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1、静力学（MADE BY水水）1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图FAxFA yFB(a)(a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图FAxFA yFDFByFAFBxFBFANFBFDFANFAFBFD1-5 试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图1-5aFAxFA yFDxFDyWTEFCxFC yWFAxFA yFBxFB yFCxFC yFDxFDyFBxFByTE1-5b 1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解：杆AB，BC，CD为二力
2、杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对B点有： 对C点有： 解以上二个方程可得：F2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy解法2(几何法)分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。FABFBCFCD60oF130oF2FBC45o对B点由几何关系可知：对C点由几何关系可知： 解以上两式可得：2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。FBFA解：BC为二力杆(受力如图所示)，
3、故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：FBFC 其中：。对BC杆有： 。A，C两点约束力的方向如图所示。 2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M21Nm。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。各杆重量不计。FAFOOFAFBFBFCC解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定
4、，各杆的受力如图所示。对BC杆有： 对AB杆有：对OA杆有： 求解以上三式可得：， ，方向如图所示。xyFRMAFRdxFRMAFRdy2-6等边三角形板ABC,边长为a，今沿其边作用大小均为F的力，方向如图a,b所示。试分别求其最简简化结果。 解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:， 先将力系向A点简化得（红色的）：，方向如左图所示。由于，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：其作用线距A点的距离，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-1
5、3图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P, AB长为l，斜绳与铅垂方向成角。试求固定端的约束力。法1解：PBFBxFByP整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程： MAFBxFByFAxFA y 求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：（与图示方向相反）（与图示方向相同） （逆时针方向）MAPFAxFA yP法2解：设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程： 求解以上三个方程，可得分别为： （与图示方向相
6、反） （与图示方向相同） （逆时针方向）2-18均质杆AB重G，长l ，放在宽度为a的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解：ANANDD选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：未知量不一定是力。2-27如图所示，已知杆AB长为l，重为P，A端用一球铰固定于地面上，B端用绳索CB拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与Oyz夹角为，绳与轴Ox的平行线夹角为，已知。试求绳子的拉力及墙的约束力。解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：由和可求出。平衡方程可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程
7、数目是几个？2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力作用在平面BDEH内，并与对角线BD成角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程： (受拉) (受压) (受压) (受拉) 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩。已知
8、棒料重，直径。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数。解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:补充方程：五个方程，五个未知量，可得方程：解得。当时有：即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数。2-33均质杆AB长40cm，其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。设，平衡时角的最小值为。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数。解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：附加方程：四个方程，四个未知量，可求得。2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B为支点，如图所示。若，A和B于斜面间的静摩擦因数分别为和，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。解：选棱柱
9、体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程 如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：(1)当物体不翻倒时，则：(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。3-10 AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力作用时，杆AB所受的力。设，杆重不计。FCxFCyFBxFBy解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程： 取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FDxFDyFHy 取杆AB为研究对象，受力如图所示
10、，列平衡方程： (与假设方向相反)FBxFByFDyFDxFAxFAy(与假设方向相反)(与假设方向相反)3-12和四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力的位置如何，杆AC总是受到大小等于的压力。FCxFCyFD解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 解得，命题得证。FABxFExFACFBFEyFBFABy注意：销钉A和C联接三个物体。3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且
11、由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为的力偶。如，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。FAFB解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FCxFCy解得：(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。解：FBxFByF3支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2
12、qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：(受压)选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：DF3F2F1xy (受压) (受拉)FAxFAyF3F2MA选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(与假设方向相反) (逆时针)FAxFAyFBxFBy3-21二层三铰拱由和四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： (1)FEFG由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得： FEFGF。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：FCy
13、FCxFEFByFBx 代入公式(1)可得：PFAxFAyN1N2N1T3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程： 取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数。试求平衡时角的范围。解：取整体为研究对象，设杆长为L，重
14、为P，受力如图所示。列平衡方程： (1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： (2)FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP 补充方程：，将(1)式和(2)式代入有：，即。3-30如图所示机构中，已知两轮半径量，各重，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数，滚动摩擦系数。今在BC杆中点加一垂直力。试求：平衡时的最大值；当时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FNDFNEFSDFSEMEMDFBFAC由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方
15、向如图所示，其中：，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：FACFNDFSDMDF取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：FNEFSEMEFBG解以上六个方程，可得：， ， 若结构保持平衡，则必须同时满足：，即：，因此平衡时的最大值，此时：， 3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：F2F3F1SFGFHS (受拉) (受拉)(受压)3-38如图所示桁架中，ABCDEG为
16、正八角形的一半，各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受压)FGFEGFCDFABCFBCFCDFCG取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：其中：，解以上两个方程可得：(受压)3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：ABC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：(受拉)(受拉)4-1力铅垂地作用于杆AO上,。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的
17、挤压力的大小。解：1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角，相应的各点的虚位移如下：rArCrBrDrE，代入可得：4.由虚位移原理有：对任意有：，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4如图所示长为l的均质杆AB，其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度。解：4a1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系
18、统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移：4.由虚位移原理有： 对任意有： 即杆AB平衡时：。解：4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：杆的质心坐标可表示为：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移：4.由虚位移原理有： 对任意有： 即平衡时角满
19、足：。4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P，弹簧原长为，试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解：1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有，以及重力。2. 该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为：弹簧的长度，在微小虚位移下：4.由虚位移原理有：其中，代入上式整理可得： 由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：4-6复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动铰链支座，C点为铰链，作用于梁上的力，以及力偶矩为的力偶，如图所示。试求固定
20、端A处的约束力。解：解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如图所示。由虚位移原理有：对任意可得：2在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如下图所示。由虚位移原理有： (1)由几何关系可得各点的虚位移如下：代入(1)式：对任意可得：，方向如图所示。3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如上图所示。由虚位移原理有：(2)有几何关系可得各点的虚位移如下：代入(2)式：对任意可得：，逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下：；力；力，其方向与水平成角；以及力偶，其力偶矩为。试求支
21、座处的约束力。解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理有： (1)各点的虚位移如下：代入(1)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原
22、理有： (2)各点的虚位移如下：代入(2)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2b.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理有： (3)各点的虚位移如下：代入(3)式整理可得：对任意可得：，方向如图所示。2c.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理有： (4)各点的虚位移如下：代入(4)式整理可得：对任意可得：，顺时针方向。4-8设桁架有水平力及铅垂力作用其上，且，。试求杆1，2和3所受的力。解：假设各杆受拉，杆长均为a。1求杆1受力去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度
23、，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转，且：对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。由虚位移原理有： 代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。2求杆2受力去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D
24、点位移方向如图所示，且：同理可知。由虚位移原理有： 代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受压）。3求杆3受力去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，且：同理可知B点不动，且：由虚位移原理有： 代入各点的虚位移整理可得：对任意可得：（受拉）。4-12杆长2b，重量不计，其一端作用铅垂常力，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k，当时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置，讨论此平衡位置的稳定性。解：F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对
25、象。该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如图所示。取为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：由平衡条件可得：有：和即：和也就是：和两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：当时，即时是不稳定平衡。当时，由上式可知：1 当且时，即是稳定平衡位置；2 当且时，即是不稳定平衡位置。4-15半径为的半圆住在另一半径为的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中。由于半圆柱作纯滚动，有：（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：代入（1）式有：由平衡条件可得为平衡位置。势能V的二阶导数：由上式可得当，是稳定的。