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1、双曲线知识点总结复习1. 双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在轴上时（），焦点在轴上时1（）。双曲线方程也可设为：这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的。）思考：定义中若（1）；（2），各表示什么曲线？2. 双曲线的几何性质：（1）双曲线（以为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，越大，双曲线开口越大；越小，双
2、曲线开口越小。通径（2）渐近线：双曲线的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程表示双曲线，则的取值范围是_例三：双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则双曲线的方程为_例四：双曲线的离心率，则的取值范围是_椭 圆双曲线方程a b c关系图象渐近线 准线离心率顶点对称性范围例五：已知双曲线的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线于求该双曲线的方程为： 3直线与双曲线的位置关系： （1）相交：直线与椭圆相交或直线与渐近线平行。（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离； 例六：过点P(1,1
3、)与双曲线只有一个交点的直线共有 条。例七：过点的直线和双曲线，仅有一个公共点，求直线的方程。4、焦半径（双曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用双曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。例八：经过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长。例九：已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。 5、弦长问题：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，（若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一
4、般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，如例八。）例十：直线与双曲线相交于两点，则=_六、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和双曲线的交点设而不求）遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；例十一：过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为_例十二：已知双曲线C 2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点 (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在 例十三：过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的直线，它们的交点为A、B，求：（1）线段AB的
5、中点M与F2的距离；（2）线段AB的长度。例十四：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OPOQ，求双曲线的方程。例十五：过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。 例十三：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OPOQ，求双曲线的方程。解：设双：，直线PQ方程为由，消去得设P（），Q（）若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故故由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）由OPOQ，则整理得将（*）代入，又由，并整理得即由，则由，得2整理得将（*）式代入，又代入，解得，从而，故双曲线方程例7 过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。解：设AB：代入双曲线方程并整理得（*）若，不合题意，若，由，得若P是AB的中点，即得（舍去）此时，代入（*）当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点因此这样的弦AB不存在另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上两式相减得，其中，得以下同解法1