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1、（1） 往返运动平均速度公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) （2） 沿途数车问题核心公式：发车的间隔时间T=S/v车2t1t2/（t1+t2） 车速和人速的比N=v车/v人（t1+t2）/（t2-t1） “漂流瓶”问题核心公式 漂流所需时间T=S/V水2t逆t顺/（t逆-t顺）（三）碰到车数问题（不算之前就在路上的有1辆甲出时乙出的+（60/6-1辆甲到时乙出的）=10辆，从甲站出来时路上已有60/6-1辆甲出时乙到的=9辆，所以共19辆）（四）相遇、追及问题：A.两辆汽车分别从A、B两站同时出发，第n次相遇两人就一共走了2n-1个全程。B.第一、两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+
2、S2)/2 ;两岸型 S=3S1-S2 , 两次相遇地点距离 X=S- S1-S2 =2*S1-2*S2（5） 1、变速往返接人： a/V人=(S-2a)/V车+（S-a）/V车 （车速不变则V车=V车） 2、多次往返接人：所有人分成m拨 即a=2S/（2m-1+n）,步行距离=（m-1)a 3、车速不变往返接人题型(两拨人)：a=2S/（3+n），n=V车：V人（a为步行距离）容斥定理 M=X+Y+Z-a-b-c+m（其中X与Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是a、b、c） M=X+Y+Z-（a+b+c-3m）-2m=X+Y+Z-a-b-c+m 最不利原则解题:（总的思想：先算每次没过的，考虑
3、最不利的情况）三、组 合 问 题（一）排列组合两个恒等公式的利用1、C（n，0）C（n，1）C（n，2）C（n，n）2n2、C（m，n）C（m，n1）C（m1，n1）（二）对称原理的应用（三）环形排列：需要一人坐下来作为参照位置，再对剩下的N-1人进行全排列。（四）难题巧解N人传接球M次公式：次数=(N-1)M/N ，最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数（五）特殊方法解题4、错位重排：a(n)=n*a(n-1)+(-1)n 前几个数字是0、1、2、9、44、265，5、间隔问题：要想使3盆红花互不相邻，只能是放在4盆黄花形成的空里，4盆黄花有5个空，从中任意拿3个空
4、来放红花即可，即。6、排列组合之“捆绑法”、“插空法”、“插板法”（4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，记得先选两个球捆绑再分到3个盒子中，免得重复C(4,2）*P（3,3）例题9学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？（ ）A12 B14 C15 D16 解析：1152=27*32，则(7+1)*(2+1)/2=12（2选0个7个8种选择、3有3种，考虑长宽对调的情况，所以除以2）六、过 河 问 题来回数=（总量-可乘数）/（可乘数-1）*2+1=2*（总量-1）/（可乘数-1）-1次数=（总量-可乘数）/（可乘数-1）+1=（总量-1）/
5、（可乘数-1）八、比 赛 场 次 问 题（1） 淘汰赛：仅需决出冠、亚军，比赛场次N1 需决出第1、2、3、4名 ，比赛场次N （2） 循环赛 ：单循环（任意两个队打一场比赛），比赛场次C（N，2）=N(N-1)/2 双循环（任意两个队打两场比赛），比赛场次=P（N, 2）=N(N-1) 如果参加的队数是偶数，则比赛轮数为队数减1。例：8个队参加比赛，比赛轮数为8-1=7轮。 如果参加的队数是奇数，则比赛轮数等于队数。 例：5个队参加比赛，比赛就要进行5轮。 九、统 筹 问 题（二）货物装卸问题如果有M辆车和N（NM）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M个工厂所需的装卸工人数之和
6、。（若MN，则把各个点上需要的人加起来即答案）（四）货物集中问题解析：从中间开始分析，丙、丁之间（5+7+10）(12+8)”，应该往左流动；选择丁村。十一、鸡兔同笼的变式公式：（贵的*总数-总价）/（贵的-贱的）=贱的数目十二、时 钟 问 题A.基本的公式：在初始时刻需追赶的格数（1112）=追及时间（分钟），分针走一分钟（转6度）时，时针走0.5度，分针与时针的速度差为5. 5度/分钟B.当已知原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时，有公式：两针达到要形成夹角度数所需时间（分钟）=（原来两针的间隔度数要形成夹角的度数）（6-0.5）。C.每分钟时针比分针少走11/12格。例1：现在是2点，
7、什么时候时针与分针第一次重合？ )kKP8l7 析：2点时，时针在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 / （11/12）分钟的时间。 gq . 例2：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？ _3G ZeGV 析：时针与分针重合后再追上，只可能分针追及了60格，追及一次耗时60 / （11/12 ）720/11分钟，而12小时能追及12*60/（ 720/11)=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。 KxsdE 十三、页 码 问 题一、页码为一位数用1-9页码，用9个数字；页码为两位数用10-99页码，用180个数字；三位数1
