《专题04分式方程的含参问题与应用（解析版）【苏科版】.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04分式方程的含参问题与应用（解析版）【苏科版】.doc（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题04分式方程的含参问题与应用【方法指导】1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数2.解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论3.分式方程的增根问题：（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程
2、本身就隐含着分母不为零的条件当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根4.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等列分式方程解应用
3、题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力【题型剖析】【类型1】解分式方程【例1】（2019江都区三模）解方程：4x-1-5x=0【分析】先去分母，将方程化为一元一次方程，然后解之即可，最后验根【解析】去分母，得4x5（x1）0，去括号，得4x5x+50，合并同类项，得x+50，解得 x5，检验：将x5代入原分式方程，左边0右边，原分式方程的解为x5【方法小结】本题考查了实数运算以及解分式方程，熟练掌握特殊三角函数值与幂的运算、解分式方程是解题的关键【变式1-1】（2019润州区二模）（1）解方程：12x-4+12=32-x【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式
4、方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；【解析】（1）去分母得：1+x26，解得：x5，经检验x5是分式方程的解；【方法小结】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式1-1】解方程：x+3x-3-4x+3=1；【分析】分别求出不等式的解集，然后找到其公共部分即可【解答】（1）解：去分母：两边乘以（x3）（x+3）得（x+3）24（x3）x29，2x30，x15，检验：将x15代入（x+3）（x3）0，原分式方程的解为x15；【变式1-2】（2019苏州模拟）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号maxa，b表示a、b中较大的数，如：max2，
5、44按照这个规定方程maxx，x=2x+1x的解为（）A1-2B2-2C1-2或1+2D1+2或1【分析】分xx和xx两种情况将所求方程变形，求出解即可【解析】当xx，即x0时，所求方程变形为x=2x+1x，去分母得：x2+2x+10，即（x+1）20，解得：x1x21，经检验x1是分式方程的解；当xx，即x0时，所求方程变形为x=2x+1x，去分母得：x22x10，代入公式得：x=2222=12，解得：x31+2，x41-2（舍去），经检验x1+2是分式方程的解，综上，所求方程的解为1+2或1故选：D【类型2】：分式方程的增根问题【例2】（2019高邮市二模）若关于x的方程x-3x-2=m2
6、-x有增根，则m的值为【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根有增根，最简公分母x20，所以增根是x2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值【解析】方程两边都乘（x2），得x3m，方程有增根，最简公分母x20，即增根是x2，把x2代入整式方程，得m1故答案为：1【方法小结】考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值【变式 2-1】（2019高密市一模）若关于x的分式方程xx-3-2=m2x-3有增根，则m的值为 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根有增根
7、，最简公分母x30，所以增根是x3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值【解析】方程两边都乘x3，得x2（x3）m2，原方程增根为x3，把x3代入整式方程，得m3【变式2-2】（2019姑苏区校级模拟）关于x的方程x-1x-2=mx-1+1无解，则m的值是（）A0B0或1C1D2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值【解析】去分母得：x22x+1mx2m+x23x+2，整理得：（m1）x2m1，由分式方程无解，得到m10且2m10，即m1；当m1时，2m-1m-1=1或2m-1m-1=2，解得：m0故选：B【类型3】：分式方程的特
8、殊解问题【例3】（2019海州区模拟）关于x的分式方程x+mx-2+2m2-x=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（）Am6且m2Bm6且m2Cm6且m2Dm6且m2【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可【解析】x+mx-2+2m2-x=3，方程两边同乘（x2）得，x+m2m3x6，解得，x=6-m2，6-m22，m2，由题意得，6-m20，解得，m6，实数m的取值范围是：m6且m2故选：D【方法小结】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键【变式3-1】（2015泰兴市校级模拟）已知关于
9、x的分式方程a+2x+1=1的解是负数，则a的取值范围是（）Aa1Ba1且a2Ca1Da1且a2【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不为0【解析】去分母得：x+1a+2分式的分母不为0，a+20解得：a2由x+1a+2得；xa+1方程的解为负数，a+10a1a的取值范围是a1且a2故选：B【变式3-2】（2019铜山区校级模拟）已知关于x的分式方程mx+1=1的解是非负数，则m的取值范围是【分析】解分式方程mx+1=1，得xm1，所以m10，因此m1【解析】解分式方程mx+1=1，得xm1，解是非负数，m10，m1，故答案为m1【变式3-3】（2019睢宁县模
