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1、PLAYPLAY 第一节 正态分布的密度函数第一节 正态分布的密度函数 第四章 正态分布第四章 正态分布 第二节 正态分布的数字特征 第三节 正态分布的线性性质 第四节 二维正态分布 第二节 正态分布的数字特征 第三节 正态分布的线性性质 第四节 二维正态分布 第五节 中心极限定理第五节 中心极限定理 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位 它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如比如,考察一群人的身高考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量 个体的身高作为一个随 机变
2、量,其取值特点是其取值特点是:在平均身高附近的人较多在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少 特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征 一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差 高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响 一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素无主导因素),则它一般服从正态 分布 则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题这是中心
3、极限定理探讨的问题. 第一节 正态分布的密度函数第一节 正态分布的密度函数 式中 为实数式中 为实数, 0 .则称则称X服从参数为 服从参数为 , 2的的正态分 布 正态分 布,亦称高斯分布亦称高斯分布.记为记为N( , 2).可表为可表为XN( , 2). 图象见右上角 若随机变量 图象见右上角 若随机变量X的密度函数为的密度函数为 一. 一般正态分布一. 一般正态分布 x exf x 其中 2 2 2 )( 2 1 )( 1. 定义1. 定义 x )(xf 0 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称对称 f()maxf(x) 2 1 正态分布有两个特性正态分
4、布有两个特性： (2) 的大小直接影响概率的分布 越大 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为 高斯 正态分布也称为 高斯(Gauss)分布分布 2 1 x )(xf 0 x )(xf 02246 )5/3 , 4(N ) 1 , 4(N )5/7 , 4(N 二二. 标准正态分布标准正态分布 参数参数0，21的正态分布称为标准正态 分布，记作 的正态分布称为标准正态 分布，记作XN(0, 1)。 其 。 其密度函数密度函数为为 )( 2 1 )( 2 2 x ex x x )(x 02424 分布函数为分布函数为 xdte
5、xXPx x t , )( 2 2 1 2 (1) (0)=0.5 (2) (+)1； (3) (x)1 (x). x 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 (x)的值的值.(P328附表附表1)如如,若若 XN（0,1), (0.5)=0.6915, P1.32X0,则有则有 dte xXPxF x t 2 2 2 )( 2 1 )( )( x ZP xX PxXPxF 三. 一般正态分布概率的计算三. 一般正态分布概率的计算 dte x t /)( 2 2 2 1 ).( x x 一般地,有一般地,有 x 0 )(xf
6、0 )(x bXaPbXaP b Z a P bXa P a ZP b ZP )()( ab ) 1 , 0( NZ 4 . 26 . 1, )2, 1 (1 2 XPNX求设随机变量例 14 . 2116 . 14 . 26 . 1XPXP解 4 . 116 . 2XP 7 . 02/ ) 1(3 . 1XP 2/4 . 12/ ) 1(2/6 . 2XP .6612. 09032. 01 7580. 0)3 . 1 (1 )7 . 0( ) 3 . 1()7 . 0( 例2. 设 XN(,例2. 设 XN(,2 2),求P-3X+3),求P-3X3的值.如在质量控制中, 常用标准指标值3作
7、两条线,当生产过程的指标观察 值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常. 本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为 P|X|3 1，忽略|X|3的值.如在质量控制中, 常用标准指标值3作两条线,当生产过程的指标观察 值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常. 33 )3()3( 33 XP XP XP解 33 X P )3()3(3/ )(3XP 9973. 01)3(2)3(1 )3( . 0 , 3 . 042, ), 2(3 2 XP XPNX 求 且设随机变量例 ., , )4, 3(4 CCXPCXP CNX 常数求 满足常数且设随机变量例 /2/ )2(042XPXP解 1,
