神奇的数学——第一章 数的魔法.pdf

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1、第一章 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 = 5050 数的魔法 数型数型 数学的研究始于数。学校里，在我们学习如何用文字、数 字或物理对象来计算和表示数之后，我们花了很多年的时间学 习通过加、减、乘、除和其他算术过程来操纵数。然而，如果 我们只是从表面看，我们往往不会看到这些数自身拥有能够娱 乐我们的魔力。 让我们从数学家高斯（Karl Friedrich Gauss）孩童时遇到 的一个问题开始。高斯的老师让高斯和他的同学把从 1到 100 所有的数加起来，这是一项繁琐的任务，旨在让学生在老师做 其他工作时很忙碌。高斯立即写下了答案：5050，这让他的老 师和同学们大吃一惊。他是怎

2、么做到的呢？如下图所示，高斯 把 1到 100 分成两行，最上面的数是 1 到 50，51到 100 写在 下面。高斯观察到，50 列中的每一列合计为 101，所以它们的 总和就是 50101，即 5050。 将从 1 到 100 的数分成两行；每一对数之和是 101。 高斯最终能成为十九世纪最伟大的数学家，并不是因为他 能快速心算，而是因为他能够让数舞蹈。在本章中，我们将探 索许多有趣的数型，并开始了解数如何舞蹈。其中一些模型可 用于更快速地进行心算，有些模型只是为自己而美丽。 我们用高斯的逻辑求前 100个数之和，但如何求前 17 或 1000或 100 万个数之和呢？事实上，我们可以用他

3、的逻辑求 前 n 个数之和，其中 n 可以是任何你想要的数！有些人发现数 在能被图像化时不太抽象。我们将 1、3、6、10和 15 称为三 角形数，因为我们可以使用这些数量的点创建下面的三角形 （你可能会拒绝接受 1 个点能构成三角形，但是 1被认为是三 角形数）。官方定义第 n 个三角形数是 1+2+3+.+n。 前五个三角形数是 1、3、6、10和 15 请注意，当我们将两个三角形并排放置时会发生什么情 况？ 矩形中有多少个点？ 两个三角形组成 5行 6 列的矩形，共有 30 个点。因此， 每个原始三角形必然有一半的点数，即 15个。同样的论证表 明，如果您将两个三角形分成 n 行并将它们

4、像我们一样放在一 起，则形成一个具有 n 行和 n+1 列的矩形，其具有 n (n + 1) 个点（通常更简洁地书写为 n(n+1)个点）。 结果，我们得出 了前 n个数的求和公式： 注意我们刚刚做了什么：我们看到了一个用来为前 100个 数求和的数学模型，并且能够将其扩展以处理任何相同形式的 问题。如果我们需要将 1到 100 万的数加起来，我们可以分两 步进行：将 1,000,000乘以 1,000,001，然后除以 2。 一旦你找出一个数学公式，经常也会发现其他公式。例 如，如果我们对最后一个等式的两边加倍，则可以得到前 n 个 偶数之和的公式： 2 + 4 + 6 + + 2n = n

5、(n + 1) 但是如何求前 n 个奇数之和呢？让我们一起看看这些数告 诉了我们什么。 前 n 个奇数的总和是多少？ 右边的数是平方数：11、22、33 等。不难发现前 n 个 奇数的总和似乎是 nn，通常写成 n2。但我们怎么能确定这并 非一时的巧合呢？我们将在第 6 章看到推导这个公式的方法， 但是这样一个简单的模型应该有一个简单的解释。我最喜欢的 证明再次使用了点数策略，并提醒我们为什么像 25 这样的数 被称为正方形数。为什么前 5 个奇数之和是 52？看看下面 55 的正方形的图片。 正方形中有多少个点？ 这个正方形有 55=25 个点，但我们以另一种方式来计算 点数。从左上角的 1

6、个点开始。它被 3 个点、5个点、7 个 点、9 个点围绕。 所以， 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 如果我们从一个 nn的正方形开始，那么我们可以将它分 解成尺寸为 1、3、5、.(2n-1)的 n 个 L形区域。当用这种方 式观察时，我们得到一个表示前 n个奇数总和的公式： 1 + 3 + 5 + . + (2n - 1) = n2 让我们应用奇数和的模型来寻找更美丽的模型。如果我们 的目标是让数跳舞，那么你可能会说我们即将做一些平方舞。 旁白 旁白 在本书随后的章节里，我们将看到不同的数点方法 （以及回答同一问题的两种不同方式）如何在高等数学中 产生一些有趣的结果。但它也可