10、拟）若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为正数，且使关于y，不等式组y+23-y213(y-a)0的解集为y2，则符合条件的所有整数a的和为10【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a6且a2，根据不等式组的解集为y2，即可得出a2，找出2a6且a2中所有的整数，将其相加即可得出结论【解析】分式方程2x-1+a1-x=4的解为x=6-a4且x1，关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为正数，6-a40且6-a41，a6且a2y+23-y213(y-a)0 解不等式得：y2；解不等式得：ya关于y的不等式组 y+23-y213(y-a)0的解集为y2，a22a6且a2a为整数，
11、a2、1、0、1、3、4、5，（2）+（1）+0+1+3+4+510故答案为：10【类型4】：分式方程的应用【例4】（2019广陵区校级三模）今年，中小学启动实施“足球进校园”，开设了“足球大课间”特色社团活动某校打算用12000元购进某种品牌的足球供学生使用经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了20%，这样购买的足球数量比原计划减少了20个，求足球原来的价格【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意分式方程要检验【解析】设足球原来价格为x元/个，12000x(1+20%)+20=12000x，解得，x100，经检验，x100是原分式方程的解，答：足球原来的价格100元/个【方
12、法小结】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程【变式4-1】（2019溧水区二模）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同（1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？（2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，求最多购进甲种兰花多少株？【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元，注意分式方程要检验；（2）根据题意可以列出
13、相应的不等式，从而可以解答本题【解析】（1）设每株乙种兰花的成本为x元，则每株甲种兰花的成本为（x+100）元由题意得1200x+100=900x，解得，x300，经检验x300是分式方程的解，x+100300+100400，答：每株甲种兰花的成本为400元，每株乙种兰花的成本为300元；（2）设购进甲种兰花a株由题意得400a+300（3a+10）30000，解得，a27013，a是整数，a的最大值为20，答：最多购进甲种兰花20株【变式4-2】（2019高淳区二模）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校已知甲步行速度是乙骑自
14、行车速度的13，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【分析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是13xm/min，根据题意列方程即可得到结论；（2）82001600米即可得到结果【解析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是13xm/min，由题意得：3200x-8=20013x+3200-2003x解得x200经检验x200原方程的解答：乙骑自行车的速度为200m/min（
15、2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以 82001600（m）答：乙同学离学校还有1600m【变式4-3】（2019靖江市一模）为落实“美丽秦州”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作多少天？【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的
16、长度为32x米，根据工作时间工作总量工作效率结合甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作2400-90m60天，根据总费用甲队每天所需费用工作时间+乙队每天所需费用工作时间结合总费用不超过195万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论【解析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x米根据题意得：720x-72032x=4解得：x60，经检验，x60是原分式方程的解，且符合题意，32x90答：乙工程队每天能改造道路的长度为
17、60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作2400-90m60天根据题意得：7m+2400-90m605195解得：m10答：至少安排甲队工作10天【方法小结】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式【达标检测】一选择题（共6小题）1（2019百色）方程1x+1=1的解是（）A无解Bx1Cx0Dx1【答案】C【解析】1x+1=1，移项可得1x+1-1=-xx+1=0，x0，经检验x0是方程的根，方程的根是x0；故选：C2（2019益阳）解分式方
18、程x2x-1+21-2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）Ax+23Bx23Cx23（2x1）Dx+23（2x1）【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x1），得x23（2x1），故选：C3（2019本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（）A360x=480140-xB360140-x=480xC360x+480x=140D360x-140=480x【答案】A【解析】设甲型机器人每台x万元
19、，根据题意，可得：360x=480140-x，故选：A4（2019鸡西）已知关于x的分式方程2x-mx-3=1的解是非正数，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3Dm3【答案】A【解析】2x-mx-3=1，方程两边同乘以x3，得2xmx3，移项及合并同类项，得xm3，分式方程2x-mx-3=1的解是非正数，x30，m-30(m-3)-30，解得，m3，故选：A5（2019莱芜区）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少