8、 CXPCXPCXPCXP即由解 , 3 . 0)0()/2(8 . 0)0(3 . 0)/2( /2/ )2(0XPXP 2 . 08 . 01)/2(1)/2( 随机变量 标准化 随机变量 标准化 5 . 0CXP所以 5 . 0) 2 3 ( 2 3 2 3 , CCX PCXP另一方面 .3,0 2 3 C C 1 2 1 2 1 2 )()()()( ,. ),1 , 0(),1,0()2004(4 DCBA xxXPXP NX 等于则若满足 数对于给定的设年例 xXxP xXP解 x x 2 1 2 1 )(x 2 1 2 1 x xXP 故 例例5 一种电子元件的使用寿命(小时)
9、服从正态分 布(100,15 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分 布(100,152 2),某仪器上装有3个这种元件,三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率. 解 ),某仪器上装有3个这种元件,三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率. 解:设Y为:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,使用的最初90小时内损坏的元件数, 2514. 0)67. 0() 15 10090 (90 XPp 故故4195. 0)1 (0 3 pYP 则则YB(3,p) 其中其中 .)(.)(.)(.)( ,11 ),(),()2006
10、( 21212121 21 2 22 2 11 BCBA YPXP NYNX 则必有且 设随机变量年 一一. 一般正态分布一般正态分布N( , 2) xexfX x , 2 1 )( 2 2 2 )( dxe x dxxxfXE x 2 2 2 )( 2 )()( dte tx t t 2 2 2 第二节 正态分布的数字特征第二节 正态分布的数字特征 22 )()()( dxxfxXD 二二. 标准正态分布标准正态分布N(0, 1) xexfX x , 2 1 )( 2 2 )(0 2 )()( 2 2 奇函数 dxe x dxxxfXE x 1 2 1 )()()()( 2 2 22 2 d
11、xex dxxfXExXEXEXD x . )()( , 1 )( 1 12 2 X、DXE xexf X xx 求 的密度函数为已知随机变量例 2 1 , 1 )2/ 1 (2 11 )( 2 )2/ 1 (2 ) 1( 12 2 2 2 故 解 x xx eexf 例例2 设设X服从服从N(0，1)分布，求分布，求E(X2),E(X3) 2 2 2 1 )( x exf 解 dxe x dxxfxXE x 2 2 22 2 2 )()( 1 2 1 22 222 222 dxee x de x xxx 0 2 )()( 2 3 33 2 dxe x dxxfxXE x . 1 )(. 7
12、. 0)(. 3 . 0)(. 0)( ,)( ), 2 1 (7 . 0)(3 . 0)()(2009 DCBA EXx x xxFX 则为标准正态分布函数其中 的分布函数为设随机变量数一年 ).(,)(:xfXdxxxfEX的概率密度函数因此先求随机变量分析 ) 2 1 (7 .0)(3 .0)()( x xxFxf解 ) 2 1 ( 2 7 .0 )(3 .0 x x dx x xxdxxxfEX) 2 1 ( 2 7 . 0 )(3 . 0)(于是 dx x xdxxx) 2 1 ( 2 7 . 0 )(3 . 0 dxexdxex xx 2 2 ) 2 1 ( 2 1 2 2 1 2
13、 7 . 0 2 1 3 . 0 dtedtet tt 2 2 1 2 7 . 0 2 2 1 2 2 7 . 0 22 22 代入上式得则令. 12,2, 2 1 txdtdxt x dtetdxex tx 2 2 1 ) 12( 2 7 . 0 2 1 2 7 . 0 2 ) 2 1 ( 2 1 2 2 dxex x 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 7 . 0 0 dxex x 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 7 . 0 . 7 . 0 2 1 7 . 0 2 2 dte t dte t 2 2 1 2 7 . 0 0 2 2 . 3)(. 2)(. 1 )(. 0)( )
14、(, )(. 2 1 10 ,2009 DCBA zFXYZ zFYPYPY XYX Z Z 的间断点个数为则函数的分布函数 为随机变量记的概率分布为 服从标准正态分布且相互独立与设随机变量年 )(zZPzF Z 解zXYP 1| 10|0YzXYPYPYzXYPYP 1|0| 2 1 YzXYPYzXYP 1|10|0 2 1 YzXPYzXP 0 2 1 zXPzXP 为什么为什么? 0 2 1 )(,0) 1 (zXPzXPzFz Z 时当 )( 2 1 zXPP 0 2 1 )(,0)2(zXPzXPzFz Z 时当 0 2 1 zXP 2 1 zXP)( 2 1 z )( 2 1 z
