线性代数及其应用术语要点中英对照.pdf

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1、 1/12 Chapter1Review 1. 线性方程组线性方程组 SystemsofLinearEquations(LinearSystem) P3 关键词：关键词： coefficient 系数系数P2;constantterm 常数 （项）常数 （项） 讲义讲义P1;linearequation 线性方程线性方程 P2； variable 未知数（或变元） 有 未知数（或变元） 有 m 个方程个方程 n 个未知数(个未知数(x1,x2,xn)的线性方程组可表示为： )的线性方程组可表示为： 1) ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi (1 i m) 2) x1a1

2、+ x2a2 + + xnan = b (a1,a2,an, b 为为 m 维列向量)维列向量) 3) Ax=b (A 是是 m n 矩阵；矩阵；x，b 为为 m 维列向量维列向量) 4) Augmented matrix(增广矩阵增广矩阵) - (其中第其中第 j(1 j n)列是变元列是变元 xj的系数的系数) 2. 线性方程组解的情况（线性方程组解的情况（Solution Status） P4 1) No solution 无解无解 2) Has Solution 有解有解 a) Exactly one solution (unique solution) 唯一解 唯一解 b) Infi

3、nitely many solutions 无穷多解 无穷多解 3. 阶梯形（阶梯形（Echelon Forms） P14 关键词：关键词：leadingentry 先导元素 P14; 先导元素 P14; pivotposition 主元位置P16; 1) 主元位置P16; 1) 3 conditions of echelon form matrix 阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）: 阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）: a) A zero row is not above on any nonzero row 所有非零行都在零行上部 所有非零行都在零行上部 b) Each leading e

4、ntry of a row is on the right of the leading entry of the previous row 每行的先 导元素都在上一行先导元素的右边 每行的先 导元素都在上一行先导元素的右边 c) In each column, an entry below the leading entry is 0 与先导元素同列且在其下部的元素全 为 0 与先导元素同列且在其下部的元素全 为 0 2) 2 additional conditions of Reduced Echelon Forms 简化阶梯形的额外两个性质：简化阶梯形的额外两个性质： a) The le

5、ading entry of each nonzero row is 1 每一非零行的先导元素都是 1 每一非零行的先导元素都是 1 b) Each leading 1 is the ONLY nonzero entry of its column 先导元素是其所在列唯一非零元 素 先导元素是其所在列唯一非零元 素 注：与线性方程组结合： 4. 解的存在性与唯一性定理 （解的存在性与唯一性定理 （Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem） P24 关键词：关键词：pivotcolumn 主元列P16; e主元列P16; echelon form 阶

6、梯形P16；阶梯形P16； ? No000|bi bi 0 Hassolution ? Nofreevariables uniquesolution ? 1 1 freevariable infinitelymanysolutions 5. 齐次线性方程组非零解的条件（齐次线性方程组非零解的条件（Condition of Homogeneous System Having Non-Trivial Solution） P50 关键词：关键词：homogeneous system 齐次线性方程组齐次线性方程组P50;Ax = 0Ax = 0P50;non-trivial solutions 非零解

7、/ 非平凡解 非零解/ 非平凡解P51; free variable 自由变量自由变量P20; Homogeneous system has non-trivial solutions 齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组有非零解 at least one ? ? ? ? 1 ? ?1 2/12 free variable 至少有一个自由变量至少有一个自由变量 注：结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！注：结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！ Additionally, 此外：此外：if r = #pivot positions, p = #free variables, n = #variabl

8、es then r+p = n, # - number of （ 的个数）的个数） 注：看简化阶梯形注：看简化阶梯形 6. 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 （非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 （ Structure of Solution Set of Nonhomogeneous System） P53 关键词：关键词：nonhomogeneous system 非齐次线性方程组非齐次线性方程组P50; ; Let v0 be a solution of a nonhomogeneous system Ax = b. Let H be the s

9、et of general solutions of the corresponding homogeneous system Ax = 0. Suppose the solution set of Ax = b is S Then S = H + v0 如果如果 v0是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解，的一个解，H 是对应齐次线性方程组是对应齐次线性方程组 Ax = 0的通解。的通解。（Ax = 0 也称为也称为 Ax = b 的导出组）的导出组） 则则 Ax = b的通解是的通解是S = H + v0 注：注：Proof Apparently, ? ?h H, (

