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1、热点专题7 类比拓展探究题类比拓展探究题是河南中考的热点、难点，连续这几年在中招试卷的22题中出现，占10分。类比拓展探究题涉及知识很广泛.通常以特殊三角形、四边形为载体,综合三角形全等与相似、特殊三角形、平行四边形、特殊平行四边形以及图形的旋转、平移、折叠变换等知识。设置问题一般有3问，每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用。河南省中考考试说明要求灵活应用数形结合、转化等数学思想，以及具有由特殊到一般的类比推理能力。考向1 全等型类比拓展探究1.（河南省濮阳市县区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）（1）已知：如图1，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与、重合），以为边作等边，
2、连接.求证：，；（2）如图2，在中，点为上的一动点（点不与、重合），以为边作等腰，（顶点、按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：的度数；线段、之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点、按逆时针方向排列），连接.则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；连结，若，直接写出的长.【答案】（1）见解析；DCE120；（2）DCE90, BD2+CD2DE2证明见解析；（3）（2）中的结论还成立，AE.【解析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出BAC=DAE=60，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出ABDAC
3、E，即可得出结论；由ABDACE，以及等边三角形的性质，就可以得出DCE120；（2）先判定ABDACE（SAS），得出B=ACE=45，BD=CE，在RtDCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；（3）运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；根据RtBCE中，BE=10，BC=6，求得进而得出CD=8-6=2，在RtDCE中，求得最后根据ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长【详解】（1）如图1，ABC和ADE是等边三角形，ABAC，ADAE， ACBB 60，BACDAE60，BACDACDAEDAC，BADEACABD和ACE中，ABDAC
4、E（SAS），BDCE；ABDACE ,ACEB60,DCEACE +ACB60+60120； （2）DCE90, BD2+CD2DE2证明：如图2，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），BACE45，BDCE，B+ACBACE+ACB90，BCE90，RtDCE中，CE2+CD2DE2，BD2+CD2DE2； （3）（2）中的结论还成立理由：如图3，BAC=DAE=90，BAC+DAC=DAE+DAC，即BAD=CAE，在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），ABC=ACE=45，BD=CE，ABC+ACB=ACE+ACB
5、=90，BCE=90=ECD，RtDCE中，CE2+CD2=DE2，BD2+CD2=DE2；RtBCE中，BE=10，BC=6，BD=CE=8，CD=8-6=2，RtDCE中，ADE是等腰直角三角形，【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方2.（河南省外国语中学2019届九年级中招适应性测试卷数学试题）两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，ADAB操作发现：（1）
6、如图1，点D在GC上，连接AC、CF、CG、AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由实践探究：（2）如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由【答案】(1)；(2)，理由见解析.【解析】（1）先根据条件判定ABCCEF，进而得到AC=CF，ACB=CFE，再根据CFE+ECF=90，得出ACF=90，即可得到ACCF；（2）先根据条件判定ACDGEC，即可得出ACD=GEC，DC=EC，AC=GE，进而判定四边形ACEG是平行四边形，得出AGCE，再根据矩形CEFG中，GFCE，即可得到AG
7、和GF在同一条直线上【详解】（1）AC=CF，ACCF理由如下：如图1，矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，BC=EF，B=CEF=90，在ABC和CEF中，ABCCEF（SAS），AC=CF，ACB=CFE，RtCEF中，CFE+ECF=90，ACB+ECF=90，ACF=BCD+ECG-（ACB+ECF）=90+90-90=90，ACCF；（2）AG和GF在同一条直线上理由如下：如图2，矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB=CE，AD=GC，CD=CE，ADC=GCE=90，在ACD和GEC中，ACDGEC（SAS），ACD=GEC，DC=EC，AC=GE，CDE=DE
8、C，ACD=CDE，GEAC，四边形ACEG是平行四边形，AGCE，又矩形CEFG中，GFCE，AG和GF在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：旋转前、后的图形全等解题时注意：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解第（2）题时方法不唯一，也可以通过判定ACGCAD得到AGC=90，进而根据AGF=180得出AG和GF在同一条直线上3.（2019年河南省实验中学中考三模数学试卷）如图1，在中，点、分别在边、上，连结，点、分别为、的中点.（1）
9、观察猜想 图1中，线段与的数量关系是_，位置关系是_；（2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值.【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由详见解析；（3）面积的最大值为.【解析】（1）利用三角形的中位线得出PMCE，PNBD，进而判断出BDCE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PMCE得出DPMDCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出ABDACE，得出BDCE，同（1）的方法得出PMBD，PNBD，即可得出PMPN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，P