7、以用于理解初等数学。例 如，为什么 3 5 = 5 3？我敢肯定你从来没有对这种说法提 出过质疑，因为打小时候你就被告知，乘法顺序并不重要 （数学家说两个数相乘，其先后顺序可交换）。但是为什 么 3 个装有 5 个弹珠的口袋与 5 个装有 3 个弹珠的口袋， 弹珠的总量相等呢？解释很简单：如果你只是在 35 的矩 形中计算点数，一行一行地数，我们看到 3 行，每行 5 个 点，总共 3 5 个点。另一方面，我们也有 5 列，每列 3 个 点，所以也有 5 3 个点。 请仔细查看这个有趣的等式金字塔： 你看到了什么样的模型？每行中数的个数统计起来十分 容易：3、5、7、9、11。接下来是一个意外

8、的模型：每行 的第一个数是什么？从前 5行(1、4、9、16、25）来看，它们 似乎都是平方数。为什么呢？我们来看第 5 行。第 5 行之前出 现了多少数？如果我们统计前面四行中的数，我们得到 3 + 5 + 7 + 9。为了得到第 5行的第一个数，我们只需给这个和加 1。这样我们实际得到的是前 5 个奇数的和，我们现在知道它 是 52。 现在让我们不通过求和的方式来验证第五个等式。试想一 下高斯会怎么做？如果我们暂时忽略该行开头的 25，则等号 左边剩下的 5个数，每个数比右边对应的数少 5。 比较第 5 行的左侧和右侧 因此，右边五个数的和比左边相应 5 个数的和大 25。但这 个差由最左

9、边的 25 补上了，因此，正如承诺的，等式左右实 现了总和平衡。通过相同的逻辑和一点代数，可以证明这种模 型将无限期地继续下去。 现在来介绍一种新的模型。在前文中，我们使用奇数来制 作正方形。现在让我们看看当所有奇数被置于一个大三角形时 会发生什么。 我们看到 3 + 5 = 8，7 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64。数 1、8、27和 64 有什么共同点？他们是立方数！例如， 旁白 旁白 现在向希望了解代数知识的人，做进一步的解释。行 n 之前是 3 + 5 + 7 + (2n1) = n 2 - 1 个数，所以等 式的左边必须以 n2开始，然后 n2

10、+1 到 n2+n。右侧有 n 个连 续的数，从 n2+n+1 到 n2+2n。如果我们暂时忽略最左边的 n2，我们可以看到右边的 n 个数都比左边的数大 n，所以它 们的差值是 nn，即 n2。但最左边的 n2补偿了这个值，所 以等式成立。 将第五行中的五个数相加，我们可以得到 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 5 5 = 53 该模型似乎表明，第 n 行的总和为 n3。是否会一直如此 呢？是否仅仅是一些奇怪的巧合？为了帮助我们理解这种模 型，请查看第 1、3 和 5行的中位数。您看到了什么？立方数 1、9和 25。第 2行和第 4 行没有中位数，但围绕中位的

11、是 3 和 5，平均数为 4。而 15和 17的平均数为 16。让我们看看该 如何利用这种模型。 再看第 5 行。注意，这五个数以 25 为中心对称，我们不 需要将它们相加便可知总和为 53。由于这五个数的平均值为 52，因此它们的和必然是 52 + 52 + 52 + 52 + 52 = 5 52，也就是 53。同样，第 4行四个数的平均值是 42，所以它们和必然是 43。使用一点代数知识（在这里我们没有使用），你可以证明 第 n行 n 个数的平均值是 n2，所以它们的总和必是 n3，正如 预期的一样。 既然我们在谈论立方数和平方数，我忍不住要向你展示更 多的模型。当你从 13开始，将立方数

12、相加时，你所得到的和 会是什么样呢？ 这些立方数的和都是平方数 当我们开始为立方数求和时，我们得到的和为 1、9、 36、100、225 等，这些都是平方数。他们可不是普通的平方 数，它们是 1、3、6、10、15 等的平方，这些都是三角形数！ 前文中，我们看到它们是连续整数的和，例如， 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 换句话说，前 n 个数的立方之和是前 n 个数之和的平方。 我们现在还没有准备好证明这一结论，我们将在第 6 章看到关 于它的两个证明。 快速心算快速心算 有些人看着这些数型并说：“好吧，那很好