10、h+ v0) S ; so, H? ? S; （1） Now, ? ? v S, v- v0 H, since A (v- v0) = Av - Av0 = b-b = 0; Because v- v0 + v0 H + v0 Consequently: v H + v0 and thus S? ? H （2） Given (1) and (2), we now have S = H. E.g.: (Examples 5.1 and 5.2) Ax = 0: H = Ax = b: V0 = S = v0 + H = 7. 线性组合（线性组合（Linear Combination） P32 关

11、键词：关键词：vectors 向量向量 v1,v2,vpP32; P32; scalar 标量标量 c1,c2,cp P29; P29; If y = c1v1 + c2v2+cpvp 3/12 Then vector y is called a linear combination of the vectors v1,v2,vp 注：与线性方程组结合 b = x1a1 + x2a2 + + xnan (a1,a2,an, b 为向量为向量; x1,x2,xp为标量) 有解 为标量) 有解 b 是是 a1,a2,an的线性组合的线性组合 8. 线性无关/ 相关（线性无关/ 相关（Linear

12、Independent / Dependent） P65 关键词：关键词： trivial solutions 非零解/非平凡解 非零解/非平凡解P51; m m 维空间 P28;维空间 P28; 1) DefinitionP65P65 Vector set a1 , a2 ,an is linear dependent if x1a1 + x2a2 + + xnan= 0 has only the trivial solution. (x1 x2 xn are all 0) 如果方程组如果方程组 x1a1 + x2a2 + + xnan= 0 只有零解只有零解 (x1 x2 xn 全全是是

13、0)，则，则 a1 , a2 ,an线性无关。 线性无关。 Vector set a1 , a2 ,an is linear independent if x1a1 + x2a2 + + xnan= 0 if x1 x2 xn are not all 0. 若方程组若方程组 x1a1 + x2a2 + + xnan有非零解 （有非零解 （x1 x2 xn不不全全是是 0） ， 则向量组） ， 则向量组 a1 , a2 ,an线性相关。 线性相关。 2) Theorem7Characterization of Linearly Dependent 定理 7 线性相关和线性组合的关系定理 P68

14、定理 7 线性相关和线性组合的关系定理 P68 Vector set a1 , a2 ,an is linear dependent Exist vector ai (1 i n), which is a linear combination of the other vectors 向量组向量组a1 , a2 ,an 线性相关 线性相关 存在某向量存在某向量 ai (1 i n)是其它向量的线性组合是其它向量的线性组合 注： 由线性相关定义 x1a1 + x2a2 + + xnan= 0， x1 x2 xn 不全是 0 则线性相关。 设 xi 0 (1 i n), 把 xiai移到等式另一边

15、 xiai = -（x1a1 + x2a2 + + xnan） ，然后两边除以 xi （因为 xi 0） 即得证向量 ai (1 i n)是其它向量的线性组合（还不懂？看线性组合定义 100 遍） 。 3) Theorem8DetermineLinearlyDependencybyInvestigatingVectorDimensionandNumber 由向量个数与维数判断相关性定理P68由向量个数与维数判断相关性定理P68 Vector set a1 , a2 ,an inis linear dependent if n m r ai (1 i n), which is a linear

16、combination of the other vectors 如果向量组中向量个数如果向量组中向量个数 n 大于向量的维数大于向量的维数 m,则向量组线性相关。则向量组线性相关。 注：不知如何证明？看本表第 5 项 100 遍 。 4) Theorem9 Vector set a1 , a2 ,an is linear dependent if there exists ai= 0（1 i n) ? ? a1 , a2 ,an ， ? ai= 0（1 i n) ? ? a1 , a2 ,an 线性相关线性相关 注：还是不知如何证明？看本格上面的定义 100 遍 。 9. 等价定理（等价定理

17、（Theorem 4） P43 关键词：m关键词：m 维空间 P28; 维空间 P28; subset of spanned (or generated) by v1,v2,vp由由 v1,v2,vp 张成(或生成的)的的子空间P35; 张成(或生成的)的的子空间P35; 1)1) For each b in , the system Ax = b has a solution.对于中的每一个向量 b， 线性方程组对于中的每一个向量 b， 线性方程组 Ax = b 都有一个解 2) 都有一个解 2) Each b in is a linear combination of the column

