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1、相似、全等三角形存在性问题例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线经过点A和轴正半轴上的点B，.（1）求这条抛物线的解析式；（2）连接OM，求的大小；（3）如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标.【解答】（1）；（2）；（3） 或【解析】（1）过点A作轴，垂足为E，如图所示：，解得，故该抛物线的解析式为；（2）过点M作于点F，如图所示：；（3）当点C在轴负半轴上时，则而，此时，不存在；当点C在轴正半轴上时，当时，即，又解得，；当时，即解得，综上，当与相似时，点C的坐标为 或.例2：如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO.（1）求二次函数表
2、达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为，当为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，点E、F在的边上，且满足与全等，求点E的坐标.【解答】（1）；（2）；（3），【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式可得，解得，该二次函数表达式为；（2），抛物线的对称轴为，如图所示：由两点间距离公式可得，点C是OB的中点，为等边三角形，又点B与点B关于CQ对称，在中，；（3）当F在边OA上时：1）如图1，过点D作轴，垂足为F，且E在线段OA上，由（2）得，点D在线段BO上，则；2）如图2，过点D作轴于F，过点D作轴，交AB于E，连接EF，过点E作轴于G
3、，同理可得，；3）如图3，将沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，过点B作轴于M，过点E作于N，由翻折性质可得，在中，由勾股定理得，则，；当点F在AB上时：过点D作轴，交AB于点F，连接OF与OA，轴，由抛物线的对称性可得，则则，点E与点A重合，此时点E的坐标为.综上，点E的坐标为，.巩固练习1.如图，抛物线与轴交，与轴交于点D，顶点为C.（1）求此抛物线的解析式；（2）在轴下方的抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，在中，的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，延长BA交于点D，连接AP交于点E，连接DE并延长交BC于点F.设点P运动的时间为秒，当与相似时，求的值.3.如图，已知抛物线（是实数且）与轴分别交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与轴正半轴交于点C.（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得、中任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.