13、。但是他们有 什么好处呢？”大多数数学家可能会像任何一位艺术家一样回 应：美丽的图案除了它的美丽之外不需要任何理由。随着我们 对数型的理解越深入，它就越美丽。不过，有时这些模型可能 会带来很实际的应用。 我很高兴在我年轻时发现一个简单的数型（即使我不是第 一个发现的人）。当时，我在和为 20 的几组数（比如 10 和 10，或者 9和 11）中，寻找乘积最大的一组。看起来当两个 数都等于 10 时，乘积最大，通过下面的列表我们可以确认这 一点。 这个模型很明显：随着两个数相差越来越大，它们的乘积 变得越来越小。它们会比 100 少多少呢？ 1、4、9、16、 25，即 12、22、32、42、

14、52等。这种模型总是起作用吗？ 我决定尝试另一个例子，通过查看和为 26的数。 再一次，当我们选择两个相等的数时，我们得到最大的乘 积，然后积减少 1，然后是 4，然后是 9，依此类推。通过另 外几个例子，我确信这种模式是正确的（稍后我会告诉你这背 后隐藏的代数知识）。然后，我看到了这种模式可以被用来更 快地求一个数的平方。 假设我们想要求 13 的平方。我们不是直接执行 13 13， 而是先计算较容易的 10 16 = 160。这几乎就是答案，但是由 于我们将两个因子分别加减了 3，这个值与真正的答案还差 32。因此，132 = (10 16) + 32 = 160 + 9 = 169 我们

15、来试试另一个例子。尝试使用这种方法求 98 98。 我们将一个因子增加 2，另一个因子减少 2，将他们的乘积加 上 22。新的算式是，982 = (100 96) + 22 = 9600 + 4 = 9604。 个位是 5 的数求平方特别简单。当两个因子分别增加和减 少 5 后，我们用来相乘的都是整十数。例如 352 = (30 40) + 52 = 1200 + 25 = 1225 552 = (50 60) + 52 = 3000 + 25 = 3025 852 = (80 90) + 52 = 7200 + 25 = 7225 现在尝试计算 592。使用相同的办法，你得到 59 59 =

16、 (60 58) + 12。但是如何心算 60 58呢？一句话：从左至 右。让我们先把个位的 0忽略，从左开始计算 6 58。现在 6 50 = 300，68 = 48。将两者加起来等于 348。这样 60 58 = 3480，进一步 59 59 = (60 58) + 1 1 = 3480 + 1 = 3481。 旁边 旁边 现在使用代数方法解释为什么这个方法可行（在第二 章读到平方差时，你也许会想重读这一段）。 AA = (A + d)(A d) + dd 这里我们求 A 的平方，d 是 A 和最容易做乘法的数的差 （当然 d 取任意值，该公式都成立）。例如，求 59 的平方 时，A=59

17、，d=1。所以这个公式告诉你去计算(59 + 1) (59 1)+ 12，正如前文所做的计算一样。 一旦你熟悉了如何求两位数的平方，你可以使用同样的方 法来求三位数的平方。例如，如果你知道 12 12 = 144，那么 112 112 = (100 124) + 122 = 12400 + 144 = 12544 类似的方法可用于求任意两个接近 100 的数的乘积。当你 第一次看到该方法时，它看起来像纯粹的魔法。看看 104 109。在每个数旁边，我们写下它和 100 的差距，如下图所 示。 现在将第二个差距添加到第一个数，这将是 104 + 9 = 113。然后将两个差距相乘，即 104 +

18、 9 = 113。将这些数拼在 一起，你的答案神奇地出现了。 一种用来计算接近 100的数的乘积的神奇方法。这里 104109=11336 我将在第 2 章向你展示更多这方面的例子和背后的代数知 识。但是，当我们谈论这个问题时，让我多说几句关于心算的 话。我们花费了大量的时间学习笔算，但是很少的时间学习如 何在你的头脑中做数学。然而，在大多数实际情况下，你更可 能需要心算而不是笔算。对于大多数大型计算，你将使用计算 器来获得确切的答案，但你在阅读营养标签，听取演讲或听取 销售报告时通常不会使用计算器。对于这些情况，你通常只需 要对重要数量进行精确的估算。学校教授的方法适于笔算，但 是它们通常不