18、s of A. 中的每一个向量 b 都是矩阵 A 的 列向量的线性组合 3) 中的每一个向量 b 都是矩阵 A 的 列向量的线性组合 3) The columns of A span 矩阵 A 的列向量生成 矩阵 A 的列向量生成 4) The matrix A has a pivot position in every row. 矩阵 A 每一行都有一个主元位置矩阵 A 每一行都有一个主元位置 注：注：1）- 3）根据定义显然成立；）根据定义显然成立；4）可用定理）可用定理 2 采用反证法采用反证法 10. 补充齐次方程组基础解系定理（补充齐次方程组基础解系定理（Additional The

19、orem of basic solutions of a homogenous linear system） P43 关键词：关键词：basic solutions (基础解系基础解系) 讲义讲义 P17 定理定理 5.3 The basic solutions of any homogeneous linear system are linearly independent. 齐次线性方程组的基础解系中各个向量是线性无关的 齐次线性方程组的基础解系中各个向量是线性无关的 注：先看本表第注：先看本表第 6 项齐次方程组的例子项齐次方程组的例子 4/12 Proof: Suppose v1 v2

20、 vp are the basic solutions of a homogeneous linear system Ax = 0. Then, we know that there are p free variables Ax = 0 (为什么，看本表第5项) Let c1v1 + c2v2 + +cnvp= v， where c1, c2, cn are scalars. We know that in each vector vi (1 i p), there is a 1 corresponding to the position of the i-th free variable.

21、 In addition, each element in that position in the other vectors is 0. * * 1 0 0 Consequently, the element in this position of the vector v is ci . Therefore, for vector v to be a 0 vector, c1, c2, cn must all be 0. Chapter2 matrixalgebraP105矩阵代数矩阵代数 matrixoperationsP107矩阵的运算矩阵的运算 maindiagonalofmatr

22、ixP107矩阵的主对角线矩阵的主对角线 diagonalmatrixP107对角矩阵对角矩阵 identitymatrixInP45+ P107 n n 单位矩阵单位矩阵 matrixadditionP107矩阵加法矩阵加法 scalarmultiplicationP109数乘（矩阵）数乘（矩阵） matrixmultiplicationP109矩阵乘法矩阵乘法 IfAisanm nmatrix,andBisann pmatrix withcolumnsbb1.bp,thentheproductofABis them pmatrixwhosecolumnsareAb1Abp P110A:m

23、n 矩阵矩阵 B: n p 矩阵矩阵, 矩阵的各列向量为矩阵的各列向量为 b1.bp, AB=Ab1Ab2Abp The vector in column j of AB is a linear combinationofallthecolumnvectorsa1anof A (weights are the entries of the corresponding bjcolumnofB) P110矩阵矩阵 AB 的第的第 j 列列 Vj都是都是 A 的所有列 向量 的所有列 向量(a1an)的线性组合。 （其中各个 权是 的线性组合。 （其中各个 权是 B 中对应列中对应列 bj的元素）的

24、元素） Theorem.RulesforMatrixOperation A:m nmatrix B，C：matrices whose sizes in each row of the followingallowtheadditionandmultiplicationin thatrow k,t:scalar P108+ P113 矩阵运算规则矩阵运算规则 A:m n 矩阵矩阵 B, C: 在每行中，尺寸都符合那行加 法和乘法定义的矩阵 在每行中，尺寸都符合那行加 法和乘法定义的矩阵 k,t: 标量标量 Positionoftheithfreevariable 5/12 1) Addition

25、andscalarmultiplication A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+0=A k(A+B)=kA+kB (k+t)A=kA+tA k(tA)=(kt)A 2) Multiplication A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA k(AB)=(kA)B=A(kB) ImA=A=AIm 1) 矩阵加法和数乘矩阵加法和数乘 2) 矩阵乘法矩阵乘法 commuteP113可交换（矩阵乘法）可交换（矩阵乘法） Warnings: IngeneralAB BA AB=AC B=C AB=0 A=0orB=0 P114 transposeo