15、XPP1 2 1 zXP )(1 2 1 z .)(.)(0,正确的间断点为函数所以BzFz Z . 8460%,3 . 2 96,72, )(,3 之间的概率 分分至求考生的外语成绩在生占总数的 以上的考而分平均成绩为近似服从正态分布 百分制考生的外语成绩某地抽样调查结果表明例 ,023. 0 96 1 X P023. 0) 96 (1 即 2 2 ,72 ),(, 下求方差其中 依题设知考生的外语成绩设解 NXX 023. 0 96 023. 096 X PXP由题设 12 2 7296 2 96 ,2 96 , 查表得 ,977 . 0 ) 96 ( 8460 8460, X PXP于是
16、 11 12 7284 12 7260 X P X P )1 (1 ) 1 () 1() 1 ( 682. 01841. 021) 1 (2 ., 6 .19, 100).10, 0(4 2 的近似值并利用泊松分布求出的概率 值大于至少有三次测量的绝对独立重复测量中 次试求在假设测量的随机误差例 NX 6 .19 6 . 19 1 X P 6 . 19 6 . 191XP6 .1916 .19 6 .19 XPXPp p的概率对值大于先求每次测量误差的绝解 10 0 6 . 19 10 0 6 . 19 1 X P 96. 196. 11 X P )96. 1 (1 )96. 1 (1)96
17、. 1 ()96. 1 (1 )96. 1()96. 1 (1 05 . 0 95. 12975. 022)96. 1 (22 )05. 0 ,100(, 6 .19100BYY则次测量中绝对值大于设 2101 3 YPYPYP YP于是所求的概率为 9822 100 9911 100 10000 100 )95. 0()05. 0( )95. 0()05. 0()95. 0()05. 0(1 C CC 故由泊松分布得, 505. 0100 np eee !2!1!0 1 210 87. 0) 2 5 51 (1) 2 1 (1 2 5 2 ee 习作题 1.设随机变量X 习作题 1.设随机变
18、量X N(0,1)，YN(0,1)，Y U(0,1)，ZU(0,1)，Z B(5,0.5),且 X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学 期望 2 设随机变量 B(5,0.5),且 X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学 期望 2 设随机变量 n XX ,., 1 相互独立,且均服从相互独立,且均服从),( 2 N 分布,求随机变量分布,求随机变量 n i i X n X 1 1 的数学期望 答 的数学期望 答: 答答: n i i XE n XE 1 )( 1 )( 2 27 ) 14()32()(ZEYXEUE 1. 设随机变量X1. 设随机变
19、量X B（12,0.5),Y B（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差. 2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依 次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 现已知90分以上有359人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数. N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差. 2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依 次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 现已知90分以上有359
20、人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数. 作业题作业题 , ),( 2 N 解： Y=ax+b关于x严单,反函数为解： Y=ax+b关于x严单,反函数为 a by yh )( )()()(yh a by fyf XY 例1 例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y=aX+b的密度函数,且有 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y=aX+b的密度函数,且有 dye a y YE a by 2 2 2 )( 2 )( bdxe bax x 2 2 2 2 2 2 2 )( 2 2 11 2 1 a by a by e aa e 第三节 正态分布的线性性质第三节 正态
21、分布的线性性质 一. 线性性质一. 线性性质 ),( 2 abNbXaY 2 2 )( 2 22 2 2 2 )( )( )()()( adye a by dyyfYEyYEYEYD a by 2 2 )( )(,)( , , 2 1 )( 2 2 aYDbYE Y e a yf a by 而且 服从正态分布可知随机变量 由 直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差 定理定理1 设随机变量设随机变量X 服从正态分布服从正态分布N( , 2),则X的线性 函数 也服从正态分布,且有 则X的线性 函数 也服从正态分布,且有XbaY ),( 22
