN6，ACAD+CD14，故选：B2. 如图，ABD和ACE都是直角三角形，其中ABD=ACE=90，且点C在AB上，连接DE，M为DE中点，连接BM，CM，求证BM=CM.3. 如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F是DA的中点，连接BE，与CF相交于P，求证：APAB【解答】证明：延长CF、BA交于点M，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，在BCE与CDF中，BCECDF（SAS），CBEDCFDCF+BCP90，CBE+BCP90，BPMCBE+BCP90在CDF与AMF中，CDFAMF（AAS），CDAM，CDAB，ABAM，PA是直角BPM斜边BM上的中线，APB
14、M，即APAB4. 如图，分别以ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角ABD和等腰直角ACE，M是BC中点求证：DMME，DMME【解答】证明：如图，取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，AF，AG，ABD和AEC是等腰直角三角形，DFAB，DF，EGAC，EG，AFDAGE90，DFAF，GEAGM是BC的中点，MFAC，MGAB，四边形AFMG是平行四边形，AGMF，MGAF，AFMAGMMFGE，DFMG，AFM+AFDAGM+AGE，DFMMGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DMME；MDFGME，MDF+BFD+BFM+DMF180，BFD90，M
15、DF+BFM+DMF90，ABMG，BFMGMF，GME+GMF+DMF90，即DME90，DMME5. 已知ABC和ADE是等腰直角三角形，ACBADE90，点F为BE中点，连接DF、CF（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，并说明理由（2）如图2，将ADE绕点A逆时针旋转45时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由（3）如图3，将ADE绕点A逆时针旋转90时，若AD2，AC3，求此时FBC中CF边上的高的长（直接写出结果）【解答】解：（1）DFCF，且DFCF，理由如下：ACBADE90，点F为BE
16、中点，BDE90，CFBEEFBF，DFBEEFBF，DFCFABC和ADE是等腰直角三角形，ABC45BFDF，DBFBDF，DFEABE+BDF，DFE2DBF，同理得：CFE2CBF，DFE+EFC2DBF+2CBF2ABC90，DFCF，且DFCF（2）（1）中的结论仍然成立理由如下：延长DF交BC于点G如图2所示：ADEACB90，DEBC，DEFGBF，EDFBGFF为BE中点，EFBF在DEF和GBF中，DEFGBF（AAS）DEGB，DFGFADDE，ADGB，ACBC，ACADBCGB，DCGCACB90，DCG是等腰直角三角形，DFGFDFCF，DFCF（3）延长DF交BA
17、于点H，如图3所示：ABC和ADE是等腰直角三角形，ACBC，ADDEAEDABC45，由旋转可以得出，CAEBAD90，AEBC，AEBCBE，DEFHBFF是BE的中点，EFBF，DEFHBF，EDHB，BCAC3，ACB90，ABAC6，AD2，EDBH2，AH4，6. 已知：ABC和ADE均为等腰直角三角形，ABCADE90，ABBC，ADDE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；（2）将图1中ADE绕A点顺时针旋转45，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1
18、中ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0到90之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论【解答】解：（1）DFBF且DFBF（1分）证明：如图1：ABCADE90，ABBC，ADDE，CDE90，AEDACB45，F为CE的中点，DFEFCFBF，DFBF；（2分）DFE2DCF，BFE2BCF，EFD+EFB2DCB90，即：DFB90，DFBF（3分）（2）仍然成立证明：如图2，延长DF交BC于点G，ABCADE90，DEBC，DEFGCF，又EFCF，DFEGFC，DEFGCF，DECG，DFFG，（4分）ADDE，ABBC，ADCG，BDBG
19、，（5分）又ABC90，DFBF且DFBF（6分）7. 如图：在ABC中，ABAC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于D且BECF，求证：DEDF【解答】证明：如图，过点E作EGAC交BC于G，则ACBBGE，FDEG，ABAC，BACB，BBGE，BEGE，又BECF，GECF，在CDF和GDE中，CDFGDE（AAS），DEDF8. （1）已知：如图1，在ABC中，A90，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，A120，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，连接
20、EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明【解答】（1）证明：延长FD到G使GDDF，连接BG，EG，D为BC中点，BDDC，在BDG和CDF中，BDGCDF（SAS），BGFC，CGBD，EDDF，EGEF，A90，ABC+C90，ABC+GBD90，即EBG90，线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，BGFC，EGEF线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形； （2）当线段FCBE时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，证明：延长FD到W使WDDF，连接BW，EW，D为BC中点，BDDC，在BDW和CDF中BDWCDF（SAS），BWFC，C
