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1、? ? 5. 将 1, 2 ?, 9 各用一次组成两个数, 使 其中一个数是另一个数的 9 倍. 求出所有满 足条件的解. (答案: 57 429= 6 381 9, 57 186= 6 354 9, 75 249= 8 361 9. ) 6. 将 1, 2 ?, 9 各用一次组成两个数, 使 其中一个数是另一个数的 8 倍. 求出所有满 足条件的解. ( 答案: 46个. ) 7. 将0, 1, ?, 9 各用一次组成算式, 使三 个等式同时成立: ! + ! = ! , ! + ! = ! , ! ! = ! ! . ( 提示: 以 0 为突破口. 0 只能在第三式 的右边. 分类穷举可得
2、1+ 7= 8, 3+ 6= 9, 4 5= 20. ) 8. 将 0, 1, ?, 9 表示为汉字, 满足下面的 诗句运算式: 床前 明= 月光, 疑是 地= 上霜, 其中, 每个汉字代表一个数码, 不同的汉字代 表不同的数码. 请找出相应的数字运算式. (提示: 以 0 为突破口. 0 只能是右边的 个位数. 分类穷举可得 15 4= 60, 29 3= 87; 15 4= 60, 39 2= 78. ) 9. 将 0, 1, ?, 9 各用一次, 组成两个三位 数、 一个四位数, 使两数之和等于第三个数. ( 提示: 仿例2, 可得 12 8= 96 个解. ) 10. 将0, 1, ?
3、, 9 各用一次, 组成一个两 位数、 两个四位数, 使两数之和等于第三个 数. ( 提示: 仿例2, 可得 9 4= 36个解. ) 含 有 参 数 的 不 等 式 问 题 杨 岚 清 ( 上海市大同中学, 200011) ? ? 收稿日期: 2007- 08- 07? 修回日期:2007- 11- 02 ? ? ( 本讲适合高中) 在一定条件下, 给出一个含有参数的不 等式, 求使该不等式恒成立的参数的取值或 取值范围以及求参数的最值等, 是数学竞赛 中的常见问题. 解答此类问题不仅需要对参 数有较强的把握能力, 还要熟练掌握证明不 等式的常用方法. 本文介绍几种处理此类问 题的主要方法.
4、 1? 分离参数, 转化成函数问题 例1 ? 若关于 x 的不等式 ax 2- | x+ 1| + 2a 0时, g( t)max= g( 3) = 3+ 1 4 ; (3)当 t 0时, g( t)max= g(- 3) = 3- 1 4 . 于是,f ( x)max= g( t)max= 3+ 1 4 . 52008年第 4 期 从而, a # 3+ 1 4 , + ) ( 2) 求出使不等式 ) 成立的最小正数 ? , 并给予证明. (2006, 全国高中数学联赛江苏赛区复 赛) 72008年第 4 期 讲解: 第( 1) 小题, 是证明一个存在性命 题, 由 d 的定义, 比较容易获证
5、; 第( 2) 小题, 是要确定参数 ?的最小值, 可先分类寻求, 猜出 ?的最小值, 再给出证明. ( 1) 由 d 的定义知 d ( ( a- b) 2, d ( ( b- c)2, d ( ( c- a)2. 以上三式相加得 3d ( ( a- b) 2+ ( b- c)2+ ( c- a)2 = 2( a 2+ b2 + c 2) - 2ab- 2bc- 2ca 0 且 d= ( b- c) 2. 故5d- ( a 2+ b2+ c2) = 5( b- c) 2- ( a2+ b2+ c2) (5( b- c) 2- ( 2b- c)2- b2- c2 = - 6bc+ 3c 2 (
6、0. 若 b a+ c 2 , 则 a 2b 且d= ( a- b) 2. 故5d- ( a 2+ b2+ c2) = 5( a- b) 2- ( a2 + b 2+ c2) = 4a 2- 10ab+ 4b2- c2 = 2( a- 2b) ( 2a- b) - c 2 0. 所以, d( 1 5 ( a 2+ b2+ c2) . 因此, ?min( 1 5 . 下面证明: ? 1 5 . 取 b= a+ c 2 , 则 d= a- c 2 2 . 此时, a 2+ b2+ c2= a2+a+ c 2 2 + c 2 = ( a- c) 2+a- c 2 2 + 3ac = 5d+ 3ac.
