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1、第3 1 卷第1 2 期 2 0 1 0 年 物理教师 P H Y S I ( T E A C H E R V b l 3 1N o 1 2 ( 2 0 1 0 ) 物理图像中“面积”实际物理意义的探讨 邓有鸿 ( 湖南省东安县第一中学，湖南东安4 2 5 9 0 0 ) 在高中物理教学中，物理图像的理解是教学的重点，也 是高考的难点用图像法来解决物理问题，有时比其他数学 方法更简捷、形象和直观，但是物理图像与坐标轴所围成 “面积”的物理意义因坐标轴的含义不同而不同，因而明确 图像中的面积所表示的实际物理意义，是解决问题的关键 1 应用物理图像“面积”解题的困惑 例1 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它
2、的速度与到蚁巢中心 的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离Z l = 1r n 的A 点处时，速度是口，= 2c r n s 试问蚂蚁从A 点爬到距巢中 心的距离Z 2 = 2r n 的B 点所需的时间为多少? 本题若采用将A B 无限分割，每一等分可看作匀速直 线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算 解题的突破点是题中的关键条件：蚂蚁运动的速度可 与蚂蚁离巢的距离Z 成反比，即v l = C ( c 为常数) ，由表达 式v l = C 可得v l l l = 7 ) 2 2 2 辛口2 = 鼍旦= 1c m s 下面解该 题的关键是确定坐标轴所代表的物理量，从已知条件看，我
3、们可以建立上。c z 、。c 上、铆。C 、。C 口四种坐标关系 第1 种情况：若确定土为纵坐标轴，Z 为横坐标作出 上。c Z 图像如图1 所示。从图上可以看出图线与横轴所围 成的梯形A B C D 的面积，就是蚂蚁从A 到B 的时间t = ( + 1 ) 1 0 0 兰L _ - 一s = 7 5 s 1 l ， l 图1图2图3 第2 种情况：若确定z 为纵坐标轴， 为横坐标作出 Z 上图像如图2 所示，从图上可以看出图线与横轴所围 口 成的梯形A B C D 的面积无实际意义，蚂蚁从A 到B 的时 间应该是如图3 所示图线与纵坐标所围成的A B C D 的面 积，蚂蚁从A 到B 的时间
4、t = 生百一s = 7 5 1 1 0 0 s ； ( + ) 第3 种情况：对于后面的可o c 上z 和- - 1c c 口两种图线与 坐标轴围成的梯形面积都没有实际意义 这是一道典型地利用图像“面积”来解的好题，如何确 定坐标轴是解题的关键从以上的解答中，通常都是用第一 种坐标关系，当然也有少数用到第二种坐标关系，但很少有 人对第二种解答中图2 的A B C D 的面积无实际意义以及 第三种情况的两种坐标关系为什么也无实际物理意义深入 分析，这正是物理图像中“面积”的实际物理意义在解题中 遇到的困惑，也是笔者想写本文的跟各位同仁共同探讨的 地方 例2 ( 原创题) 在图4 所列4 个图像
5、中，图像跟坐标轴 所围成的图像A B 面积存在实际物理意义的选项是 0 ( A )( B ) 图4 解析：由欧姆定律知，= 等，而并非J = 爱，不满足物 理图像中“面积”要有意义的条件：A 对于区间 a ，b 具有 可加性，即满足A = Y 缸这个数学表达式欧姆定律中 的U = 1 1 7 是瞬时的对应值，不具有可加性，故( A ) 选项中 的面积无实际物理意义；( B ) 选项的横坐标是_ ，根据条件 可得面积Z X A = t A v ，没有一个物理量的表达式与面积A 对应，所以也无实际物理意义；( C ) 选项面积A = J & ，其 中面积A 与物理量表达式中的电荷量q 对应，即A