8、00-999页码，用2700个数字2、 关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100。 十四、抽屉原理1、按自然数列分放，那么14个房间需要105 张，故最少有2个办公室的桌子数是一样的。2、把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m1个或多于ml个的物体。 例题3：从几个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果？（答案：256，可见除数为4，余数为1，抽屉数为4，所以答案为4个） 盈 亏 问 题（1） 一次盈，一次亏：（盈+亏）（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈： （大盈-小盈）（两次每人分配数的
9、差）=人数（3）两次都是亏： （大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数十六、盐 水 交 换 问 题公式：mn/(m+n)例题1：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重克，乙杯盐水重克现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中这样两杯新盐水的含盐率相同从每杯中倒出的盐水是多少克？ 公式： mn/(m+n)=120*80/(12080)48克 十七、空 瓶 换 汽 水1. 6（N）个空瓶能换1瓶汽水（即5空瓶=1汽水），喝157瓶汽水至少要买多少瓶汽水？15765=130.83（向上取整）=131 157=X+X/(N-1)X=AN(N-1) （向上取整）2. 如改为:每瓶饮料1元钱,(空瓶与
10、汽水价钱比=1:5，则汽水价钱是1*5/6)，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：13156=157.2（向下取整）=157 X*1*5/6=131A=X(N-1)N （向下取整）十八、平 润 年、 星 期 几*每过一年星期数加一，但是闰年加二十九、取 牌 问 题例题：有300张多米诺骨牌，从1300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号? 解析：不管牌书有多少张，都可以这样算：小于等于总牌数的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序号。例题中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次方，故最后剩下的一张牌是256号。 公式 2*n300 另：总是拿掉偶数牌，最后剩下的是第一张牌，即
11、编号是1的。二十一、方阵、栽树问题 （1） 方阵核心公式： 1方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）1 3方阵外一层每边比内一层多2 ,每层人数比内一层多8 4去掉一行、一列的总人数去掉的每边2-1 （2） 栽树核心公式 1、线性栽树：全长=间隔（棵数-1） 2、环形栽树：全长=间隔棵数3、 间隔思想 ：时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是12/3=4秒 “每隔9天”也即“每10天”，所以实际上是求10，12，8的最小公倍数。 二十二、 年 龄 问 题 设爸爸、哥哥现在年龄分别为：x、y则当哥哥9岁时爸爸x-(y-9)岁。二十三、自然
12、数N次方的尾数变化情况 2、3、7、8以4为周期；4、9以2为周期；1、5、6以1为周期。例：8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6， 8，4，2，6 方法2：2x=2（x+4n），4x=4（x+2n）二十五、剪 绳 问 题将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段?( )A 18段 B 49段 C 42段 D 52段公式：2n*m+1（一根绳连续对折N 次，再剪M 刀）二十七、拆 数 求 积 问 题尽量拆成3和2（3越多乘积越大）二十八、余同加余，和同加和，差同减差，公倍数作周期 1 余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以
13、6余1”，则取1，表示为60n+1 2 和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7 3 差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取3，表示为60n-3 三十、几 何 问 题（一）圆分割平面公式 n个圆最多分得平面数：n2-n+2 n条直线最多把平面分成几个区域：n(n+1)/2+1例题：3条直线最多能将平面分成几部分？（7）（二）割补法：阴影部分可拼成一条对角线长为16的正方形。如图，故面积是16162=128。（把正方形看成两个高等于半径底边等于直径的三角形，求面积更简单） (3) 常用几何性质球：表面积：4r2 体积：4/3r313+23+.
