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1、第三章 空间力系,3-1空间汇交力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,3-3空间力偶,3-4空间任意力系向一点简化：主矢主矩,3-5空间任意力系的平衡方程,3-6重心,3-1空间汇交力系,一、力在直角坐标轴上的投影,第三章 空间力系,第三章 空间力系,3-1空间汇交力系,一、力在直角坐标轴上的投影,已知：在边长为 a 的正方形顶角 A和 B处，分别作用有力F1和F2，如图所示。 求：此二力在 x, y, z 轴上的投影。,例3-1：,第三章 空间力系,3-1空间汇交力系,F1Z = F1,F2X = F2,F2y =0,F2Z = F2,解：,由图可知：,例3-1：,第三章 空间力系,3-1空间
2、汇交力系,二、空间汇交力系的合力与平衡条件,第三章 空间力系,3-1空间汇交力系,共点力系可以通过力多边形法合成为一个合力。,推知：,若汇交力系的合力为零，则该力系平衡。,空间汇交力系的平衡条件,平衡方程,3个方程可求解 3个未知数,例3-2：,已知：A、B、C为光滑球铰，O为中间铰链连接。ADO与ABC皆为铅垂平面，且相互垂直。图中长度单位为mm,BO=CO,物重P=5KN, 各杆重不计 求：三杆所受的力,解：,销钉O受力如图,坐标如图,第三章 空间力系,3-1空间汇交力系,例3-2：,解：,销钉O受力如图,坐标如图,-(SB+SC) sin,(SB+SC) sin sin45+SAcos-
3、P=0,cos45,+SAsin=0,SBcos- SCcos=0,SA =3.571(KN) (压力）,SB =SC =1.675(KN) （拉力）,第三章 空间力系,3-1空间汇交力系,Fiy=0:,Fiz=0:,Fix=0:,3-2力对点之矩和力对轴之矩,一、力对点之矩的矢量表示,第三章 空间力系,在平面问题中，力矩是代数量，逆时为正，顺时为负。,在空间问题中，力矩是矢量，用右手螺旋法确定,=2OAB,一、力对点之矩的矢量表示,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,力矩是定位矢量,力对点之矩的的单位是（Nm）,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,一、力对点之矩的矢量
4、表示,=2OAB,二、力对轴之矩,mz（F）=mo（Fxy）,其符号用右手螺旋法确定,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,（2）当力与轴平行 （Fxy =0）,二、力对轴之矩,（1）当力与轴相交时（h=0）,力对轴之矩为零,(力与轴共面),第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,利用合力矩定理,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,三、力对点之矩与力对轴之矩的关系,力对点之矩,力对轴之矩,三、力对点之矩与力对轴之矩的关系,力对点之矩及合力对一点之矩的计算方法,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,(1)先求合力对点之矩在各个轴上的投影,(2)再求合力对点
5、之矩的模,(3)最后求合力对点之矩的方向，分别用它们的方向余弦表示,四、力对点之矩及合力对一点之矩的计算方法,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,求例4-1中二力对各轴之矩。,解：,例3-3：,第三章 空间力系,3-2力对点之矩和力对轴之矩,一、力偶矩矢,第三章 空间力系,3-3空间力偶,在空间力偶矩是矢量，满足右手螺旋法则。,力偶对任一点O的矩为,力偶对任一点的矩恒等于m,与矩心位置无关,上述结果再次说明:,力偶是自由矢量,一、力偶矩矢,第三章 空间力系,3-3空间力偶,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,二、空间力偶等效定理,第三章 空间
6、力系,3-3空间力偶,保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。,第三章 空间力系,3-3空间力偶,二、空间力偶等效定理,只要保持力偶矩矢量大小和方向不变, 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。,M=Fdk,第三章 空间力系,3-3空间力偶,二、空间力偶等效定理,M=Fdk,力偶等效的这些性质在应用上有没有限制前提？,同一刚体,第三章 空间力系,3-3空间力偶,二、空间力偶等效定理,可有：m1=F1AB，,已知：二平面上 m1， m2,此二力组成力偶 M,根据力偶性质,于是 :,m2= F2AB,第三章 空间力系,3-3空间力偶,二、空间力偶系的合成与平衡条件,由合力矩定理
7、,对比可得,空间任意个力偶时,(矢量和),二、空间力偶系的合成与平衡条件,第三章 空间力系,3-3空间力偶,力偶系可以简化为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,二、空间力偶系的合成与平衡条件,第三章 空间力系,3-3空间力偶,力偶系合成的解析计算：,(1)先求合力偶矩矢的三个投影,(2)再求其模,(3)最后定方向,二、空间力偶系的合成与平衡条件,第三章 空间力系,3-3空间力偶,已知： 一个工件的四个面上受有力偶作用，以达到钻孔之目的，斜面倾角=30，各力偶矩矢如图所示，它们的大小相同，皆为80Nm。 求：合力偶的大小、方向及在各轴上的投影。,例3-4：,二、空间力偶系的合
8、成与平衡条件,第三章 空间力系,3-3空间力偶,解：,则有,各力偶矩矢如图:,例3-4：,合力偶的三个投影:,第三章 空间力系,3-3空间力偶,解：,合力偶的三个投影:,合力偶的方向:,合力偶的大小:,例3-4：,第三章 空间力系,3-3空间力偶,则：合力偶的三个投影,空间力偶力系，独立的平衡方程为3个,第三章 空间力系,3-3空间力偶,力偶系的平衡条件,已知：长方体边长为a、b，不计重，由两个不计重的直杆悬挂。其上作用有两个力偶, m1(Q,Q), m 2(P,P)求：长方体平衡时，Q与P之比,例3-5：,第三章 空间力系,3-3空间力偶,解：研究对象：长方体,受力及坐标如图:,平衡方程,例
9、3-5：,第三章 空间力系,3-3空间力偶,主矢：与简化中心无关 （与合力之别？） 主矩：与简化中心相关 （与合力偶之别？）,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化主矢和主矩,一、空间任意力系向一点简化,原力系与一个力偶等效，即原力系简化一个合力偶 m ,此情况下， 简化结果不再与简化中心位置相关。,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,原力系与一个力等效，即原力系简化为一个合力FR ，此情况下 ，其作用线过简化中心O。,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,可进一步合成为一个合力FR。此情况下 ，其作
