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1、1.已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明：2.设为实数，函数。（）求的单调区间与极值；（）求证：当且时，。1.已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明：先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得则由可知，化简得，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有，即当时，0，在区间上为增函数；当时，；当时，0，在区间上为减函数。所以在时有最大值，即。又因为，所以。应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证，只须证当时，；当时，即可。由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当时，；当时，即在区间上为减
2、函数，所以有当时， ，我们通过二次求导分析的单调性，得出当时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。下面我们在接着分析当时的情况，同理，当时，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。综上，得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解：（），则题设等价于。令，则。当时，；当时，是的最大值点，所以 。综上，的取值范围是。（）由（）知，即。当时， 因为0，所以此时。当时，。所以比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！2.设为实数，函数。（）求的单调区间与极值；（）求证：当且时，。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。 ，继续对求导得 减极小值增由上表可知，而，由知，所以，即在区间上为增函数。于是有，而，故，即当且时，。