26、famatrixP115矩阵的转置矩阵的转置 Theorem3Transposition A:m nmatrix AT:transposeofmatrixA B:matrixwhosesizeineachrowofthefollowing allowtheadditionandmultiplicationinthatrow k:scalar (AT)T=A (A+B)T=AT+BT (kA)T=kAT (AB)T=BTAT invertible P119(矩阵矩阵)可逆的可逆的 matrixinverseP119矩阵的逆矩阵的逆 singularmatrixP119奇异矩阵奇异矩阵 nonsi

27、ngularmatrixP119非奇异矩阵非奇异矩阵 Theorem4 necessaryandsufficientconditionfor a2x2matrixisinvertible LetA= ? ? ?,Ifadbc 0,thenAisinvertible andA1= ? ? ? ? ? Theorem4,AisinvertibleIffdetA 0 (wheredetA= adbc) P119 二阶方阵二阶方阵 A= ? ? ? 可逆的充要条件可逆的充要条件 adbc 0 或记作|A| 0 6/12 Theorem5 IfAisaninvertiblen nmatrix,thenf

28、oreachb in ?, the equation Ax = b has the unique solutionx=A1b P120定理定理 5 系数为系数为 n 阶可逆方阵阶可逆方阵 A 的线 性方程组 的线 性方程组 Ax=b 的解的情况定理的解的情况定理 若若 A 是一个是一个 n 阶可逆矩阵， 那么对于阶可逆矩阵， 那么对于 n 维空间维空间?中的每一个列向量中的每一个列向量 b 方 程组 方 程组 Ax=b 都有唯一解都有唯一解 x=A1b Theorem6 Rulesof A,B:n ninvertiblematrices (A1)1=A (AB)1=B1A1 (AT)1=(A1

29、)T P121定理定理 6 矩阵的逆运算规则矩阵的逆运算规则 elementarymatrixP122初等矩阵初等矩阵 Ifanelementaryrowoperationisperformedon matrixA,theresultingmatrixcanbewrittenas EA, where the m x m matrix E is created by performingthesamerowoperationonIm Proofidea: Provethateachofthe3kindsofrowoperations,if performed on a matrix A, is

30、the same as left multiply the three corresponding elementarymatrix. Ex.:A ji rr =EijA,whereEij=I ji rr P123左乘初等矩阵等价于左乘初等矩阵等价于 进行一次与初等矩阵一样的行初等 变换 进行一次与初等矩阵一样的行初等 变换 Theorem7. AnnxnmatrixAisinvertibleiffAisrowequivalent toIn, andinthiscase,anysequenceofelementary rowoperationsthatreducesAtoIn alsotran

31、sform into A1 P123定理定理 7 可逆矩阵判断定理可逆矩阵判断定理 一个一个nxn 矩阵矩阵 A 是可逆的当且仅当是可逆的当且仅当 A 行等价于行等价于 In （就是说就是说 A 可以行化 简成 可以行化 简成 In） 。并且，在这种情况下，任 何一系列把 并且，在这种情况下，任 何一系列把 A 行化简成行化简成 In 的操作， 都可以把 的操作， 都可以把 In 转化成转化成 A1 AlgorithmforfindingA1: RowreducetheaugmentedmatrixA|I,ifAis rowequivalenttoI,thenA|Iisrowequivalen

32、t toI|A1.Otherwise,Aisnotivertible. P124用初等行变换求逆矩阵用初等行变换求逆矩阵: 把增广矩阵把增广矩阵A|I化简，如果化简，如果 A 行等 价于单位阵 行等 价于单位阵 I, 则则A | I能化简成能化简成I | A1，否则，否则 A 不可逆。不可逆。 Theorem8.Invertiblematrixtheorem Thefollowingstatementsareequivalent. a. Aisaninvertiblematrix. b. A is row equivalent to the n x n identity matrix. c.