14、+N3=(1+2+3+.+N)2。12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 三十二、一些数学性质应用（一）整除特性1、末两位数字组成的两位数能被4整除的整数必能被4整除 2、末三位数字组成的三位数能被8整除的整数必能被8整除 3、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除 4、各个数位上数字之和能被9整除的整数必能被9整除5、一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果能被11的整除，那么它能被11整除（二）数学公式等比数列和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q) 例
15、题1：计算1/43/87/1615/3231/6463/128127/256255/512511/1024=？解析原式=1/2-1/41/2-1/81/2-1/1024=41/1024=4(1/1024)。（三)韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0 且=b2-4ac0)设两个根为X1和X2，则X1+X2= -b/a X1*X2=c/a (四）二次函数的性质：1. 抛物线对称轴为直线x = -b/2a。2. 抛物线顶点P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3. 当a0时，抛物线向上开口；a0时，抛物线
16、向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4. a与b同号（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。 5. 抛物线与y轴交于（0，c） 6. = b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，与x轴有1个交点。(五）增长率1.“从2004年到2007年的平均增长率”一般表示不包括2004年的增长率； 2.“2004、2005、2006、2007年的平均增长率”一般表示包括200年的增长率。 两年混合增长率公式： 如果第二期与第三期增长率分别为r1与r2，那么第三期相对于第一期的增长率为： r1r2r1 r2增长率化除为乘近似公式：如果第二期
17、的值为A，增长率为r，则第一期的值A：AA/（1r）A（1-r）（实际上左式略大于右式，r越小，则误差越小，误差量级为r2）平均增长率近似公式：如果N年间的增长率分别为r1、r2、r3rn，则平均增长率：rr1r2r3rn/n（实际上左式略小于右式，增长率越接近，误差越小）Abstract: Based on the comprehensive analysis on the plastic partstructure service requirement, moundingintroduced数学运算一、数学类运算（一）四则运算1、尾数估算法（如果选项尾数不一样，可用其快速确定答案）2的n
18、次方，位数分别为：2，4,8,63的n次方，位数分别为：3，9，7，17的n次方，位数分别为：7，9，3，18的n次方，位数分别为：8,4,2,69的n次方，位数分别为：9,14的n次方，位数分别为：4,62、补数法如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数。3、基准数法彼此相近的数相加时，去一个中间数作为基准数。4、凑整法5、运用公式；6、代换法。（二）比较大小二、应用计算题（一）路程问题1、相遇是速度相加2、追击问题是速度差（追击路程等于甲的-乙的路程）3、流水问题顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）/2水速=（顺水速度-逆
19、水速度）/2（二）比例问题1、求值型问题2、比例分配问题（三）、求面积（要多用割、补）（四）、工程问题把工程总量看成1，要是n天完成，效率就是1/n,两组的效率就是单个效率之和。（五）、年龄问题。多带入，年龄差是不变的。几年后的年龄=大小年龄差倍数差-小年龄几年前的年龄=小年龄-大小年龄差倍数差 （六）、利润问题（七）、跳进问题（画解析图，直接减去最后一次跳的距离）（八）、植树问题1、若植树线路两端都种树，棵数=段数+1=全长/株距+12、若植树线路一端种树，棵数=段数=全长/株距。也相当于封闭路段栽树，如圆形池塘。3、若植树线路两端都不种树，棵数=段数-1=全长/株距-1。每隔9天一次，等于
20、每天一次（九）抽水问题。【动机功率（台数X虚拟单位效率）-渗水率】X时间是一个恒定量容斥关系公式：2核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：ABABAB（2）三个集合的容斥关系公式： ABCABCABBCCAABC乘法原理：如果完成一件事情需要分几步完成，二每一步又有几种不同的方法，如求完成这件事情共有多少种方法，就需要用乘法。加法原理：如果完成一件事又几种不同的方法，而每一种方法又可以有几种不同的方法来完成，那么若求完成这件事有多少种方法就需要用加法。（十）、牛吃草问题第一步：算出每天长草量第二步：算出原有草量第三步：求出每天实际消耗原有草量（牛吃的-每天生长的）第四步：求出可吃天数（第二步
21、/第三步）-1、百分数和谁比谁就在分母位置。2、百分点（速度、指数、构成等的变动幅度）例：今年物价上升了6%，去年物价上升了9%，今年比去年物价上升幅度下降了3个百分点。3、增长指量的增加或百分比的增加。增幅指量和比例的增加幅度。增长多少=增长的量/比较对象4、翻番，指量的增加，以2的n次方为变化单位的。5、发展速度与增长速度发展速度：指报告期发展水平/基期发展水平。分为环比发展速度和定基发展速度（某一固定基期）。定基发展速度=环比发展速度连乘积。增长速度：反映增长程度的相对指标，是报告期增长量与基期发展水平之比。增长速度=发展速度-1一、十字相乘原理一个集合中的个体有两个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B，平均值为C（总的增长或减少情况），求取值为A的个体与取值为B的个体的比例时用。需注意1、用来解决两者之间的比例关系问题2、得出的比例关系是基数的比例关系3、总均值放中央，对角线上大数减小数，结果放在对角线上，两对角线上结果的比就是。-1、几个圆相交最多把平面分隔成多少块？N的平方-N=2；2、n跳线最多可画出多少个不重叠的三角形F(n)=F(n-1)+F(n-2)3、去程速度a返程速度b，则全程平均速度v=2ab/a+b4、利息=本金X利率X时间