19、利于心算。 这里我要介绍一些基本的概念，我本可就此写一本介绍速 算技巧的书。我想特别强调的一个技巧是从左到右来计算。心 算是一个不断简化的过程。你从一个难题开始，将其简化为更 简单的问题，直到最后得出答案。 心算加法心算加法 请思考 314+159（我未将问题写成竖式，这样免得你下意 识的用笔算的方式来计算）。从 314 开始，先加 100 以使得问 题简单化，这样问题变成：414+59；再将 50和 414加起来会 进一步简化问题 464+9。 这就是心算的本质。除此以外，还有一个偶尔会用到的策 略我们可以将比较难的加法先转换成比较容易的减法。这 在我们计算价格时会经常遇到。譬如，让我们计算

20、： $23.58 + $8.95 既然$8.95 比$9少 5 分，我们就先将$9 加到$23.58，然后 减去 5分。这样问题就简化了： $32.58 $0.05 = $32.53 心算减法心算减法 对于心算减法最重要的概念就是多减一些多减一些。比如，相比直 接减 9，先减 10后加 1会更容易一些。比如， 83 - 9 = 73 + 1 = 74 减 39 时，先减 40 再加 1会更简单。 83 39 = 43 + 1 = 44 当做两位或更多位数的减法时，关键的想法是使用补数 （你稍后会因此赞扬我）。一个数的补数是它到下一个整十或 整百数的距离。对一位数，这是到 10 的距离（例如，9

21、 的补 数是 1）。对于两位数，这是到 100的距离。查看以下几对和 为 100的数。你注意到了什么？ 和为 100的互补数 我们说 87 的补数是 13，75的补数是 25，依此类推。相 反，13的补数是 87，25 的补数是 75。从左到右查看每个算 式，你会注意到（最后一个问题除外），最高位的和为 9，最 低位和为 10。例外情况是以 0 结尾的数（如最后一个算 式）。例如，80 的补码是 20。 让我们应用补数策略来计算 1234 - 567。当然，如果要对 这个问题做笔算的话，那将失去不少乐趣。一旦我们使用了补 数，难解的减法问题就会变成了简单的加法问题！要减去 567，我们首先减去

22、 600。这很容易做到，特别是如果你从左 到右思考：1234 - 600 = 634。但是你已经减去了太多。多减了 多少呢？600和 567的差是多少？这与 67和 100之间的差相 同，即 33。这样 1234 567 = 634 + 33 = 667 注意：我们刚刚做的加法没有“进位”，因此特别容易。当 我们使用补数做减法时，最后一步的加法大多数情况不会遇到 “进位”。 三位数的补数和两位数有类似的性质 和为 1000的三位互补数 对大部分问题（数的最低位不为 0），除最低位之和为 10 外，其余对应位之和为 9。例如 789 + 211，7+2=9、8+1=9、 9+1=10。当情况发生

23、变化时，策略的调整也很简单。例如， 当地熟食店中我喜爱的三明治售价$6.76。如果我付了$10.00， 我将得到多少找零？答案就在 676的补数 324 中。只要移动小 数点，我们便可知找零是$3.24。 心算乘法心算乘法 当你记下乘法表之后，你至少可以近似地进行心算乘法。 下一步是掌握（不是熟记）一位数乘两位数。核心概念是从左 往右。例如计算 8 24，你应该先算 8 20，然后加上 8 4： 8 24 = (8 20) + (8 4) = 160 + 32 = 192 一旦你掌握了这些，便可以练习一位数乘 3 位数。事情变 得稍微难了一点，因为头脑中需要记忆的数变多了。这里的关 键是逐渐地

24、将这些数加起来，这样你就不需要记住太多的数。 例如，算 456 7 时，你先计算 2800 + 350，然后在加上 42。 旁白 旁白 当我购买三明治时，我不禁注意到价格和找零都是平方 数（262=676 和 182=324）。 （附加问题：还有一对平方数加起 来可以达到 1000。你能找到它们吗？） 一旦你掌握了这种规模的问题，那么就该开始处理两位数 乘两位数的问题了。对我而言，这是乐趣的开始，因为通常有 许多不同的方式可以解决这些问题。通过多种方式解决问题， 您可以检查您的答案同时陶醉于算术的一致性！我将用一 个例子来说明所有这些方法，32 38。 最熟悉的方法（与您在纸上做的最相似）是添

25、加法，它可 以应用于任何问题。在这里，我们将一个数（通常是较小的 数）分成两部分，然后将每部分乘以另一个数，并将结果相 加。 例如， 32 38 = (30 + 2) 38 = (30 38) + (2 38) = 现在如何计算 30 38 呢？让我们先算 3 38，然后在尾 部添加 0。3 38 = 90 + 24 = 114, 所以 30 38 = 1140。接下来 2 38 = 60 + 16 = 76, 所以 32 38 = (30 38) + (2 38) = 1140 + 76 = 1216 使用加减法的挑战是需要你在进行单独运算时，暂时要记 住一个大数（譬如 1140 或 128