10、MN面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大AMAN，最后用面积公式即可得出结论【详解】解：（1）点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PNBD，点P，M是CD，DE的中点，PMCE，PMCE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA，BAC90，ADCACD90，MPNDPMDPNDCAADC90，PMPN，故答案PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE，BDCE，利用三角形中位线得，PNBD，PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，P
11、MCE，DPMDCE，同（1）的方法得，PNBD，PNCDBC，DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC，BAC90，ACBABC90，MPN90，PMN是等腰直角三角形；（3）如图2，同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形，MN最大时，PMN面积最大，DEBC且DE在顶点A上面，MN最大AMAN，连接AM，AN，在ADE中，ADAE4，DAE90，AM2，在RtABC中，ABAC10，AN5，MN最大257，SPMN最大PM2MN2（7）2【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等
12、腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，PMN的面积最大4.（2019年河南许昌数学二模）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点（1）观察猜想将图1中的BCD绕点O逆时针旋转至图2中ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是 ，直线AC与DE的位置关系是 （2）类比探究将图2中的ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由（3）拓展延伸将图2中的ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，
13、若AB4，请直接写出BM的最大值与最小值【解析】（1）连接OA，OC，可证AOCDOE（SAS）；（2）方法和（1）相同，易证AOCDOE（SAS）；（3）在旋转过程中，取AD中点N，连接MN，BN，BM，BM、MN、BN不共线时构成三角形，由三角形边的关系“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知：BNMNBMBN+MN，当B，N，M共线时，得到BMBN+MN和BMBNMN分别为BN的最大值、最小值【解答】解：（1）如图1和图2，连接OA，OC， 正方形ABCD，ABBCCDAD，OAOBOCOD，AODCOE90，AOD+DOCCOE+DOC，即AOCDOEAOCDOE（SAS
14、）ACDE，ACODEODEO+EMO90，EMOCMDACO+CMD90，ACDE故答案为：ACDE，ACDE（2）（1）中的结论：ACDE，ACDE仍然成立如图3，连接OA，OC，延长AC，ED交于M，AOC+CODDOE+COD90，AOCDOEOAOCODOEAOCDOE（SAS），OACOCAODEOEDAOC+OAC+OCA180，AOC+OAC+OED180OAC+AOE+OED270OAC+AOE+OED+M360M90ACDE（3）如图3，取AD中点N，连接MN，BN，BM，ABAD4，在RtAMD中，AMD90，ANDN，MNAD2，在RtABN中，BN，当ECF在平面内旋
15、转时，BNMNBMBN+MN，2BM+2BM的最大值为2，最小值为+2【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，还考查了几何旋转变换和“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”考向2 相似型类比拓展探究1.（河南省南阳市淅川县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在和中，点为射线，的交点 （1）问题提出：如图1，若，与的数量关系为_；的度数为_（2）猜想论证：如图2，若，则（1）中的结论是否成立？请说明理由【答案】（1）；（2）成立，理由见解析【解析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到DAB=CAE，然
16、后依据“SAS”可证明ADBAEC，最后，依据全等三角形的性质可得到ABD=ACE；由三角形内角和定理可求BPC的度数；（2）由30角的性质可知，从而可得，进而可证，由相似三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；【详解】（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE,ABC=ACB=45,ADBAEC（SAS）,ABD=ACE，BPC=180-ABD-ABC-BCP=180-45-（BCP+ACE）,BPC=90,故答案为：；（2）（1）中结论成立，理由： 在中，在中，；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全
17、等三角形的性质和判定、含30角的直角三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定，证明得是解题的关键2.（河南省南阳市镇平县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图1，在RtABC中，C=90，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE将ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0时，= ；当=180时，= （2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决在旋转过程中，BE的最大值为 ；当ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为 【答案】（1）；（2）无变化，证明见解析；（3）2+2 +1或
18、1.【解析】（1）先判断出DECB，进而得出比例式，代值即可得出结论；先得出DEBC，即可得出，再用比例的性质即可得出结论；（2）先CAD=BAE，进而判断出ADCAEB即可得出结论；（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD【详解】解：（1）当=0时，在RtABC中，AC=BC=2，A=B=45，AB=2，AD=DE=AB=，AED=A=45，ADE=90，DECB，故答案为，当=180时，如图1，DEBC，即：，故答案为；（2）当0360时，的大小没有变化，理由：CAB=DAE，CAD=BAE，ADCAEB，；（3）当点E在BA的延长线
19、时，BE最大，在RtADE中，AE=AD=2，BE最大=AB+AE=2+2；如图2，当点E在BD上时，ADE=90，ADB=90，在RtADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，BD=，BE=BD+DE=+，由（2）知，CD=+1，如图3， 当点D在BE的延长线上时，在RtADB中，AD=，AB=2，根据勾股定理得，BD=，BE=BDDE=，由（2）知，CD=1故答案为 +1或1【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质及分类讨论的数学思想，解（1）的关键是得出DEBC，解（2）的关键是判断出ADCAEB，解（3）关键是