7、 由此可见, 对任意正数 ? ? ( a 2+ b2+ c2) + (1 5 - ? ) a 2- ac. 于是, 只要 c( 1 5 - ? ) a, 式 就不小 于 ? ( a 2+ b2+ c2) . 因为 c 0, 所以, 当 0 ? 1 5 时, 不等式 ) 不成立. 从而, ? 1 5 . 综上所述, 满足不等式 ) 的最小正数 ? 的值为 1 5 . 说明: 解第( 2) 小题时, 恰当地分类, 并分 别确定出 ?的取值范围是求解的关键; 之后 证明 ?min= 1 5 时, 取 b= a+ c 2 是重要的策略. 例 7? 设 n( n2) 是一个固定的整数. ( 1) 确定最
8、小常数 c, 使得不等式 + 1( i j ( n xixj( x 2 i+ x 2 j) ( c + n i= 1 xi 4 对所有的非负实数 x1, x2, ?, xn都成立; ( 2) 对于这个常数 c, 确定等号成立的充 要条件. ( 第 40届 IMO) 讲解: 先求出 c 的取值范围, 再给出证 明, 最后指出 c 取最小值时等号成立的充要 条件. 当 x1= x2= 1, x3= x4= ?= xn= 0 时, c 1 16 1 1 ( 1 2+ 12 ) = 1 8 . 下面证明: 不等式 + 1(i j(n xixjx 2 i+ x 2 j ( 1 8 + n i= 1 xi
9、 4 对所有的非负实数 x1, x2, ?, xn都成立. 8中 等 数 学 注意到 + n i= 1 xi 4= + n k= 1 x 2 k+ 2 + 1(i j(n xixj 2 4 + n k= 1 x 2 k,2 + 1(ij(nx ixj = 8 + 1(i j(nx ixj,+ n k= 1 x 2 k 8 + 1(i j(nx ixj( x 2 i+ x 2 j) . 故 + 1(i j(nx ixj( x 2 i+ x 2 j)( 1 8 + n i= 1 xi 4. 因此, c 的最小值为 1 8 , 且等号成立的充 要条件是, 其中两个 xi相等, 其余的 n- 2个 x
10、i均为 0. 说明: 此题是运用 先由简单情形得出结 论, 然后进行论证%的典型例子. 此题还有其 他解法, 如可运用 逐步调整, 不断逼近%的 方法. 4? 分类讨论 例8? 求最大的实数 ? , 使得当实系数多 项式f ( x ) = x 3+ ax2+ bx+ c 的所有根都是 非负实数时, 只要 x0, 就有 f ( x) ? ( x- a) 3 , 并问此式中的等号何时成立? ( 1999, 中国数学奥林匹克) 讲解: 先对 f ( x ) 的三个根排序, 再对 x 分区间进行分类求解. 设f ( x) 的三个根分别为 、 !、 ( 0( ( !( ) . 由根与系数的关系有 + !
11、+ = - a, !+ ! + = b, ! = - c. 则 x- a= x+ + !+ , f ( x) = ( x- ) ( x- !) ( x- ) . ( 1) 当 0(x( 时, 因为 - f ( x ) = ( - x) ( !- x ) ( - x) , 所以, 由平均值不等式得 - f( x)( + ! + - 3x 3 3 ( + ! + + x 3 3 . 故f ( x)- 1 27( x + + !+ ) 3 = - 1 27( x- a) 3. 显然, 上式等号成立的充要条件是 - x= !- x= - x , + !+ - 3x = + !+ + x ? x= 0,
12、 = != . ( 2) 当 !( x ( 时, 有 - f ( x ) = ( x- ) ( x- !) ( - x) ( x- - !+ 3 3 ( x + + !+ 3 3 . 故f ( x)- 1 27( x + + !+ ) 3 = - 1 27( x- a) 3. 易知, 上式等号成立的充要条件是 x- = x- != - x , x- - !+ = x + + !+ ? = 2x, = != 0. ( 3) 当 x 时, 有 f ( x) 0- 1 27( x- a) 3. 综上, 所求 ?max= - 1 27, 且等号成立的充 要条件是 x= 0, = != 或 = 2x,
13、= != 0. 说明: 利用平均值不等式求最值, 需要满 足 一正, 二定, 三相等%的条件, 为满足上述 条件, 这里对 x 分区间进行了讨论. 5 ? 活用化归思想, 建立相关式子的联系 例9? 求最小的实数 M, 使得对所有的 实数 a、 b、 c, 有 | ab( a 2- b2)+ bc( b2- c2) + ca( c2- a2)| (M( a2+ b2+ c2) 2. ( 第 47届 IMO) 92008年第 4 期 讲解: 设法将所给不等式左边转化成能 运用平均值不等式的式子, 并注意到将这个 式子与( a 2 + b 2+ c2 ) 2 建立联系, 进而求出 M 的最小值.