33、Ahasnpivotpositions. d. The equation Ax = 0 has only the trivial P129可逆矩阵性质定理 下列断言等价 a. A 是可逆的 b. A 行等价于一个 n 阶单位阵。 c. A 有 n 个主元位置。 d. 矩阵方程 Ax = 0 仅有平凡解（零 7/12 solution. e. ThecolumnsofAformalinearly independentset. f. Thelineartransformation? ? ? is onetoone. g. TheequationAx=bhasonlyonesolutionfor

34、eachbin ?. h. ThecolumnsofAspan ?. i. The linear transformation ? ? ? maps ? to ?. j. ThereisannxnmatrixCsuchthatCA=I. k. ThereisannxnmatrixDsuchthatAD=I. l. AT isaninvertiblematrix. 解） 。 e. A 的列形成一个线性无关集。 f. 线性变换x ? Ax 是一对一的。 g. 对于?中任意的一个向量b,矩阵方 程 Ax=b 有唯一解。 h. A 的列张成?. i. 线性变换x ? Ax 把?映射到?。 j. 存在一

35、个 nxn 矩阵 C 使 CA=I. k. 存在一个 nxn 矩阵 D 使 AD=I. l. AT 是可逆的。 partitionedmatrix(blockmatrix)P134分块矩阵分块矩阵 multiplicationofpartitionedmatrices P135分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法 PartitionsofAandBshouldbeconformablefor blockmultiplication The column partition of A matches the row partitionofB P136A 和和 B 的分块矩阵要相乘的话，的分块矩阵要相乘的

36、话， A 和和 B 的分法应遵从矩阵乘法定义的分法应遵从矩阵乘法定义 A 的列分法应与的列分法应与 B 的行分法一致的行分法一致 （左边大小列（左边大小列 = 右边大小行）右边大小行） Theorem10columnrowexpansionofAB IfAisanmxnmatrixandBisannxpmatrixthen AB = col1(A) col2(A) coln(A) ? ? ? ? ? = col1(A)row1(B)+coln(A)rown(B) P137定理 10AB 乘法的列行展开 subspaceP168子空间 columnspaceofA ColA=alllinearc

37、ombinationsofthecolumnsofA =k1a1+knan（ki(1iin)R） P169A 的列空间 ColA=A 的所有列的线性组合形成的 向量的集合 nullspaceofA NulA=allsolutionstothehomogeneousequation Ax=0 P169A 的零空间 NulA= 齐次线性方程组 Ax=0 的 通解 Theorem12.TheoremfornullspaceofA ThenullspaceofanmxnmatrixAisasubspace of ?. Equivalently,thesetofallsolutionstoasystem

38、 Ax= 0 of m homogeneous linear equations in n unknownsisasubspaceof ?. P170A 的零空间定理 mxn 矩阵 A 的零空间是?的子空间 （这是因为 Ax = 0 的解向量是 n 维 的，所以它是 n 维空间的子空间） 也就是说， 有着 m 个方程 n 个未知数 的方程组Ax=0的通解是?的子空间. basis P170基 8/12 Theorem13.TheoremforcolumnspaceofA ThepivotcolumnsofamatrixAformabasisfor thecolumnspaceofA P172A

39、 的列空间定理 A 的主元列形成了 A 的列空间的一 个基。 coordinatevectorofx （relativetoB）P176X 相对于 B 的坐标向量 (对照解析几何中，相对于 x 轴,y 轴,z 轴的坐标) dimensionofasubspace ThedimensionofanonzerosubspaceH,denoted bydimH,isthenumberofvectorsinanybasisfor H.Thedimensionofthezerosubspaceis0. P177子空间的维数 非零子空间的维数，用 dim表示， 它是 H 的任意一个基中，向量的个 数。零子

40、空间的维数定义成 0 （注意： 与向量的维数区别！ ） rankP178秩 Theorem14.TheRankTheorem IfamatrixAhasncolumnsthenrankA+dimNul A =n 定理 14 矩阵的秩定理 如果矩阵 A 有 n 列，则 A 的秩+A 的零空间的维数 =n (回忆第一章 r+ p = n, 不知道？ 罚 你看第一章秘籍 100 遍) r 是 主元列的个数 p 是自由变量的个数，Ax=0 有多少自 由变量，就有多少线性无关的基础解 向量， 也就是说 A 的零空间的维数是 p. Theorem theinvertiblematrixtheorem m.

