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1、椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： 第一定义：平面内与两个定点 12 FF、的距离之和等于常数（大于 12 FF）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数) 10(=+ba b y a x 中 心在原点，焦点在x轴上 )0( 1 2 2 2 2 =+ba b x a y 中心在原点，焦点在y轴上 图形 范围 xa yb， xb ya， 顶点 ()() ()() 12 12 00 00 AaAa BbBb ， 、， ，、， ()() ()() 12 12 00 00 AaAa BbBb
2、 ，、， ， 、， 对称轴 x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 焦点 ()() 12 00FcFc ， 、， ()() 12 00FcFc，、， 焦距 )0(2 21 =ccFF )0(2 21 =ccFF 离心率 ) 10(=e a c e ) 10(=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1 定义 （1）第一定义：平面内到两定点 F1、F2的距离之差的绝对值等于定长 2a（小于|F1F2|） 的点的轨迹叫双曲线。 说明： |PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|时无轨迹。 设 M 是双曲线上任意一点， 若
3、M 点在双曲线右边一支上， 则|MF1|MF2|， |MF1|-|MF2|=2a； 若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|1） 的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线 L 叫相应的准线。 2 双曲线的方程及几何性质 标准方程 )0b, 0a( 1 b y a x 2 2 2 2 = )0b , 0 a( 1 b x a y 2 2 2 2 = 图形 焦点 F1（-c，0） ，F2（c，0） F1（0，-c） ，F2（0，c） 顶点 A1（a，0） ，A2（-a，0） A1（0，a） ，A2（0，-a） 对称轴 实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 x 轴上， c2=a2+b2 实轴 2a，虚轴 2b
4、，实轴在 y 轴上， c2=a2+b2 离心率 | | 2 MD MF a c e= | | 2 MD MF a c e= 准线方程 c a x:l , c a x:l 2 2 2 1 = 准线间距离为 c a2 2 c a y:l , c a y:l 2 2 2 1 = 准线间距离为 c a2 2 渐近线方程 0, 0=+ b y a x b y a x 0, 0=+ a y b x a y b x 3 几个概念 （1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为 y=x，离心率为2。 （2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴 双曲线，例：
5、1 2 2 2 2 = b y a x 的共轴双曲线是1 2 2 2 2 = b y a x 。 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。 抛物线标准方程与几何性质 一、一、抛物线抛物线定义定义的理解的理解 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物 线的焦点，定直线l为抛物线的准线。 注： 定义可归结为“一动三定” ：一个动点设为M；一定点F（即焦点） ；一定直线l （即准线） ；一定值 1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比 1） 定义中的隐含条件：焦
6、点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于 l的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹， 当10e时，表示双曲线；当1=e时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛 物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通 过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程二、抛物线标准方程 1抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简 单，便于应用。
7、2四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此 抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：()02 2 =ppxy， ()02 2 =ppyx，其中： 参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大， 张口越大； 2 p 等于焦点到抛物线顶点的距离。 标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边 一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同， 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向， 即对 称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x， 若x的一次项前符号为正， 则开口向右， 若x的 一次项前符号为负，
8、则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y， 当y的 一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。 三、求抛物线标准方程三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线 标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就 能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值” 。 注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为axy = 2 或 ayx = 2 ，这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准
9、式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。 四、抛物线的简单几何性质四、抛物线的简单几何性质 方程 设抛物线()02 2 =ppxy 性质 焦点 范围 对称性 顶点 离心率 准线 通径 0 , 2 p F 0 x 关于x 轴对称 原点 1=e 2 p x= p2 注： 焦点的非零坐标是一次项系数的 4 1 ； 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点， 数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。 五、直线与抛物线有关问题五、直线与抛物线有关问题 1直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y
10、化得形 如0 2 =+cbxax（*）的式子： 当0=a时， （*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物 线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； 当0a时，若0（*）式方程有两组不同的实数解 直线与抛物线相交； 若=0 （*）式方程有两组相同的实数解 直线与抛物线相切； 若0（*）式方程无实数解 直线与抛物线相离. 2直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于()() 2211 ,yxByxA，则 BAAB xxkAB+= 2 1 或 BA yy k AB+= 2 1 1. 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理： 抛物线()02 2 =
11、ppxy上一点() 00, y xM的焦半径长是 2 0 p xMF+=，抛物线 ()02 2 =ppyx上一点() 00, y xM的焦半径长是 2 0 p yMF+= 六、六、抛物线焦点弦的几个抛物线焦点弦的几个常用结论常用结论 设AB为过抛物线()02 2 =ppxy焦点的弦，设()() 2211 ,yxByxA，直线AB的倾斜 角为，则 2 21 2 21 , 4 pyy p xx=； 2 sin 2p AB =pxx+= 21 ； 以AB为直径的圆与准线相切； 弦两端点与顶点所成三角形的面积 sin2 2 p S AOB = ； pFBFA 211 =+ ； 焦点F对A、B在准线上射影的张角为 900； 七、抛物线有关注意事项七、抛物线有关注意事项 1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而 不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问 题时不能忽视0这个条件。 2解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上 任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.