26、0）。这可能会有难度。通常情 况下，对于两位数乘法我最喜欢分解因子法。当一个两位数可 以被拆分成两个一位数之积时，我们可以使用这种方法。在我 们的例子中，我们看到 32 可以被拆成 84。因此， 38 32 = 38 8 4 = 304 4 = 1216 如果我们将 32拆成 4 8，我们得到 38 4 8 = 152 8 = 1216，但是我更喜欢先用较大的数去乘另外一个两位数，这样 接下来只要再乘一个较小的数即可。 旁白 旁白 分解因子法也适用于 11 的乘法，因为有一个乘以 11 特 别简单的技巧：只需将高低位求和并和放在两者之间即可。 例如，53 11，我们看到 5 + 3 = 8，所

27、以答案是 583。27 11？ 由于 2 + 7 = 9，答案是 297。如果两数位的和大于 9，该怎么 办？在这种情况下，我们插入和的最低位，在最高位上增加 1。例如，要计算 4811，因为 4 + 8 = 12，答案是 528。同样， 7411 = 814。当一因子是 11 的倍数时，我们也可使用分解因子 法。例如， 74 33 = 74 11 3 = 814 3 = 2442 另一个有趣的两位数相乘的方法我称之为接近法。当两个 数十位相同时，你可以使用。当你第一次看到它时，它似乎非 常神奇。例如，你能够相信吗？ 38 32 = (30 40) + (8 2) = 1200 + 16 =

28、1216 这个计算非常简单，特别是当个位之和是 10 时（例子 中，十位都是 3，个位之和是 10）。另外一个例子 83 87 = (80 90) + (3 7) = 7200 + 21 = 7221 即使个位之和不是 10，计算也可以很简单。例如 41 44。如果你把较小一个数减少 1（抵达最近的整十数 40），接 着将较大的数增加 1。接下来， 41 44 = (40 45) + (1 4) = 1800 + 4 = 1804 对 34 37，如果你将 34减少 4（抵达最近整十数 30）， 接着将其乘以 37 + 4 = 41，最后加上 4 7，我们得到 34 37 = (30 41)

29、+ (4 7) = 1230 + 28 = 1258 同样的方法，我们在前文看到的 104 109只不过是同样 方法的一次应用。 104 109 = (100 113) + (04 09) = 11300 + 36 = 11,336 有些学校要求学生背会 20 以内的乘法表。你可以使用同 样的方法快速计算，而不是去死记硬背乘法表。 17 18 = (10 25) + (7 8) = 250 + 56 = 306 为什么这种神奇的方法会有效呢？我们必须使用到一些代 数知识来解释，我会在第二章就这一知识点做详细说明。一旦 我们有了代数知识，我们可以发现新的计算方法。例如，我们 会看到为什么最后一个

30、问题可以被如此解决： 18 17 = (20 15) + (-2) (-3) = 300 + 6 = 306 说到乘法表，请查看下面的一位数乘法表。这里有一个会 吸引住小高斯的问题：乘法表中所有数之和是多少？花点时 间，看看你能否想出一个优雅的解法。我将在本章结束时提供 答案。 心算估算和心算除法心算估算和心算除法 让我们从一个学校里不会教授的非常简单的问题开始： a) 两个三位数相乘，你能立即说出结果是几位数吗？ 再来一个问题 b) 当一个 4 位数和一个 5位数相乘时，结果会是几位 数？ 我们花了很多时间在学校学习中如何求解乘法或除法问 题，却很少花时间考虑答案的重要方面。然而，知道答案的

31、近 似大小比知道最后几位甚至是第一位数字更重要（知道答案以 3 开头是没有意义的，直到你知道答案是接近 30,000 还是 300,000或 3,000,000）。问题 a）的答案是五位或六位数。这 是为什么？最小答案是 100 100 = 10,000，其中有五位数 字。最大答案是 999 999，严格小于 1000 1000 = 1,000,000，其中有七位数字（但非常勉强！）。由于 999 999 较小，所以它只能有六位数字（当然，你可以很容易得出 最后一个问题的答案：9992 =(1000 998)+ 12 = 998,001）。因 此，两个 3位数的乘积必须有 5或 6 位数。 乘