14、首先考虑 P( t)= tb( t 2- b2)+ bc( b2- c2)+ ct( c2- t2). 易知 P( b) = P( c) = P( - c- b) = 0. 则| ab( a 2- b2)+ bc( b2- c2)+ ca( c2- a2) | = | P( a) | = | ( b- c) ( a- b) ( a- c) ( a+ b+ c) | . 于是, 原不等式等价于 | ( b- c) ( a- b) ( a- c) ( a+ b+ c) | (M( a2+ b2+ c2) 2 . 由对称性, 不妨设 a(b(c, 则 | ( b- c) ( a- b) | = (
15、b- a) ( c- b) ( ( b- a) + ( c- b) 2 2 = ( c- a) 2 4 , 且等号成立的充要条件是 b- a= c- b, 即 2b= a+ c. 注意到 ( b- a)+ ( c- b) 2 2 ( ( c- b) 2+ ( b- a)2 2 ?3( c- a) 2 ? ( 2 ( b- a) 2+ ( c- b)2+ ( c- a)2 , 且等号成立的充要条件是 2b= a+ c. 从而, | ( b- c) ( a- b) ( a- c) ( a+ b+ c) | ( 1 4 | ( c- a) 3( a+ b+ c) | = 1 4 ( c- a) 6(
16、 a+ b+ c)2 ( 1 4 2( b- a) 2+ ( c- b)2+ ( c- a)2 3 3 ( a+ b+ c) 2 ( 2 2 4 ( b- a) 2 + ( c- b) 2 + ( c- a) 2 3 3 ( a+ b+ c) 2 2 . 由平均值不等式有 | ( b- c) ( a- b) ( a- c) ( a+ b+ c) | ( 2 2 ( b- a) 2+ ( c- b)2+ ( c- a)2+ ( a+ b+ c)2 4 2 = 9 2 32 ( a 2+ b2+ c2)2. 故 M9 2 32 , 且等号成立的充要条件是 2b= a+ c 及? ( b- a) 2
17、+ ( c- b)2+ ( c- a)2 3 = ( a+ b+ c) 2. 解得 2b= a+ c, ( c- a) 2= 18b2. 取 b= 1, 得 a= 1- 3 2 2 , c= 1+ 3 2 2 . 此时, 原不等式中的等号成立. 故 Mmin= 9 2 32 . 说明: 令 P ( t ) = tb ( t 2 - b 2 ) + bc( b 2- c 2) + ct ( c2- t2) , 得 P( b) = P( c) = P( - c- b) = 0, 是将原不等式等价转换成 | ( b- c) ( a- b) ( a- c) ( a+ b+ c) | (M( a2+ b
18、2+ c2) 2 的关键; 将| ( b- c) ( a- b)( a- c) ( a+ b+ c) | 逐步与( a 2+ b2+ c2)2 建立联系, 多次运用平 均值不等式, 对探索能力和变换不等式的技 巧都有较高的要求. 练 习 题 1. 若关于 x 的不等式x 2 bc, 求最 大的实数 k, 使得 ( a 2 - bc) 2 k( b2- ca) ( c2- ab) . ( 提示: 先取 b= c= 1, a= 1+ #( #为一 个可以任意小的正数) , 由所给不等式得出 kmax= 4, 再给出证明. ) 5. 求最小的正数 ? , 使对于任意正整数 n 和ai、 bi# 1,
19、 2 ( i = 1, 2, ?, n) , 且 + n i= 1 a 2 i= + n i= 1 b 2 i 都有+ n i= 1 a 3 i bi ( ?+ n i= 1 a 2 i. (提示: 对于任意的 ci、 di# 1, 2 , 有 1 2 ( ci di ( 2, 即( 1 2 di- ci) ( 2di- ci) ( 0, 则 c 2 i+ d 2 i( 5 2 cidi. 故+ n i= 1 ( c 2 i+ d 2 i)( 5 2 + n i= 1 cidi. 设 ai、bi# 1, 2 , 令 ci= ai 3 2 bi 1 2 , di= a 1 2 ib 1 2 i.
20、 两次运用上述不等式, 便得 + n i= 1 a 3 i bi ( 17 10+ n i= 1 a 2 i, 即? ?min= 17 10. 最后构造一个使 ?min= 17 10的实例. ) 命题与解题 非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧 邹 发 明 ( 重庆市第一中学校, 400030) ? ? 收稿日期: 2007- 09- 03? 修回日期:2007- 12- 17 ? ? 在数学竞赛中, 常常遇到一些具有一定 难度的非线性递归数列, 对这类问题有时不 妨将其化归为线性递归数列, 然后用特征根 方法求解. 1? 因式分解 例1 ? 已知数列 an中, a1= 1, a2= 2, a3= - 1, an+ 2an+ 1= 4an+ 1an- 6an+ 1an- 1+ 9anan- 1- 6a 2 n. 求 an. 分析: 该递归数列是非线性齐次递归数 列, 不能直接用特征根方法. 注意到递归式是 二次齐次式, 可通过因式分解将其化为一次 齐次式. 解: 因为 an+ 2an+ 1= 4 an+ 1an- 6 an+ 1an- 1+ 9 anan- 1- 6 a 2 n = ( 2an+ 1- 3an) ( 2an- 3an- 1) , 112008年第 4 期