22、abaNbXaY 例例2 已知X已知X N(N( , , 2 2),求 解 ),求 解 22 2 2 2 2 1 2 1 y y ee X Y的概率密度的概率密度 X Y关于关于x严格单调,反函数为严格单调,反函数为yyh)( 故故 )(| )(|)()(yfyhyhfyf XXY 你能用正态分布的线性性质求解吗?你能用正态分布的线性性质求解吗? 二. 正态分布的可加性二. 正态分布的可加性 ),( 2 2 2 2 2 1 2 122112211 aaaaNXaXa 定理3 设随机变量X定理3 设随机变量X1 1 , X, X2 2 ，., X，., Xn n 独立且X独立且Xi i 服从正态
23、分布N(服从正态分布N(i i ,i2 i2),i=1,.,n, 则 ),i=1,.,n, 则 定理2 设随机变量X定理2 设随机变量X1 1 ,X,X2 2 相互独立且X 相互独立且Xi i 服从正态分布N(服从正态分布N(i i ,i2 i2),i=1,2, 则 ),i=1,2, 则 ),( 2 1 2 11 i n i i n i ii n i ii aaNXa 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态 分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布. 故有依题设解;) 1 , 0(, ) 1 , 0(NYNX 1)(,0)(,1)(,0)(YDYEXDXE 且有服从正态分布可知于是由定
24、理,2YX 000)()()(YEXEYXE , 211)()()(YDXDYXD )2,0( NYX 即 例2. 设随机变量X与Y独立,且例2. 设随机变量X与Y独立,且X N(1,2),YN(0,1). 求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P P2Z8.2Z0、 、 2 0、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参 数为 服从参 数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的 二维正态分布，可记为 的 二维正态分布，可记为 ),(),( 2 2 2 121 NYX ,e 12 1 )y, x( f )y()y)(x( 2 )x( )1(2
25、1 2 21 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为 第四节 二维正态分布第四节 二维正态分布 二、边缘密度函数二、边缘密度函数 为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 dyyxfxf X ),()( dxyxfyfY),()( 设(X, Y)设(X, Y)f f(x,y),(x,y)(x,y),(x,y) R R2 2,则称 为(X,Y)关于X的边缘密度函数； 同理,称 易知N( ,则称 为(X,Y)关于X的边缘密度函数； 同理,称 易知N( 1, 1,
26、 2, 2, 12 12, , 2222, , )的边缘密度函数f )的边缘密度函数fX X (x)是 N( (x)是 N( 1, 1, 12 12)的密度函数,而f )的密度函数,而fX X (x)是N(x)是N( 2 2 , , 22 22)的密度函 数, )的密度函 数, . XY 且 即 即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布. . 可见可见,若（若（X,，Y）服从二维正态分布，则）服从二维正态分布，则X与与Y独立 独立 的的充分必要条件充分必要条件是是X与与Y不相关不相关。 例 设例 设(X,Y)服从服从N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布
27、，分布， Z=X/3+Y/2 1)求求E(Z) , D(Z) ;2)求求X与与Z的相关系数的相关系数 3)问问X与与Z是否相互独立？为什么？是否相互独立？为什么？ 5 . 0,4)(,0)(,3)(,1)( ),5 . 0,4,3,0, 1 (),() 1 ( 22 22 XY YDYEXDXE NYX 得由解 6)5 . 0(43)()(),( XY YDXDYXCov故 3/12/03/1 2/ )(3/ )()2/3/()( YEXEYXEZE于是 46/ )6(4/49/3 6/ ),(04/ )(9/ )()2/3/()( 22 YXvCYDXDYXDZD )2/3/,(),()2Y
28、XXCovZXCov )2/,()3/,(YXCovXXCov ),( 2 1 ),( 3 1 YXCovXXCov . 23 ,)3( 不独立与故 而不独立与因 ZX YX ZYX ),( 2 1 )( 3 1 YXCovXD . 0)6( 2 1 3 3 1 2 不相关与故ZX )( )( )()()()( )()()()( )|( ,)(),( ,),()2007( | yf xf DyfxfC yfBxfA yxf XyYYXyfxf YXYX Y X YX YX YX YX 为条件密度函数 的的条件下则在的概率密度分别表示 不相关与且服从二维正态分布设随机变量年 .)(.)( .),