6、q = J ，故有实际意义；同理( D ) 选项面积A = z A t 中的A 与无物理量与之对应，所以也无实际意义所以本题答案选 ( C ) 现在我们可以再利用物理图像中“面积”要有意义的 条件A = y 缸，分析例1 ，困惑就迎刃而解了 2 典型例题剖析 例3 一质点由A 向B 作直线运动，己知A 、B 相距S ， 质点初速度为零，加速度为a 若将S 等分成n 段，质点每 通过上距离时加速度增加旦，求质点运动到B 点时的速 度大小 一5 3 万方数据 V b l 3 1N o 1 2 ( 2 0 1 0 ) 物理教师 P H Y S I C ST E A C H E R 第3 1 卷第1
7、2 期 2 0 1 0 年 此题利用图像求解 较为方便根据题意作 口一S 图如图5 所示， 根据物理图像中“面积” 要有意义的条件得：图 像面积具有可加性，其 中A = C I A s ，在一小 段厶中，加速度保持不 口，m I S 磊 图5 变，质点做匀加速直线运动，则司得( 口) 2 一V 0 2 = 2 a Z i s ，又 因为口。= o ，所以n 厶= ( 丢口2 ) ，故这里的面积与物理量 的表达式号口2 对应，所以图中阴影面积为 n S = 丢( n + 2 口) s 一稿= 号n S - - n X l 音咒a m ：寻岱一i S a ：趔萼业 Z ”Z 挖 该面积即表示岱：竿
8、2 ，所以求得 ( 3 ，l 一1 ) 口S 珊刈- 例4 如图6 所示，在光滑水 平面上立着一根半径为R 的竖直 圆柱子，借助长为L 的细长线将 小冰球与圆柱子相连开始冰球 位于水平面上并且线被拉紧，现 在猛一推冰球，使其具有垂直于 线的初速度口o ，于是冰球开始绕 图6 柱子运动，将线缠在柱子上不计一切摩擦线系在柱子下 部，位于冰球滑动的水平面内问经过多少时间后线全部缠 在柱子上? ( 本题选自华东师范大学出版社出版的中学物 理原创题集第4 2 页第1 5 题，原创者是华东师范大学第二 附属中学的范小辉老师) 解析：对冰球来讲，它只受到重力、水平面的支持力( 这 两个力为平衡力) 和线拉力
9、作用因为线上拉力和冰球的运 动方向垂直，故细长线对冰球的拉力对冰球不做功，即冰球 运动速度的大小口。不变，但运动方向时刻在变化，同时冰 球作圆周运动半径在不断减小，相应的冰球运动角速度会 不断变大，所以如果不用高等数学知识解本题，只能用图像 法解题的关键是作哪两个物理量之间的图像关系 设经过一定时间后线与圆柱的切点绕圆柱的圆心转过 了口角，即有R O 长的线绕在柱子上了，此时冰球做圆周运 动的半径变为L R 口，冰球运动的角速度 t O 一- - 丽 0 0 ， 即上= 尘一旦口 0 0V 0 作上一日图线如图7 所示，该直线与纵、横的交点分别 为上v o 和上R 因为c c ，= 鬈，A t
10、 = 吉口，即满足物理图像中 “面积”要有意义的条件所以该直线与纵、横轴所夹三角形 一5 4 一 的面积即为冰球绕在圆柱上的时间 故线全部缠在柱子上的总时间 T ：上上：三 2 础oR2 R u o 例5 已知一质点做变加速直线运动，初速度为可o ，其 加速度随位移之间的关系满足n = n o 一如，式中口为任一 位置处的加速度，z 为位移，口o ，五为常量，求当位移为z o 时质点的瞬时速度 圈7 图8 解析：这道题解题的突破点是题目中说加速度与位移 成线性关系，那么究竟如何建立坐标系呢? 虽然质点做变 加速度直线运动，但是在很短的位移( 即缸) 内，质点可以 看作是做匀加速直线运动，由此根
11、据物理图像中“面积”要 有意义的条件作口一z 图像，如图8 所示 由加速度口= 玺可变形为口= 塞玺，又因为速度口 = 玺，所以口= 口瓦A v ( * ) 令y = 吉口2 ，则y 相对口的导 数瓮= 口，则衄= 钌口= ( 丢翟2 ) ( * ) 式可变为口= A ( F l v 2 ) ，即口：笨，A 为图像与z 轴围成的面积：A ： 6 ( 1 口2 ) ，等号两边求和可得A = 了1V 2 - - 了1 口0 2 由图像易 知： A = 口o + ( 口。一k x o ) z o 则可得 口2 口0 2 十2 a z o k x 0 2 通过以上各题分析希望能从中更深地体会到物理图像 “面积”的真正意义，对以后运用图像中的“面积”解题时有 一定的帮助，故撰此拙文 ( 收稿日期：2 0 1 0 0 5 2 9 ) 万方数据