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1、2 0 1 4 年6 月 V 0 1 3 2N o 1 1 中学物理 概念规律辨析 轻绳连接物体加速度关系问题辨析 王化银 ( 安徽省淮北市第一中学 轻绳连接物体加速度关系问题，在高中物理竞赛中属于基 本入门内容，近年来在自主招生试题中也已有体现，而在安徽 省六校教育研究会2 0 1 3 年高二素质测试中，在所提供的这类 题目的参考答案还出了点错误 题1( 安徽省六校教育研究会2 0 1 3 年高二素质测试) 如 图1 所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A ，滑块通过细绳绕过 光滑滑轮连接物块曰，B 又通过一轻质弹簧连接物块c ，c 静止 在地面上开始用手托住A ，使绳子刚好伸直处于水平位置但
2、无张力，现将A 由静止释放，当速度达到最大时，C 也刚好同时 离开地面，此时B 还没有到达滑轮位置已知：m A = 1 2k g ，m 日 = 1k g ，m c = 1k g ，滑轮与杆子的水平距离L = 0 8 吐试求： ( 1 ) A 下降多大距离时速度最大； ( 2 ) 弹簧的劲度系数； ( 3 ) A 、B 的最大速度是多少? 参考答案( 1 ) 如图2 ，开始对B 分析 C 离开地面时 J & 1 = m 日g ， J h 2 = T t c g ， 的圆形轨道上运动然后再通过反推力发动机使人造卫星变 速从圆形轨道进入离月球近月点1 5k m 远月点1 0 0k m 的椭圆 轨道上
3、环绕之后将进入落月制动阶段，嫦娥三号探测器再次 开启反推力发动机，历时7 2 0 秒使其从近月点1 5k m 远月点1 0 0 k m 的椭圆轨道上，沿抛物线走4 0 0k m 左右的路程使其速度由 1 7k m s 减为零，在距月球1 0 0m 高处通过反推力发动机实现 短暂悬停，扫描月球表面地形，避开障碍物寻找着陆点落至月 面比较平坦的虹湾区，如果月面有大坑，需要挪个地方它会自 行平移，等照相机告诉它月面情况了才会降落，这个过程嫦娥 三号在月球的另一面，地面控制中心无法正常指挥完成，需完 全依靠嫦娥三号探测器携带的自主导航系统控制，完成降低高 度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，当
4、嫦娥三号卫 星在1 0 0m 高处完成悬停观察确定好落地点后，在反推力发动 机的作用下将继续下落，直到离月面3m 高处再次悬停，此时 关掉发动机，探测器自由下落，嫦娥三号探测器实现软着陆由 于探测器具有弹性缓冲机构，几条腿都有弹性，落月时不至于 摔坏着陆后的嫦娥三号探测器在月球将工作三个月，完成五 项科学考察 若嫦娥三号探测器在环月轨道上环绕月球运动的近月点 1 5k m 远月点1 0 0k m 可近似看成离月球平均高度为6 0k m 的 圆形轨道。若地球的质量是月球质量的8 1 倍，地球半径为6 4 0 0 k m ，地球的第一宇宙速度为7 9k m s ，月球的半径为1 7 4 0k m
5、， 那么嫦娥三号在此轨道上的环绕速度是多大? 解析 设地球质量和半径为M 、R ，月球质量和半径为T , 、 r ，卫星距月球表面的高度为h ，地球第一宇宙速度为”。，嫦娥三 号的速度为口：， 9 6 张启迪 安徽淮北2 3 5 0 0 0 ) 弋 l H B I f! 挑 m C iI 图l图2 此时绳子张力T = ( m 。+ m 。) g = 2 0N ， T c o s 0 = m A g ，C O S 0 = 0 6 1 ，p = 5 3 。， h = L c o t # = 0 6m ( 2 ) 缸= 髫l + 石22 南一= 0 2m ， 菇l = 石2 = 0 1m ， 五=
6、1 0 0N m ( 3 ) 对系统 乓= m 稻( 茗。+ 工：) + E ，一m A g h + 弘g i l a2 + 矿? l I B 口2 ， ”B 2V A C O S 0 ， 在地球表面卫星： 雨C M = 要， 嫦娥三号卫星： ”- 2 百G M ， G m口； ( + r ) 2 一r + h 也= 嘿= 茄“6 6km4 s 也2 而。顽j 再万叫 8 假若嫦娥三号卫星距月面3m 高处自由下落的时间t = 1 9s ，月球半径为r = 1 7 4 0k m ，则月球的第一宇宙速度为 多少? 解析 设月球表面重力加速度为g o ， 。2 - O m T 落时有 = 竽， 月球
7、第一宇宙速度有 G M mm 2 丁。m g o2 _ ， = , 石o r = 华= 1 7 1k m s 综上所述，卫星从发射到进入预定轨道、工作轨道、再到回 收，要经过若干次变轨，要实现轨道半径变大需通过推力发动 机对卫星做正功使速度变大来完成，调速的过程是短暂的，调 速后卫星再进入新的轨道要使轨道半径变小需依靠反推力发 动机做负功实现在变轨过程中若不加干预，卫星会在既定轨 道上长期运行下去，只有在稳定轨道上运行的卫星，其运动规 律才能用万有引力定律和开普勒三定律来诠释 万方数据 = 学m 7 s ， 2 一_ 一 s ， V B ：2 _ , - f f m s 2 了一8 另附关于本
