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1、等比数列的性质总结1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式：，首项：；公比：推广：， 从而得. 3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4. 等比数列的前项和公式：（1）当时， .（2）当时，（为常数）5. 等比数列的判定方法（1）定义法：对任意的,都有为等比数列. （2）中项公式法：（0）为等比数列.（3） 通项公式法：为等比数列（4） 前项和公式法：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5
2、个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等比，可设为，（公比为，中间项用表示）；8. 等比数列的性质（1）当时等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比.前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比（2）对任何,在等比数列中,有,特别的,当时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。（3）若 (),则.特别的,当时,得注：（4）数列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.（5）数列为等比数列,每隔
3、项取出一项()仍为等比数列.（6）如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列.（7）若为等比数列,则数列，成等比数列.（8）若为等比数列,则数列, , 成等比数列（9）当时， 当时，当时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）.当时,该数列为摆动数列.（10）在等比数列中, 当项数为2n (n)时,.（11）若是公比为q的等比数列,则注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量等比数列练习一、选择题1.已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为( )A、 B、 C、或 D、2.等比数列中，
4、为方程的两根，则的值为（ ）A B C D3.已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2(a2a1)（ ）A8 B8 C D4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是 （ ） A公差为0的等差数列； B公比为1的等比数列； C常数数列1，1，1； D以上都不对.5.等比数列的各项均为正数，且18，则（ ）A12 B10 C8 D26.已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（ ）A. 4 B. 6 C.8 D.107.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于（ ）A、28 B、32 C、36 D、408
5、.等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( ) A.15 B17 C19 D 2110.设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前5项和为（ ）高考资源网A15 B31 C32 D41二、填空题13.设等比数列的前n项和为。若，则= 14.已知等差数列满足：。若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 。15.等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= _.16.等比数列的前项和=，则=_.三、解答题17.（1）在等差数列中，求及前项和；（2）在等比数列中，求18.为了保护三峡库
6、区的生态环境，凡是坡度在25以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2012年底库区的绿化率只有30%。计划从2013年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2012年绿化面积为，经过一年绿化面积为a2，经过n年绿化面积为 （I）试写出的关系式，并证明数列是等比数列；（II）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？19.已知等比数列记其前n项和为（1）求数列的通项公式； （2）若20.在等比数列中，公比，设，且（1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和及数列的通项公式；（
7、3）试比较与的大小.21.等比数列的前项和为，求公比。22.设数列的前项和，且. 其中为常数，且（）求证是等比数列；（）若数列的公比，数列满足，求证为等差数列，并求.答案一、选择题1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B二、填空题13.3 14.-1 15. 16.三、解答题17.解析：（1）数列是等差数列，因此， 由于 又 （2） 由 所以，18.解析：（I）设2012年坡度在25以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地面积为由 所以数列 （II）由（I）可知 故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。19.解析：（1）设等比数列的公比为q，则 解得 所以 （2） 由20.解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列，且公差为 （先求也可） （2）因，又，所以由由. （3）因当时，所以时，； 又可验证是时，；时，. 21.解析：若 则 矛盾 说明：此题易忽略的情况，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论。22.解析：（）由，两式相减得 3分， an是等比数列 6分（）b1=a1=1， 10分是1为首项为公差的等差数列 14分