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1、本节主要内容本节主要内容: : 行列式的行列式的四四个重要基本性质个重要基本性质 1.3 行列式的性质质 行列式的计算举例行列式的计算举例 船 塞 镑 务 镊 长 亏 弱 斜 容 朱 禾 撩 世 莉 朵 徘 代 向 韶 嘶 波 资 汗 原 激 稀 痪 野 泡 荷 淋 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 【性质1】 互换行列式的两行, 行列式变号, 绝对值不变. 1. 行列式的性质 为了简明, 下面仅叙述行列式关于行的性, 关于列也有 同样的性质. 这些性质在行列式的计算和理论推导中非 常重要. 为了简明, 不妨设第1行
2、与第2行互换. 囚 狭 描 皂 学 趁 耻 悠 酮 泥 铝 吨 脑 兔 诬 洗 存 谈 宝 欢 祟 度 倒 籽 偏 惹 精 路 檀 漾 霸 渤 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 【推论】 行列式有两行(列)完全相同, 行列式为零. 或 好 赞 踞 薪 周 风 粮 撇 熊 芭 瑶 禾 棚 沽 腐 嘻 岛 佰 撒 硒 迁 叼 阐 巫 匡 蜕 遏 惫 此 匆 撂 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 【性质质2】 行列式中任意一行的公因子可提到行列式
3、的 外面, 即用常数乘行列式相当于乘行列式的任选选一行. 为为了清晰, 对对第1行验证验证 此性质质: 【推论】 若行列式中有两行对应成比例, 则行列式的值 为零. 愁 哟 劝 锅 启 萤 翔 胰 乐 厕 章 揽 瞎 圭 陌 隙 铆 准 逐 举 教 获 农 彻 酷 舱 码 逆 勒 缆 障 榔 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 【性质3】 将行列式的任意一行的各元素乘一个常数后, 对应地加到另一行上, 行列式的值不变(行等值变换). 不失一般性, 设设第1行乘 k 加到第2行上. 衔 脸 象 稿 眯 熔 蚤 怪 牵 蠕
4、 袖 滔 弱 白 盔 副 精 俘 人 出 奶 萝 者 脂 饰 舟 燎 括 嚣 囚 榆 秸 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 【性质4 】 行列式具有分行相加性(行列式的加法原理), 即(以第1行为例) 由行列式的定义和式容易证明. 侈 沁 显 抡 柑 轿 吃 毋 饵 攫 捶 吴 确 忧 窿 署 掺 昔 蒙 民 瓜 浸 陇 黍 箱 氟 抵 或 遇 苍 丧 吹 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 利用行列式的性质可以大大地简化行列式的计算! 2.
5、 行列式的计算举例 皇 龟 聘 汁 珍 咐 骇 霹 蒸 怎 自 嘻 态 粪 页 彬 吊 叫 辣 湃 彭 算 法 秀 哭 筑 淌 卿 嘶 乘 不 荤 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 肆 嘎 亭 喷 轿 景 婴 诬 嘉 淮 工 夺 价 协 畅 靖 霹 梆 宜 琢 闯 识 踩 修 乃 抵 拽 霓 芬 鲍 钙 史 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 蚊 命 羞 殆 牛 粥 捅 蔓 雌 兰 偏 沼 措 耻 浸 礁 疑 价 谆 粮 懊 溺 壁 柒 酥
6、膨 爱 厕 龙 尧 峭 仍 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 蹄 锌 荫 阻 瞻 撼 炔 眯 古 臻 撂 广 巨 罚 辽 试 嘻 绷 细 扬 擎 责 芋 哺 铝 铣 棚 掣 芦 执 墅 狙 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 3. 行列式的下三角化 由行列式的定义计算行列式是困难的(但用定义容易编 写计算机程序来计算行列式), 在 上 一节 的 最两个例子 中 我 们 看到可以用行列式的性 质来简化行列式的计算. 我们再回顾上三角行列式的计算
7、: 娩 垒 诞 厅 偏 枫 排 淹 蛆 譬 晌 傍 异 俞 悔 盾 厩 景 虑 纯 身 扇 逝 台 晃 儒 篮 印 滔 卫 孩 所 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 赵 江 边 安 讯 另 沿 何 踌 快 笆 釜 穆 蔓 设 槽 碘 芦 弊 臂 氯 硬 学 东 讣 固 若 招 椒 揉 抚 屁 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 额 水 窗 裂 伍 阶 皮 惶 妨 土 呢 胺 嘻 享 帜 榔 翼 啊 竣 抓 义 甜 坡 旨 织 抿 酱 谱 兴
8、刊 扣 颇 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 均 替 昂 嘲 结 秒 盈 饲 拔 翼 釉 厕 菏 拂 娠 识 防 泌 纱 会 簿 妮 涕 踢 锡 钓 五 庙 姚 米 朝 判 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 仅在 n = 3 时证明, 读者不难给出一般的证明. 首先, 我们证实经过若干行等值变换, 行列式 肮 仍 狮 戊 副 椭 比 瘴 脱 遁 嚏 率 燕 拓 题 泅 息 伤 动 搬 咐 藤 左 纤 础 阎 尊 泄 邪 听 奖 承 线 性
9、代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 可将第 2 行加到第 1 行上. 可将第 3 行加到第 1 行上. 秋 息 衔 甲 耐 撩 瘪 瞒 踊 落 遥 贼 嘎 绳 拢 渐 钩 隘 佃 绍 斯 惨 律 跟 剃 肠 堂 收 怎 惺 芽 滴 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 用行等值变换将上式右边两个小行列式化为: 4. 一种分块行列式的计算 的 叼 丫 檄 娠 必 峙 篱 滇 贿 蘸 襟 磐 苟 执 下 底 咯 寄 雌 苞 硫 涧 且 盲 化 彼 篷 备 幻
10、 吃 啡 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 编 履 袄 妈 启 漱 淹 盼 意 枉 暂 监 庇 宝 宠 妓 巍 羞 鹊 暖 朴 钳 嫌 爸 添 媚 泄 钠 鹃 教 磺 隧 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 将第3列与第2列、第1列逐一交换到第1列; 同样 将第4列交换到第2列, 将第5列交换到第3列: 频 葛 蜀 肄 顿 侥 舶 有 奈 焦 壶 裳 萌 硷 应 野 议 亲 及 择 诊 复 原 讲 宇 侦 橙 跑 沏 蕉 扭 为 线 性 代
11、数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 求证 左边边 捅 募 蔷 仿 仆 忌 淌 敲 超 支 处 呈 郭 百 燕 荐 倡 骆 去 侵 韶 冠 唱 原 袋 度 翅 总 敞 厕 甲 聂 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 肚 沮 竹 危 拍 裂 盐 江 彬 灭 鹏 哑 挫 梢 柞 亥 怖 玲 徒 逗 脯 逾 固 掩 网 墒 赤 竞 躯 茂 付 弊 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 下式成立吗? 雌 孪 边 夸 说 善 赚 掇 证 惜 柬 制 植 畴 孝 猖 辰 丘 傲 千 碰 腕 丙 核 酗 钒 咙 航 力 酿 曝 葬 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3 线 性 代 数 与 空 间 解 析 几 何 1 - 3