20、作出图形求出BD，是一道中等难度的题目3. （河南省新乡市辉县市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在ABC中，点O在线段BC上，BAO=30，OAC=75，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长经过社团成员讨论发现，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造ABD就可以解决问题（如图2）请回答：ADB= ，AB= （2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACAD，AO=，ABC=ACB=75，BO：OD=1：3，求DC的长【答案】（1）75；4；（2）CD=4【解析
21、】（1）根据平行线性质可得出ADB=OAC=75，结合BOD=COA可得出BODCOA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出ABD=75=ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；（2）过点B作BEAD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在RtAEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在RtCAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解【详解】解：（1）BDAC，ADB=OAC=75BOD=COA，BODCOA，又AO=3，OD=AO=，AD=AO+OD=4BAD=30，ADB=75，ABD=180-BAD-ADB=75=ADB，AB=A
22、D=4（2）过点B作BEAD交AC于点E，如图所示ACAD，BEAD，DAC=BEA=90AOD=EOB，AODEOB，BO：OD=1：3，AO=3，EO=，AE=4ABC=ACB=75，BAC=30，AB=AC，AB=2BE在RtAEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，AB=AC=8，AD=12在RtCAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，解得：CD=4【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度4
23、.（河南省南阳市唐河县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）（1）【问题发现】如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）1或+1【解析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可
24、得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论【详解】解：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，
25、FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FC
26、E，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+15.（河南省洛阳市2019年中考数学二模试卷）如图1，在RtABC中，ABC90，ABBC4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为，BD、CE所在直线相交所成的锐角为(1)问题发现当0时，_；_(2)拓展探究试判断：当0360时，和的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明(3)在
27、ADE旋转过程中，当DEAC时，直接写出此时CBE的面积【答案】(1)，45；(2)和的大小无变化；(3)BCE的面积为4或12【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断(2)结论：和的大小无变化如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K证明DABEAC，即可解决问题(3)分两种情形：当点D在线段AB上时，当点D在线段BA的延长线上时，分别求解即可【详解】解：(1)如图1中，B90，BABC，A45，ACAB，点D、E分别是边AB、AC的中点，BDAB，ECAC，45，故答案为，45(2)结论：和的大小无变化理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于KAEAD，ACA
28、B，DAEBAC，DABEAC，DABEAC，OBKOCA，BOKCOA，BKOCAO45，和的大小无变化(3)当点D在线段AB上时，SBCE424，当点D在线段BA的延长线上时，SBCE4612综上所述，BCE的面积为4或12【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题6.（河南省新乡市长垣市2020届九年级上学期期末调研测试）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD
29、，BD，CP（1）观察猜想如图1，当60时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 （提示：求角度时可考虑延长CP交BD的延长线于E）（2）类比探究如图2，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由（3）解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值 【解析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点OPADCAB60，CAPBAD，CABA，PADA，CAPBAD（SAS），PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60，1，线BD与直线CP相交所
30、成的较小角的度数是60，故答案为1，60（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点EPADCAB45，PACDAB，DABPAC，PCADBA，EOCAOB，CEOOABB45，直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45（3）2-，2+如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于HCEEA，CFFB，来源:学科网EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，HAPO，APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5，ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，设ADa，则DCADa，PDa，2如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：DADC，设ADa，则CDADa，PDa，PCaa，2+的值是2-，2+.