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1、? 付红周 ? 谭智荣 用平抛运动的推论求解斜面上的平抛运动 ?在平抛运动这节里, 有一种常见考题就是 斜面上的平抛运动, 如果直接用平抛运动的公 式求解, 则比较困难, 但如果用平抛运动的推论 来求解, 就显得相当简单, 下面先介绍平抛运动 的几个推论, 然后用这些推论对这类考题进行 解析. 一、 平抛运动常见的几个推论 推论 1 : 任意时刻的合速度 (合位移 ) 与两 分速度 (分位移 ) 构成直角三角形. 推论 2 : 从抛出点开始, 经过任意时刻的速 度与水平方向夹角 ?的正切值等于位移与水平 方向夹角 ? 的正切值的 2倍, 即 tan? = 2tan? . 推论 3 : 平抛运动
2、任意时刻末速度的反向 延长线交于水平位移的中点. 二、 用推论解斜面上的平抛运动 1 . 推论 1在斜面上平抛运动中的应用 例 1? 如图 1所示, 以 v0= 9 . 8m /s的水平 初速度抛出的物体, 飞行一段时间后, 垂直地 撞在倾角 ? 为 30 的斜面上, 求物体的飞行时 间? 解析: 作出在撞击处的速度矢量图如图 2 所示, 由推论 1知: vy= v0 tan30 得 vy=3v0= 9 . 8 3 m /s 由 vy= gt, 得 t = vy g =3s 例 2?如图 3 所 示, 两个相对的斜面, 倾角分别为 37 和 53 . 在顶点把两个小球以 相同初速度分别向左、
3、向右水平抛出, 小球都落在斜面上. 若不计空气 阻力, 求 A、 B 两个小球的运动时间之比. 解析: 由推论 1可知水平位移与竖直位移 构成直角三角形 x = v0t, y = 1 2 gt 2 可知:tan?1= y1 x1 = gta 2v0 tan?2= y2 x2 = gtb 2v0 所以 ta tb = tan?1 tan?2 = 9 16. 例 3 ?如图 4所示, 在斜面上 P点先后以 v0和 2v0的速度水平抛出 A、 B两 小球, 则从抛出至第一次着地, 两小球的水平位 移大小之比可能为 ( ? ?) ( A) 1 2 ? ?( B) 1 3 ( C) 1 4 ( D) 1
4、 5 解析: 两小球分别以 v0和 2v0的初速度做 平抛运动, 于是有 x1= v0t1, x2= 2v0t2 !25! 数理化学习 (高中版 ) y1= 1 2 gt 2 1, y2= 1 2 gt 2 2 两小球着地情况有几种可能性: ( 1) 均落在水平上, 于是有 y1= y2 可得 x1 x2 = v1 v2 = 1 2, 故 ( A) 正确. ( 2) 均落在斜面上, 则由推论 1有 y1 x1 = y2 x2, 可得 x1 x2 = y1 y2 = 1 4, 故 ( C) 正确. ( 3)A 球落在斜面上, B 球落在水平面上 于是有 t1 y2 x2, 可得 1 4 x1 x
5、2 1 2, ( B) 正确. 答案: ( A)、 ( B)、 ( C). 2 . 推论 2在斜面上平抛运动中的应用 例 4?从倾角为 ? 的斜面上某点以不同的 初速度将同一小球水平抛出, 试证明小球到达 斜面时速度方向与斜面的夹角 ?为一定值. 证明: 如图 5所示, 小球竖直位移与水平位 移间满足: tan?= y x = 1 2 gt 2 v0t = gt 2v0 水平速度与竖直速度满足: tan( ?+ ? ) = vy v0 = gt v0 可知 tan(?+ ?) = 2tan? ?= arctan( 2tan?) - ? , 所以 ?与初速度大 小无关. 例 5 ?一个质量为 M
6、 的小球从倾角为 ? = 30 的斜面上 A 点水平抛出, 抛出时的速度 为 vA, 落到斜面上的 B点, 问小球到达 B点时的 速度是多少? (不计空气阻力 ) 解析: 设达到 B点时速度与水平方向的夹 角为 由推论 2知: tan = 2tan? , 得 tan = 2 3 3 解得 cos = 3 21 ? vB= vA cos = 21 3 vA 3 . 推论 3在斜面上平抛运动中的应用 例 6?从倾角为 ? 的斜面上的A点, 以初速 度 v0, 沿水平方向抛出一个小球, 落在斜面上 B 点, 如图 6所示. 求: 从抛出开始经多长时间小 球离斜面的距离最大?最大距离是多少? 解析:
7、从抛出开始计时, 设经过 t1时间小球 离斜面的距离达到最大, 当小球的速度与斜面 平行时, 小球离斜面的距离达到最大, 最大距离 为H. 此时末速度方向与初速度方向成 ?角, 如 图 7所示, 图中 M 为末速度反向延长线与水平 位移的交点, MN = H 为所求的最远距离. 由推论 3知: AM = x 2 由几何关系: MN = AM sin? 由平抛运动的规律: vy= gt, x = v0t, tan?= vy v0 联立求解:H = MN = v 2 0tan?sin? 2g 由图知: vy1= gt1= v0tan? , 所以 t1= v0tan? g . 重庆市丰都中学校 (408200) !26! 数理化学习 (高中版 )