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1、第 1 页 共 2 页 约化质量约化质量的的使用使用 苏扬 一、两体问题的动力学问题引入： 【解题指津】质量分别为 A m和 B m的两个质点A和B，其中作用力和反作用力分别为 A F和 B F。无外力， 试求A相对于B的动力学方程。 解之思路：任取惯性系S，B相对于S系的加速度为 B B B F a m =。建立随B平动的非惯性系 B S，A在 B S系 中的加速度 A a ，即A相对于B的加速度。则 AiAA FFm a +=，其中 AB iAB B m F Fm a m = = ，以之代入， 得 AB AA AB m m Fa mm = + 。 同理可得，B相对于A的动力学方程为 AB
2、BB AB m m Fa mm = + 。观察式子结构，显然可以看到 AB AB m m mm+ ，且有 一定的意义， 那么不妨为其下定义。 它的定义是约化质量， 也称折合质量， 通常用表示， 即 AB AB m m mm = + 。 它的物理意义是： 两个质点在相互作用下运动，可约化为一个质点相对另一个质点的相对运动，仍可用牛顿 第二定律求解，这时物体的质量改为约化质量。由于, AB mm，那么它更取决于质量偏小的一个。有 关双星系统的问题，通常可利用这一点来解。 二、柯尼希定理的引入 1. 质点系（质点组） ：一群质点的集合体。 2. 质点系（质点组）动能的计算 方法一：将所有质点的动能计
3、算出来，再求和； 方法二：将所有的质量集中在一点，即质心。 以下是对方法二计算的具体化：在质点系中，我们可以找到质心，算出质心的动能。在非常特殊的情况 下，质心的动能就是质点系的动能。如果我们把情景想象得更加复杂，若质点组运动不是一样的，那么就会 有相对质心的动能。因此，质点系的动能为质心动能与相对质心动能之和。这就是柯尼希定理。表达式为 第 2 页 共 2 页 2 kk 1 2 Cr EmE=+v。这个定理由 Johann Samuel Knig 于 1751 年提出。 3. 质点系中二体问题的动量问题 对有相互作用的两个质点，其质心坐标为 1122 12 C m xm x x mm + =
4、 + ，对上式求导得， 1122 12 C mm mm + = + vv v，即 () 121122C mmmm+=+vvv，即 2211 0 CC mm+=vv。因此，两个相互作用的物体，以其质点为质心系，系 统的动量为 0. 4. 两体问题中的柯尼希定理 质点分别为 1 m和 2 m的两个相互作用的质点组成的质点系，这就是两体问题。 两质点在惯性系K中速度分别为 1 v和 2 v，在质心系C中的速度是 1 v和 2 v，于是两质点的相对速度 1212 u=vvvv，又 1122 0mm+=vv，将以上两式联立，解得 2 1 12 1 2 12 m u mm m u mm = + = + v
5、 v 。所以，相对质心的 动能为 22 222 2112 k12 121212 11111 22222 rii i m umum m Emmmuu mmmmmm =+= + v。 因此， 两体问题 中的柯尼希定理，有() 22 k12 11 22 C Emmu=+v。 三、完全非弹性碰撞的引入 【例题】质量分别为 1 m和 2 m的小球发生正碰，碰前速度分别为 1 v和 2 v，碰后共速，且速度为v，求碰撞 前后机械能损失。 解： 由动量守恒定律， 得() 1 12212 mmmm+=+vvv； 由能量守恒， 得() 222 1 12212 111 222 mmmmE+= vvv。 联立上式，解得 () 22 12 12 12 1 2 mm E mm = + vv。 因此，完全非弹性正碰所损失的能量为() 22 12 1 2 E=vv。我们把E称为资用能。 四、习题课：使用柯尼希定理解力学题(练习题自备)