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1、,CONTENT,01,生 平 简 介,勒 内 笛卡儿,PART ONE,勒 内 笛卡儿,勒内笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海，1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、数学家、物理学家。他是西方近代哲学奠基人之一。,他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了普遍怀疑的主张。,02,PART TWO,思 想 成 就,勒 内 笛卡儿,主 要 思 想 成 就,具 体 内 容,勒 内 笛卡儿,03,PART THREE,方 法 论,1637年，笛卡尔
2、发表了巨作方法论。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在方法论的附录中，他增添了另外一本书几何。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于几何这本书内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。,笛卡尔符号法则,笛卡儿符号法则首先由笛卡儿在他的作品La Gomtrie中描述，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的
3、符号的变化次数，要么比它小2的倍数。如5,3,1或4,2,0。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数。特殊情况：注意如果知道了多项式只有实数根，则利用这个方法可以完全确定正根的个数。由于零根的重复度很容易计算，因此也可以求出负根的个数。于是所有根的符号都可以确定。,笛卡尔坐标系,笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用
4、代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。 直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 。,笛卡尔坐标系,解析几何,笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。 在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何相联系的研究，并成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。于1637年，笛卡尔在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。,解析几何,在几何学卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定
5、点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。笛卡尔把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。,解析几何,在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上
6、任一点的位置都可以用（x,y）惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。几何学一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学阶段。,解析几何,在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次数。笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c, 表示已知量，用x,y,z,表示未知量。,解析几何,解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的
7、趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”,轶事：蛛织网和平面直角坐标系的创立,据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦
8、苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。 突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个点，平面上的
9、一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。,欧拉-笛卡尔公式,欧拉-笛卡儿公式，是几何学中的一个公式。该公式的内容为：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是面数，则VE+F=2。 该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德欧拉于1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。,其实，名字叫做欧拉公式的公式有很多。不过在几何学中，欧拉公式指的是简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2。我们所学的几何体，如棱柱、棱锥等都是简单多面体。欧拉公式的证明方法很多。证法一：
10、逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1。（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。证法二：计算多面体
11、各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（展开图）,求所有面内角总和（1）在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，nF，各面内角总和为： = (n1-2)1800+(n2-2)1800 +(nF-2) 1800= (n1+n2+nF -2F) 1800=(2E-2F) 1800 = (E-F) 3600 （1）（2）在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，则其内角和为(n-2)1800 ，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2
12、)1800。所以，多面体各面的内角总和： = (V-n)3600+(n-2)1800+(n-2)1800=（V-2）3600. （2）由(1)(2)得：(E-F) 3600 =（V-2）3600所以，V+F-E=2。,笛卡儿叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在 1638年提出。,笛卡尔叶形线,心脏线,心脏线是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。心脏线是外摆线的一种，其n为2。它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cos。这样的心脏线的周界为8，围得的面积为 。心脏线亦为蚶线的一种。在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。（未有严谨证据证明心脏线是由笛卡尔发明）,