32、法表中所有 100个数的和是多少？ 第二个问题的答案是 8 或 9。为什么？最小的四位数是 1000，可被记作 103(1后面 3个 0）。最小的 5 位数是 10000=104。所以，最小的乘积是 103 104 = 107,是一个 8 位数 （107是怎么得来的呢（103 104 = (10 10 10) (10 10 10 10) = 107）？最大的乘积比 104 105 = 109（这是一个 10 位数）小一点，所以是 9位数。 通过应用这一逻辑，我们可以得出一个结论：m 位数和位数和 n 位数相乘，乘积是位数相乘，乘积是 m+n 或或 m+n-1 位数位数。 通常情况下，只需简单地

33、查看一下相乘的两个因子的最高 位，我们便可以得知乘积是几位数。如果最高位的乘积是 10 或者更大，则乘积必然是 m + n位数（比如，271 828，最高 位的乘积是 2 8 = 16，所以答案是 6位数）。如果最高位的 乘积不大于 4，则结果是 m + n - 1 位数。例如，314 159就 是一个 5 位数。如果最高位乘积是 5、6、7、8或 9，则需要 进一步的判断。譬如 222 444是 5 位数, 但 234 456却是 6 位数（两个乘积都非常接近 100,000，这确实很麻烦）。 把这条乘法规律颠倒过来，我们可以得出一条简单的除法 规律：一个一个 m 位数被一个位数被一个 n

34、位数除，商是位数除，商是 m-n 或者或者 m-n+1 位位 数数。 例如，一个 9位数被 5 位数除，商是 4 位或者 5 位数。除 法用来确认最终答案的办法要比乘法简单。我们只需要比较除 数和被除数的最高位，而不必去乘或者除它们。如果被除数的 最高位小于除数最高位，则商是 m-n 位数；反之，则商是 m- n+1 位数。如果最高位相同，则使用相同的方法比较接下来的 一位。譬如，314159265 除以 12358，商是一个 5 位数，当我 们将除数换成 62831时，商是一个 4位数。161803398 除以 14142 的商是 5位数，因为 1614。 我不想详细介绍心算除法的过程，因为

35、它类似于笔算（实 际上，任何做除法笔算的方法都会要求你从左往右计算）。这 里只介绍一些可以使得事情简单的便捷方法。 当除数是 5（或者最低位是 5）时，你可以将除数和被除 数先同时乘以 2.比如： 34 5 = 68 10 = 6.8 123 4.5 = 246 9 = 82 3 = 27 ? ? 将除号前后两个数乘以 2后，你会注意到 246和 9都是 3 的倍数（我将在第三章介绍更多相关内容），这样通过将它们 分别先除以 3，问题得以进一步简化。 旁白 旁白 请看从 1 到 10 各个数的倒数: 1/2 = 0.5, 1/3 = 0.333 . . . , 1/4 = 0.25, 1/5

36、= 0.2 1/6 = 0.1666 . . . , 1/8 = 0.125, 1/9 = 0.111 . . . , 1/10 = 0.1 以上小数，要么是有限小数，要么从小数点右侧第二位 开始重复。但是 1/7 是个例外，它在小数点之后，以六位为 一组重复: 1/7 = 0.142857142857 . . . （造成这种差别的原因是其它 9 个数能够除尽 10、100、 1000、9、90 或 99 中的一个。而类似的数直到 999999 才能够被 7 除尽。）如果你将 1/7 循环节上的每一位写在一个圆环 上，神奇的一幕将会出现。 最神奇的一点是，其余以 7 为分母的小数可以通过从一

37、个合适的起点绕行这个圆环求得 1/7 = 0.142857 142857 . . . , 2/7 = 0.285714 285714 . . . , 3/7 = 0.428571 428571 . . . , 4/7 = 0.571428 571428 . . . , 5/7 = 0.714285 714285 . . . , 6/7 = 0.857142 857142 . . . 让我们以我在之前提出的一个问题来结束本章，10 以内乘 法表中所有数之和是多少？和前 100 个数求和一样，初看起 来，这个问题貌似很吓人。通过对数之舞美丽的模式有了深入 理解之后，我们有更好的机会来找到这个问题的美丽答案。 我们从第一行的数开始。正如高斯（或是我们的三角形 数，或是简单的加法）告诉我们的: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 第二行的和是多少呢？刚好是第一行的两倍 2 + 4 + 6 + + 20 = 2 (1 + 2 + 3 + + 10) = 2 55 同理，第三行的和是 3 55。 使用相同的逻辑，我们可以 得到最终的和是 (1 + 2 + 3 + + 10) 55 = 55 55 = 552 结果你应该能够心算得出 3025!