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1、“高观点高观点”下的初等数学下的初等数学 许高峰许高峰11 数本一班数本一班 摘要摘要 拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大 学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用， 以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在 一些问题上的具体应用， 让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专 业的学生，都能从中获取一些启发。 关键词关键词 拉格朗日乘数法 最大值 最小值 约束条件 例一：设实数yx，满足5544 22 =+xyyx，设 22 yxS+=，则S的最小值为 .（浙江省杭州市 2012 届高三上学期期中七校联考
2、数学（理） ） 证明：因为 5)( 2 13 5)( 2 5 44 55440 22 2222 22 += + += yx yxyx xyyx 所以有05)( 2 13 22 +yx成立，即 13 10 22 +yx，所以S的最小值为 13 10 ，当 且仅当yx=时成立. 说明说明： 一看到这类题， 高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决， 这种思路是对的， 但是用不等式的方法是有局限性的， 不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个， 却不 一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S的最大值是多少，显然改完 之后， 题目的难度就增加了， 所以， 这类题目需要我们进一步的研
3、究， 去寻找更一般的方法， 从而更有效地解决这一类问题。 如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高 中生的知识水上， 还是可以用初等数学的知识加以解决的。 容易想到把上述等式凑成平方项 之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式： 222 222 )(5 5)()( ByBxAyAx ByBxAyAx +=+ =+ 用待定系数法求得 2 3 =A， 2 10 =B.不难发现当xy=时， 22 AyAx+取得最大值， 最大值S为 3 10 . 同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式
4、 化成另一种形式，即： 5)()( 222 =+yBxByAxA； 按照上述的方法也可以求出最小值为 13 10 . 例二：设yx，为实数，若14 22 =+xyyx，则yx+2的最大值是. （2011 年浙江理科数学高考试题） 证明：因为 2 22 222 )2( 8 5 ) 2 2 ( 2 3 )2( )2( 2 3 )2(41 yx yx yx yxyxxyyx + + + +=+= 从而解得yx+2的最大值为 5 102 ，且最小值为 5 102 . 说明说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作 用在这两个例子中并没有充分的体现， 但是， 拉格朗
5、日乘数法是一种解决这类问题的普遍方 法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任” ，而这时，我们就 可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：在求条件()0,=yx下),(yxfz=的极值.构造拉格朗日函数 ),(),(),(yxyxfyxL+=，称),(yxf为目标函数，为拉格朗日常数， ),(yx是对于两个非独立yx,的约束.由： = = = 0),( 0),( 0),( yxL yxL yxL y x 解得的),(yx为可能的极值点.下面从一些例题来说明拉格朗日乘数法的优越性. 例一：已知 + R R R
6、Rcba,，且632=+cba，求 222 32cba+的最小值. 解:记 222 32),(cbacbaf+=，632),(+=cbacbag，由取得极值的条 件： ),( ),( ),( ),( ),( ),( cbag cbaf cbag cbaf cbag cbaf c c b a a a =，可得cba=.又632=+cba， 所以1=cba，即1=cba时， 222 32cba+的最小值为6. 说明说明：虽然本题也可以找到初等方法，即用柯西不等式求解，这里是为了说明拉格朗日的具 体应用，另外前两个例题都可以用该种方法进行求解，这里不作具体展开. 例二：已知三角形的周长为p2，将它绕
7、其一边旋转构成一个立体，求使立体体 积最大的那个三角形. 解：设三角形的三边长为cba,，并设以AC边为旋转轴（如图所示） . 3 1 2b hV= 又设三角形的面积为S，于是有 . )()( 22 cpbpapp bb S h= 所以有).)()( 3 4 cpbpap b p V= 问题就化成),(cbaV在条件02=+pcba下的最大值点，等价于求 bcpbpapcpbpap b cbaVln)ln()ln()ln()()( 1 ln),( 0 += 在条件：02=+pcba下的最大值点.应用拉格朗日乘数法.令： )2(),(),( 0 pcbacbaVcbaF+=，求解方程组 =+=
8、=+ = =+ = =+ = )4( . 0 2 ) 3(, 0 1 )2(, 0) 11 ( ) 1 (, 0 1 pcba F cpc F bbpb F apa F 比较) 3(),1 (得ca=，再由)4(得).(2apb=)5( 比较)2(),1 (得.)()(papbpb=)6( 由)6(),5(解出. 4 3 , 4 3 , 2 p c p a p b= 由实际问题知， 最大体积一定存在， 而以上解又是方程组的唯一解， 因而也是条件最大值点. 所以当三角形的边长分别为 4 3 , 4 3 , 2 ppp 时， 绕边长为 2 p 的边旋转时， 所得立体的体积最大. 总结总结 用拉格朗
9、日乘数法解决有些最值问题非常简便容易，许多问题直接或 间接地体现了拉格朗日乘数法的巨大作用， 这是一种非常值得学习并推广的求二 元极值得好方法，这种方法法对拓宽学生思路，提高学生分析问题、解决问题的 能力有很大帮助. 由以上数例可知，求条件极（最）值时，可以化为无条件极（最）值去解决， 或用拉格朗日乘数法求解.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.我们在 实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要 比较复杂的条件（充分条件）去判断.有时对某些有约束条件的二元函数求极值， 用常规方法解决确实十分困难， 但运用拉格朗日乘数法求解可以化难为易，化繁 为简，它是一种值得学生了解的好方法.事实证明利用拉格朗日乘数法求解二元 函数条件极（最）值，对提高学生学习数学的兴趣，树立学生学习数学的信心， 形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，拓宽学生的数学视野，提升学生的数学文 化，起到了较好的促进作用.