8、题答案的说明：B 的速度呈单调递增和递减变 化，当日的速度最大时处于受力平衡状态，此时日上升0 2m ， 绳子拉力为2 0N ，而A 下降0 6m ，刚好呈现绳子拉力的分力与 A 的重力平衡，加速度等于零，速度最大所以本题的刚好能够 使A 、B 的加速度同时为零( 本题的数据限制了学生从求导的 角度去证明加速度是否能够同时为零) 质疑：A 、B 的加速度同时为零? 下面以2 0 1 1 清华自主招生试题为例，探究以上的问题 题2 ( 2 0 1 1 年清华自主招生试题) 如图3 ，水平高台上有 一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳 跨过定滑轮相连拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直
9、线运动， 则在拖车行进的过程中，小车的加速度 A 逐渐减小B 逐渐增大 C 先减小后增大D 先增大后减小 斡敲 一一 幽一1 驴 分析速度 = V c o s O ， 加速度 。= 警= d ( v d c t o s 0 一枷i n 警，a tQ t 【 几何关系x = h c o t O ， 出 ld ( c o t 0 ) 1 d O ”2 面5 百一2 一五万i d p口s i n 2 0 或 i2 一广， 得 口= 一v 2 s r i n 3 0 可见几h 为定值，显然0 减小时，o 减小 负号表示0 不断地减小这个结论在下面的的一道竞赛模 拟题中，可以得到更充分的印证 题3 (
10、竞赛模拟题) 质量分别为m 。、的两个小环A 、B 各套在两根固定的竖直光滑杆上，两杆间的距离为，如图5 所 示，一根绳子穿过B 环，一端连在A 环上， 另一端连在B 环所穿过的杆的杆顶；B 环 在竖直向下外力F 的作用下，以速度口。匀 速向下运动试求：( 1 ) 当两环问的绳与竖 直杆的夹角为0 时，的值；( 2 ) B 环从0 = 3 7 。运动到0 2 = 5 3 。的过程中，力做的功 解析设m I = 2 m , m 2 一”早 F 面只就A 、B 的速度及加速度关系作一讨论 速度关系 = V 0 c o s O + V C O $ O ， 或 ”= 匕笋。， 图5 其中 山d ( L
11、 c o 嗡s O 。)Q 秽 口2i 2 五一 s i n O e o s O + f1 一c o s O ) s i n Od O 2 C 0 8 百面F Q I s i n Od O 2 丽百 d O”1 d tr ( 口+ ) s i n Os i n 2 0 L s i n O 所以口：粤t a n 3 良 口 理论拓展分析 轻绳连接物体加速度关系，在极坐标中 有着更为清晰的物理意义 极坐标系中，r = r i ， 一 一 一d r d 一、d r d O - ： ”2 百一d t ( ) 2 百。面J ， 这里 警= 警7 ，誓= 一警了， ：= 百d v = i d 面d r 。
12、7 ) + i d ( r - d g p 7 ) ， o 2 百2i 面。，+ i L 7 J ， d ，d r 、d 2 r 一d rd O 7 百( 百) 2 再。+ - a T 百J ， 苦( r 帮) = 立d t 帮+ r 一r ( 警) 2 了，i l7 面J J 2 一面J 丽7 吖面， ：= 面d v = ( 塞一r ( 警) 2 ) 了+ ( rd d t 2 2 0 + 2 面d r 面d 0 J , - J 7 ， 径向加速度 a r = 丽d 2 r r ( 警) 2 ， 横向加速度 = r 粤+ 2 面d r 面d O t i t ULU L 由于在极坐标中，径向速
13、度和横向速度的方向都随时间而 变，所以虽然径向速度”，就等于矢径r 的时间变化率崇，但径 向加速度则并不等于径向的时间率崇，还有由于横向速度的方 向改变所引起的另一项( 一r ( 警2 ) ，它也是径向的 由以上分析，题1 中A 、B 的加速度同时为零的疑问，也就 能得到清晰而正确的回答： 21 2 A c o s O ， i d ) B = 啦型= 垫c o s p + ( - s i n O d t d t鸺d td t ”。、7 d 口口1 口 s i n Ov A s i n 2 0 面一一工一T s i n O 负号表示0 不断地减小 。= 半= 口。c 。s p + 2 ”j - s i n 3 p ， o B= _ 五一= 口 c o s 伊+s l n 伊 或 叩。s p = 。一詈s i n 3 且 上式第一项为径向速度大小的改变引起的，第二项为横向 速度的方向改变引起的，也是径向的所以，A 、B 的加速度不会 同时为零 q 一， 竺枷 学曲面 沦讨 万方数据