10、用线过简化中心以外另一点 O ， O 点与O点间距离为,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,合力矩定理 ： 合力对任意一点的矩等于各个分力对该点矩之矢量和。,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,与 不能进一步合成，这已是一个最简 力系，称为力螺旋。力螺旋中力的作用线称为力螺旋的中心轴。当 与 指向相同时，为右螺旋；当与指向不同时，为左螺旋。,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,由3知， 与 可进一步合成为一个力 ,其作 用线过简化中心以外另一点 ， 点与O点间 距
11、离为 此时 与 组成了一力 螺旋，其中心轴过 点 。,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,一个空间任意力系简化的最后结果可能有四种情况：,1）一个合力 2）一个合力偶 3）一个力螺旋 4）平衡,第三章 空间力系,3-4空间任意力系向一点简化,二、空间任意力系简化结果的分析,上述六个方程表达了空间任意力系的平衡条件，叫做平衡方程。六个方程可以求解六个未知数。,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,空间平行力系，若各力作用线平行于z轴，则独立的平衡方程只有3个,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,平面里：,关于固定端约束问题,空间里
12、：,空间约束的讨论,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,能产生约束力偶的约束 活页铰(蝶形铰链),第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,能产生约束力偶的约束 滑动轴承,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,能产生约束力偶的约束 止推轴承,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,能产生约束力偶的约束 夹持铰支座,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,能产生约束力偶的约束 三维固定端,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩 M=1kN.M, 斜齿的压力角=20。,螺旋角 =10。,齿轮节圆半径
13、r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。,例3-6,解：,2、受力及坐标系如图：,例3-6,1、研究对象:涡轮轴系统,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,3、列平衡方程,解：,例3-6,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,3、列平衡方程,解：,例3-6,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,解上述方程，可得,解：,例3-6,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,已知：均质薄方板由六根杆支撑于水平位置。板重P，在A处作用水平力F，且F=2P，不计杆重。,解：,求: 各杆
14、的内力,研究对象：板,受力及坐标如图,例3-7,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,研究对象：板 受力及坐标如图,解：,例3-7,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,研究对象：板 受力及坐标如图,解：,例3-7,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,研究对象：板 受力及坐标如图,解：,可以列出无数个方程，但 独立方程个数不变， 可求未知数个数不变。,可利用该特点进行验算.,例3-7,第三章 空间力系,3-5空间任意力系的平衡方程,工程中的重心问题：,重心：物体重力的作用点,各微块重力之合力，即平行力系之合力，该合力之作用点，即 平行力系之中心,钢水包，塔式起重
15、机，传动轴,第三章 空间力系,3-6 重心,一、平行力系中心与物体重心的坐标公式,根据合力矩定理：,xc=（ Pi xi ）/ Pi yc=（Pi yi ）/ Pi zc=（Pi zi ）/ Pi,平行力系之中心位置,重心坐标式,第三章 空间力系,3-6 重心,一、平行力系中心与物体重心的坐标公式,xc=（ Pi xi ）/ Pi yc=（Pi yi ）/ Pi zc=（Pi zi ）/ Pi,重心坐标式,物体微块 Pi = i Vi，,无限细分，则有：,重心坐标积分式,若均质， =常量， 则:,（体积重心）（体积形心）,重心坐标积分式,若均质， 且薄壳板， dv=hdA , h常量,（面积重
16、心） （面积形心）,可不在曲面上,体积重心，体积形心,体积重心，体积形心,若均质，且细长曲杆或线段， dv=Adl, A常量,可不在曲线上,（线段重心） （线段形心）,二、一些常见的测算重心的方法,1、组合法,分割法,负面积法（负体积法）,例4-8：求图示Z形截面的重心位置。,解：,Ai, Ci,简单图形的组合：,第三章 空间力系,3-6 重心,已知：振动沉桩器中的偏心块， R=10cm,r1=1.7cm,r2=3cm 求：重心位置,解：,坐标如图：,半径为 R 的半圆：,Yc1=4R/3 A1= R2/2,半径为 r2 的半圆：,Yc2= -4 r2/3 A2= r22/2,半径为 r1 的
17、整圆：,例3-9,Yc3=0 A3= - r12,yc=yiAi/Ai,=3.99(cm),偏心块重心在（0，3.99 cm）处,二、一些常见的测算重心的方法,1、组合法,分割法,负面积法（负体积法）,2、实验法,悬挂法,称重法,悬挂法：形状不规则，但不笨重,第三章 空间力系,3-6 重心,2、实验法,悬挂法,称重法,悬挂法：不笨重，但形状不规则,笨重，且形状复杂,mA=0,h,称重法：,2、实验法,悬挂法,称重法,（1）力矢、力对点之矩矢、力偶矩矢三者的特点。,（3）力偶的特点。,（4）求解平衡问题时，有哪些技巧可以使计算方便？,（2）力对轴之矩的计算,作业：,题3-3，3-6，3-12，3-20,P104:思考题,