29、( )(.)( ,)2003( 服从一维正态分布未必独立与 服从二维正态分布一定独立与 则且它们不相关都服从正态分布和设随机变量年 YXBYXC YXBYXA YX 设设Xn 为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为 为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn (x), F(x). 若在若在F(x)的 连续点，有 的 连续点，有 ),()(limxFxFn n 则称则称Xn 依分布收敛依分布收敛于于X. 可记为可记为 .XX w n . ),1, 0(., 1 * 满足中心极限定理则称 的标准化若现令 n n k w nnkn X NYvrYXY 一一. 依分布收敛
30、依分布收敛 第五节 中心极限定理第五节 中心极限定理 二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设设Xn 为独立同分布随机变量序列，若 为独立同分布随机变量序列，若 EXk = ，DXk = 2 ，k=1, 2, , 则则Xn 满 足中心极限定理。 根据上述定理，当 满 足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时充分大时 )( 1 1 n nx n nx n nX PxXP n i i n i i 或者或者 )( 1 xx n nX P n i i 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 50
31、0的概率是多少？ 解 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？ 解:设设 Xk 为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则 X1 ,X100 独立同分布独立同分布. 12 35 4 49 6 1 )(, 2 7 )( 6 1 2 11 i kXDXE 由中心极限定理由中心极限定理 12 35 10 2 7 100500 1500 100 1 i i XP 0)78 . 8 (1 则为标准正态分布记的指数分布服从参数为 且均量序列为独立同分布的随机变设例 ,)(,) 1( ,2 21 x XXX n n i i n i i n i i XD XEX
32、 1 11 )( )( 2 1 / / n nX n i i )(lim)().(lim)( )(lim)().(lim)( 11 11 xx n X PDxx n nX PC xx n nX PBxx n nX PA n i i n n i i n n i i n n i i n 2 /1)(,/1)( ii XDXE解 )( )( 1 11 n i i n i i n i i XD XEX n nX n i i 1 )2005()(lim 1 年于是xx n nX P n i i n 设随机变量设随机变量 n (n=1, 2, .)服从参数为服从参数为n, p(0p1) 的二项分布，则的二
33、项分布，则 ).1, 0( N npq np w n 2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 证明证明:设设 0 1 i X 第第i次试验事件次试验事件A发生 第 发生 第i次试验事件次试验事件A不发生 则 不发生 则 n i inii XppXDpXE 1 ),1 ()(,)( 由中心极限定理由中心极限定理,结论得证结论得证 例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每 人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为 0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率有多大? (2)其他条件不
34、变，为使保险公司一年的利润不少于 60000元,赔偿金至多可设为多少? 解 设解 设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中其中n= 10000,p=0.6%,设设Y表示保险公司一年的利 润 表示保险公司一年的利 润, Y=10000 12-1000X 于是由中心极限定理于是由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X0 =1 PX 120 1 (7.75)=0; 例4.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从 N(50,2.5 例4.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从 N(50,2.52 2)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最 多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05. )分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最 多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05. 解解: 设最多装设最多装n袋水泥袋水泥,Xi 为第为第i袋水泥的重量袋水泥的重量.则则 05. 02000 1 n i i XP令令)5 . 2 ,50( 2 1 nnNX n i i 05. 0) 5 . 2 502000 (12000 1 n n XP n i i 故 95. 0) 5 . 2 502000 ( n n 即 查表得查表得 645. 1 5 . 2 502000 n n 39 n