20、20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（）A200000x=200000(1-20%)x-50B200000x=200000(1+20%)x-50C200000x=200000(1-20%)x+50D200000x=200000(1+20%)x+50【答案】A【解析】设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x50）元，根据题意，得200000x=200000(1-20%)x-50故选：A6（2019湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，湘潭某家小型快
21、递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A120x-20=90xB120x+20=90xC120x=90x-20D120x=90x+20【答案】B【解析】由题意可得，120x+20=90x，故选：B二填空题（共7小题）7（2019淮安）方程1x+2=1的解是 【答案】x1，【解析】方程两边都乘以（x+2），得1x+2，解得，x1，经检验，x1是原方程的解，故答案为：x18分式方程1x=2x+1的解为x 【答案】以x1【解析】方程两边同乘x（x+
22、1），得x+12x，解得x1将x1代入x（x+1）20所以x1是原方程的解9（2019宿迁）关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为正数，则a的取值范围是 【答案】a5且a3【解析】去分母得：1a+2x2，解得：x5a，5a0，解得：a5，当x5a2时，a3不合题意，故a5且a3故答案为：a5且a310（2019永州）方程2x-1=1x的解为x 【答案】1【解析】去分母得：2xx1，解得：x1，经检验x1是分式方程的解，故答案为：111（2019襄阳）定义：a*b=ab，则方程2*（x+3）1*（2x）的解为 【答案】x1，【解析】2*（x+3）1*（2x），2x+3=12x，4xx+
23、3，x1，经检验：x1是原方程的解，故答案为：x112（2019齐齐哈尔）关于x的分式方程2x-ax-1-11-x=3的解为非负数，则a的取值范围为 【答案】a4且a3【解析】2x-ax-1-11-x=3，方程两边同乘以x1，得2xa+13（x1），去括号，得2xa+13x3，移项及合并同类项，得x4a，关于x的分式方程2x-ax-1-11-x=3的解为非负数，x10，4-a0(4-a)-10，解得，a4且a3，故答案为：a4且a313（2019绥化）甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200km的B地，甲、乙两车的速度之比是4：5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为 km/h
24、【答案】80【解析】设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为54xkm/h，依题意，得：200x-20054x=3060，解得：x80，经检验，x80是原方程的解，且符合题意故答案为：80三解答题（共7小题）14（2019徐州）（1）解方程：x-2x-3+1=23-x（2）解不等式组：3x2x-22x+15x-5【答案】x=32; 2x2；【解析】（1）x-2x-3+1=23-x，两边同时乘以x3，得x2+x32，x=32；经检验x=32是原方程的根；（2）由3x2x-22x+15x-5可得x-2x2，不等式的解为2x2；15（2019南京）解方程：xx-1-1=3x2-1【答案】x2【解析】
25、方程两边都乘以（x+1）（x1）去分母得，x（x+1）（x21）3，即x2+xx2+13，解得x2检验：当x2时，（x+1）（x1）（2+1）（21）30，x2是原方程的解，故原分式方程的解是x216（2019南通）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”为传承优秀传统文化，某校购进西游记和三国演义若干套，其中每套西游记的价格比每套三国演义的价格多40元，用3200元购买三国演义的套数是用2400元购买西游记套数的2倍，求每套三国演义的价格【答案】x80【解析】设每套三国演义的价格为x元，则每套西游记的价格为（x+40）元，依题意，得：3200x=22400x+40，解得：x
26、80，经检验，x80是所列分式方程的解，且符合题意答：每套三国演义的价格为80元17（2019常州）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？【答案】甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件【解析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30x）个零件，由题意得：180x=12030-x，解得：x18，经检验：x18是原分式方程的解，则301812（个）答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件18（2019扬州）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务甲、乙两个工程队每天共整
27、治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等求甲工程队每天修多少米？【答案】甲工程队每天修900米【解析】设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500x）米，根据题意可得：3600x=24001500-x，解得：x900，经检验得：x900是原方程的根，答：甲工程队每天修900米19（2018徐州）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？【答案】A车行驶的时间为3.5
28、小时，B车行驶的时间为2.5小时【解析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据题意得：700t-7001.4t=80，解得：t2.5，经检验，t2.5是原分式方程的解，且符合题意，1.4t3.5答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时20（2018抚顺）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？【答案】至少安排甲队工作10天【解析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x米，根据题意得：360x-36032x=3，解得：x40，经检验，x40是原分式方程的解，且符合题意，32x=324060答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作1200-60m40天，根据题意得：7m+51200-60m40145，解得：m10答：至少安排甲队工作10天