41、 ThecolumnsofAformabasisof ?. n. ColA= ?. o. dimColA=n. p. rankA=n. q. NulA=0 r. dimNulA=0 P179可逆矩阵性质定理 续 m. A 的列向量形成了?的一个基 n. ColA= ?. o. dimColA=n. p. rankA=n. q. NulA=0 r. dimNulA=0 注：这是因为 A 可逆，A 可以初等变 换为单位阵，单位阵地列向量都线性 无关。因为初等变换不改变线性相关 性， 则说明 A 的 n 个列向量也都线性 无关。 Ax=0 只有零解。 为什么初等变换不改变线性相关 性？ 因为初等变换

42、不改变方程组 Ax=0 的解。 9/12 Chapter3 determinantP187行列式 (i,j)cofactor (1)i+jdetAij P165代数余子式 cofactorexpansion P165余因子展开式 Theorem2 detofatriangularmatrix IfAisatriangularmatrix,thendetAistheproduct oftheentriesonthemaindiagonalofA P189定理 2 三角矩阵的行列式定理 三角矩阵的行列式是该矩阵的主对 角线上元素的乘积。 Theorem3 rowoperationsondeterm

43、inant a. If a multiple of one row of A is added to anotherrowtoproduceamatrixB,thendetB =detA b. IftworowsofAareinterchangedtoproduce B,thendetB=detA c. IfonerowofAismultipliedbyktoproduced B,thendetB=kdetA P192定理 3 矩阵行变换与对应行列式的 值 a. 把 A 的某一行的倍数加到另一行 得到矩阵 B，则 detB=detA b. 若 A 的两行互换得到矩阵 B，则 detB=detA

44、 c. 若 A 的某一行乘以 k 得到矩阵 B, detB=kdetA Theorem 4 use determinant to investigate whethermatrixisinvertible AsquarematrixAisinvertibleiffdetA 0 P194定理 4 用行列式判可逆 一个方阵 A 可逆当且仅当 detA 0 Theorem5determinantoftransposeofA IfAisannxnmatrix,thendetAT=detA P196 定理 5 转置矩阵的行列式 一个方阵 A, 它的转置矩阵的行列式和 它本身的行列式值相等。 Theore

45、m6MultiplicativeProperty IfAandBareannxnmatrices,then detAB=(detA)(detB) P196定理 6 矩阵乘法的行列式 方阵 A 和 B 乘积的行列式等于 A 的行 列式乘以 B 的行列式 detAB=(detA)(detB) Theorem7CramersRule LetAbeaninvertiblenxnmatrix.Foranybin ?,theuniquesolutionxofAx=bhasentries givenby ? ? ?b? ? ? P201定理 7 克莱姆法则 设 A 是一个可逆 n 阶方阵， 对于?中任 意向

46、量 中任 意向量 b, 方程组方程组 Ax=b 的唯一解可用下 面的方法计算： 的唯一解可用下 面的方法计算： ? ? ? ? ? adjugate P203伴随矩阵 Theorem8AnInverseFormula LetAbeaninvertiblenxnmatrix.Then ? ? ? ? ? 定理 8 逆矩阵计算公式 ? 1 ? ? ? 10/12 Chapter4 VectorspaceP215向量空间 SubspaceP220子空间 ZeroSubspaceP220零子空间 Subspacespannedbyv1vpP221由向量v1vp生成（张成）的子空间生成（张成）的子空间

47、NullspaceofanmxnmatrixA(writtenasNul A) NulAisasubspaceofRn P226 227 mxn 矩阵 A 的零空间 （注意与零子空间 区别开来） 。 ColumnspaceofanmxnmatrixA(writtenas ColA) ColAisasubspaceofRm P229矩阵 A 的列空间 记作 ColA ColA 是 Rm的子空间的子空间 Basis PivotcolumnsofAformabasisforColA P238 P241 基 矩阵 A 的主元列形成了 ColA 的基的基 Coordinatesofxrelativeto

48、thebasisBP246向量 x 相对于基 B 的坐标 Coordinatevectorofx P247向量 x 相对于基 B 的坐标向量 CoordinatemappingP247坐标映射 Dimension P256 257 维数 Rank rankA+dimNulA=n P265秩 Invertiblematrixtheorem P267可逆矩阵的秩、维数定理 Changeofbasis B =b1, , bn, C = c1,cn, given xB (coordinatesofvectorxrelativetothebasisB), andb1C,bnC(coordinatesofvectorsb1, bnrelativetothebasisC); Then:xC=? ? ?xB ? ? ? =b1C,bnC P273基的变换 设B=b1,bn,C=c1,cn