1、第4讲导数的热点问题专题六函数与导数板块三专题突破核心考点考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.热点一利用导数证明不等式解答例例1(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)0对于xR恒成立.(1)求实数a的值；证明用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函
2、数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；解答(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题.(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练2(2018全国)已知函数f(x)e
3、xax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；证明证明证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减.而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)若f(x)在(0，)上只有一个零点，求a.解答生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.热点三利用导数解决生活中的优化问题解答例例3罗源滨海新城建一
4、座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；解答(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(
5、x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.思维升华思维升华解答跟跟踪踪演演练练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；解答(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.真题押题精练(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；真题体验解答(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解答押题预测已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数.(1)若00，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值.
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