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1、求数列的,通项公式： 如果数列an的前n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,即 注意： 1.通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式； 2.通项公式以数列的项数n为唯一变量； 3.并非每个数列都存在通项公式.,例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项，观察数列特征，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。,一、观察法,1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ,解：an=10n1,(2) 1, 11, 111, 1111, ,分析：注意观察各项与它的
2、序号的关系 有 101，1021，1031，1041,解：an= (10n1),这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！,分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系,练习：,二、 公式法： (1)等差数列通项公式： (2)等比数列通项公式： 例如： (1) (2),三、 定义法：,运用,例2.an的前项和Sn=2n21，求通项an,解：当n2时，an=SnSn1 =(2n21) 2(n1)21 =4n2,当n=1时, a1=1,不满足上式,变式.已知an中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通项an,解: a1+2a2+3a3+nan=3n+1 (n1)
3、, a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）,nan=3n+13n=23n,而n=1时,a1=9,（n2）,两式相减得：,例3.,例4.,例5.已知an中, an+1=an+ n (nN*),a1=1,求通项an,解:由an+1=an+ n (nN*) 得,an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)+ +2+1+1,四、累加法,(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列),n个等式 相加得,an+1 an= n (nN*),（1）注意讨 论首项;,(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式,求法：累加法,练习：,五、累乘
4、法 (形如an+1 =f(n)an型),例6.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1annan2=0, 求an的通项公式,解: (n+1)an+12 +an+1annan2=0,( an+1+ an)(n+1) an+1 nan=0, an+1+ an0, (n1), an= ., (n+1) an+1 = nan,练习1：,五、累乘法 (形如an+1 =f(n)an型),练习2,五、累乘法 (形如an+1 =f(n)an型),六、构造法,题型1. 已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q （p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,例7. 已知 ，根据条件
5、 ,确定数列 的通项公式.,方法：猜想证明：由 及 , 计算出 , , , ,归纳猜想： ;,然后用数学归纳法证明猜想正确(略).,六、构造法,题型1. 已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q （p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,例7. 已知 ，根据条件 ,确定数列 的通项公式.,方法迭代法： 。,六、构造法,题型1. 已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q （p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,例7. 已知 ，根据条件 ,确定数列 的通项公式.,方法构造法：根据 构造一个新数列 设 ，则 ， ， ，即 ， 为等比数列，首项为 ，公比为 3. ， .,六、
6、构造法,题型1. 已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q （p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,方法总结：利用待定系数法令 an+=p (an-1+), 得到,从而构造出等比数列 ,辅助求出an的通项公式,六、 构造法,例8. 已知数列 中，,3,4，,六、 构造法,例8. 已知数列 中，,3,4，,六、 构造法,【变式迁移】,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）. （1）求证数列为等差数列； （2）求数列an的通项公式.,解：（1）方法1：（构造法） 因为a15且an2an12n1， 所以当n2时，an12（an11）2n， 所以， 所以，,所以是以为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知,所以an（n1）2n1.,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）. （1）求证数列为等差数列； （2）求数列an的通项公式.,【变式迁移】,例10：,题型4,形如 的递推式，可采用 取倒数方法转化成为,形如 的递推式,例11：,题型5,题型6 取对数法： 例12 若数列 中 =3且 （n是正整数），则它的通项公式是 （2012年上海高考题）.,