21、WBDEDDFEWEF，A120，ABC+C60，ABC+WBD60，即EBW60，当线段BWBE（或BEEW，BWWE）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；EWEF，BWFC当线段FCBE（或BEEF，EFFC）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形9. 在RtABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，EDF90，已知CE4，AE2，BFCF，求AB【解答】解：延长FD至点G，使得DGDF，连接AG，EG，EF，如图所示：D为斜边AB的中点，ADBD，在ADG和BDF中，ADGBDF（SAS），AGBF，DAGDBF，DBF+BAC90，DAG+BAC90，即EAG
22、90，EG2AG2+AE2，设BFAGx，BFCF，CFx，EDF90，DEFG，DGDF，EFEG，EF2EG2，在RtCEF中，EF2CE2+CF2，AG2+AE2CE2+CF2，即x2+2242+（x）2，解得：x，BF，CFx，BCBF+CF8，C90，ACAE+CE6，AB1010. 在ABM中，ABM45，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC（1）如图1，若AB3，BC5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MDMC，点E是ABC外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF【解答】解：（1）ABM45，AMBM
23、，AMBMABcos4533，则CMBCBM532，AC；（2）延长EF到点G，使得FGEF，连接BG由DMMC，BMDAMC，BMAM，BMDAMC（SAS），ACBD，又CEAC，因此BDCE，由BFFC，BFGEFC，FGFE，BFGCFE，故BGCE，GE，所以BDCEBG，因此BDGGE11. （1）方法回顾在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EFDE，连接CF；第二步证明ADECFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DEBC，DEBC（2）问题解决如图2，在正方
24、形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG2，DF3，GEF90，求GF的长（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，A100，D110，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG4，DF，GEF90，求GF的长【解答】解：（1）如图1，在ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EFDE，连接CF，在ADE和CFE中，ADECFE（SAS），ADCF，AECF，ADCFADBD，BDCF，BDCF，四边形DBCF是平行四边形，DEBC，DFBCDEDFBC（2）如图2，延长GE、FD交于点H，E为AD中点，EAED，且AEDH90，在
25、AEG和DEH中，AEGDEH（ASA），AGHD2，EGEH，GEF90，EF垂直平分GH，GFHFDH+DF2+35；（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知AEGDEH，GFHF，AHDE100，AGHD4，ADC110，HDF360100110150，HDP30，DPH90PH2，PD2DF，PFPD+DF+23，在RtHFP中，HPF90，HP2，PF3，HF，GFFH12. 在ABC中，ABAC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG
26、、DG（1）如图，当BACDCF90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图，当BACDCF60时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当BACDCF时，直接写出AG与DG的数量关系【解答】（1）AGDG，AGDG，证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形CDEF是正方形，DEDC，DECF，GBHGED，GHBGDE，G是BE的中点，BGEG，在BGH和EGD中BGHEGD（AAS），BHED，HGDG，BHDC，ABAC，BAC90，ABCACB45，DCF90，DCB90，ACD45，ABHACD45，在ABH和ACD中ABHACD（SAS），BAHCAD，AHAD，BAH+HAC90，CAD+HAC90，即HAD90，AGGD，AGGD；（3）DGAGtan；证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形CDEF是菱形，DEDC，DECF，GBHGED，GHBGDE，G是BE的中点，BGEG，在BGH和EGD中BGHEGD（AAS），BHED，HGDG，BHDC，ABAC，BACDCF，ABC90，ACD90，ABCACD，在ABH和ACD中ABHACD（SAS），BAHCAD，AHAD，BACHAD；AGHD，HAGDAG，tanDAGtan，DGAGtan