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1、线性代数(经济数学2）课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程线性代数(经济数学2）（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有计算题5等试题类型未进入。一、计算题11. 设三阶行列式为求余子式M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A132. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 3. 求解下列线性方程组： 其中 4. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？5. 问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？二、计算题26. 计算的值。7. 计算行列式的值。8. 计算的值。9. 计算行列式的值。1
2、0. 计算的值。11. 求满足下列等式的矩阵X。12. A为任一方阵，证明，均为对称阵。13. 设矩阵 求AB14. 已知 求和15. 用初等变换法解矩阵方程 AX=B 其中 16. 设矩阵 求17. 求的逆。18. 设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求。19. 求矩阵的逆。20. 求矩阵的逆。三、计算题321. 设矩阵 求矩阵A的秩R(A)。22. 求向量组的秩。其中，。23. 设向量组，可由向量组，线性表示。 试将向量， 由 ，线性表示。24. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T.25
3、. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T。四、计算题426. 求线性方和组的解 27. 求解下列线性方程组 28. 当a、b为何值时，线性方程组有解，当其有解时，求出其全部解。29. 求解齐次线性方程组30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: 31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵32. 设矩阵求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。33. 求一个正交变换将二次型f=2x12+3x22+3x33+4x2x3化成标准形。34.
4、求一个正交变换将二次型f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4化成标准形。35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵化为对角阵。五、计算题5（略）答案一、计算题11. 解： ，（3分） ，（6分） ，（8分）2. 解：对照范德蒙行列式，此处a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 （3分）所以有 （5分） =10368 （8分）3. 解：写出系数行列式D （3分）D为n 阶范德蒙行列式，据题设 （5分）由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知 （8分）4. 解 系数行列式为 . （4分） 令D=0, 得 m=0或l=1. （6分）于是, 当m=0或l=
5、1时该齐次线性方程组有非零解. （8分）5. 解 系数行列式为 （4分） =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3+l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. （6分） 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解. （8分）二、计算题26. 解： （4分） （8分） （10分）7. 解（2分）（4分） （6分） （8分）=-60（10分）8. 解：（5分） （10分）9. 解：对于行列式，使用性质进行计算。有（第3列减第2列）（3分）（第2列减第1列）（6分）（由于2，3列对应相等）（8分）=0（10分）
6、10. 解 （5分） .（10分）11. 解将上述等式看成 （2分）由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 （4分）=（6分）= （8分）=（10分）12. 证：对称阵： （20分）（4分） 是对称阵. （6分）（8分） 是对称阵（10分）13. 解 AB （2分） （6分） （8分） （10分）14. 解（3分）（6分）而 （10分）15. 解 （1分） （3分） （5分） （7分） （9分） X=A-1B （10分）16. 解：（2分）（4分）（6分）（8分）于是（10分）17. 解：（3分） （7分） （10分）18. 证： 因为A可逆，所以|A|0，（1分）且于是有 A*=|A|A-1
7、（3分）对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得 |A*|=|A|A-1| =|A|n|A-1| （5分）又因 |A-1|0 （A可逆，由定义知A-1可逆）|A*|0 所以A*是可逆的 （6分）因为（8分）可知 （10分）19. 解：令，（2分）于是则 （4分）用伴随矩阵极易写出 （6分） （8分） （10分）20. 解 . |A|=20, 故A-1存在. （2分）因为 , （6分）所以 . （10分）三、计算题321. 解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有（2分） （4分） （6分） （8分）最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 （12分）22. 解：把排
8、成 的矩阵A（2分）（8分）这是一个下三角形矩阵（12分）23. 解：由上视为 的线性方程组，解出 来。 （2分） （6分） （10分）所以（12分）24. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. （2分）由 （8分）知, 当a=-1、0、1时, R(A)3, 此时向量组线性相关. （12分）25. 解由 , （7分）知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组. （12分）四、计算题426. 解： （3分）（6分）（9分）方程有解 （12分）视 x3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一）（15分）27
9、. 解：（3分） （6分）到此， ,导出组基础解系含52=3个基础解向量导出组有2 个自由未知量由最后的矩阵看取为自由未知量（8分）写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以 表示）得：（12分）即 （15分）28. 解：（3分） （5分） 时 方程组有解（无穷多解）。（7分）（10分） 得一般解：补齐 用解向量形式表出为： （15分）29. 解（第1行乘-2，-5分别加到第2，3行）（1分）（第2行乘-6加到第3行）（2分）（第2行与第3行交换）（3分）（第2行乘3加到第3行）（4分）（第3行乘）（5分）（第3行乘17加到第2行）（6分）（第2行乘-2加到第1行）（7分）
10、（第3行乘5加到第1行）（8分）（9分）因为，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应含有一个解向量（10分）与原方程同解的方程组有（12分）即 （15分）30. 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有.（3分） 与所给方程组同解的方程为.（6分） 当x3=0时, 得所给方程组的一个解h=(-8, 13, 0, 2)T. （9分） 与对应的齐次方程组同解的方程为.（12分） 当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系x=(-1, 1, 1, 0)T. （15分）31. 解（2分） （4分） （6分） （8分）对应的特征向量 ， ， （10分）标准化， ，（12分） 正交变换阵为CTAC （1
11、5分）32. 解 （1） A的特征值是 （2分）得A的正交相似的对角阵 （4分）（2）对于 ，由 得基础解系（6分）对于 ，由得基础解系（8分）对于 ，由 得基础解系 （10分）（3）由于 属于A的3个不同特征值 的特征向量，它们必正交将其标准化，得 （12分）（4）写出正交变换阵 （14分）（5）有 （15分）33. 解 二次型的矩阵为. 由,得A的特征值为l1=2, l2=5, l3=1. （3分） 当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由,得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T.（6分） 当l2=5时, 解方程(A-5E)x=0, 由,得特征向量(0, 1,
12、 1)T. 取. （9分） 当l3=1时, 解方程(A-E)x=0, 由,得特征向量(0, -1, 1)T. 取. （12分） 于是有正交矩阵T=(p1, p2, p3)和正交变换x=Ty, 使f=2y12+5y22+y32.（15分）34. 解 二次型矩阵为. 由,（3分）得A的特征值为l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 当l1=-1时, 可得单位特征向量. （6分） 当l2=3时, 可得单位特征向量. （9分） 当l3=l4=1时, 可得线性无关的单位特征向量, .（12分） 于是有正交矩阵T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=Ty, 使f=-y12+3y22+y32+y42.（15分）35. 解:将所给矩阵记为A. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩阵A的特征值为l1=-2, l2=1, l3=4. （3分） 对于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得. （6分） 对于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即, 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得. （9分） 对于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即,得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得. （12分） 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). （15分）五、计算题5（略）