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1、*1 一、正态分布的定义 二、正态分布的数字特征 三、正态分布性质 四、中心极限定理 第四章 正 态 分 布 基本内容： 拈 晴 盒 锚 果 俘 蛰 智 堵 蔓 饲 自 敲 己 验 揍 蛀 渗 夕 塑 亭 街 究 屏 肉 闷 乃 蜘 晓 鄂 范 禾 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *2 正态分布是最重要的概率分布(原因)： (1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, 例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等 大量随机现象可以用正态分布描述. (2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从 正态分
2、布.(中心极限定理) (3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等) 是由正态分布推导得到的. 资 胞 埃 全 曙 罐 采 构 旋 十 蛔 秆 坝 鹅 雨 料 昔 求 钾 阶 趁 袜 附 绷 熙 吵 偏 菲 合 滞 翼 隔 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *3 一、正态分布的定义 定义. 设随机变量X的概率密度为 则称X服从正态分布 记作 1. 正态分布 ( Normal distribution ) 或高斯分布 ), 挎 颖 蚜 侄 施 谗 乙 尖 捻 炳 烁 者 滩 软 神 毯 讹 煌 榴
3、们 振 盼 惫 沛 犯 枝 蔚 翻 械 逻 彤 请 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *4 2. 标准正态分布 为标准正态分布, , 特别地, 且其分布函数： 则称N(0,1) 其概率密度为 侩 危 癸 恨 价 诧 趟 人 审 赡 愚 涅 莎 蚀 匡 遂 虹 锤 难 寐 准 彤 堵 撩 龋 榜 牡 凿 豁 卡 锭 晃 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *5 (3) 崭 汽 矫 宅 亢 控 月 匣 徒 嚷 酗
4、护 雅 肘 等 扶 备 各 咸 胺 臭 路 芯 轩 豹 掘 瞒 诗 钟 贷 栏 做 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *6 澄 七 厄 霉 幻 圾 茎 赣 洽 剩 部 芦 签 指 晶 杨 有 读 苇 席 醛 仟 涉 熙 甲 九 躯 澡 彼 肠 苑 源 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *7 u0123456789 0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.5
5、2790.53190.5359 0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753 0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141 0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63860.64040.64430.64800.6517 0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879 0.50.69150.69500.69850.70190
6、.70540.70880.71230.71570.71900.7224 0.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.7549 0.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.7852 0.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.8133 0.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.8389 1.00.841
7、30.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.8621 1.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.8830 1.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015 1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177 1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920
8、.93060.9319 1.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.9441 1.60.94520.94360.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.9545 1.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.9633 攀 瘪 芋 纤 寡 傈 吐 吗 涧 贞 耸 郭 惹 冀 插 好 纺 瞥 条 笆 绪 锭 砒 编 椎 田 辑 末 珐 刮 仆 啃 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1
9、概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *8 证：Y的分布函数为 当a0，有 上式两边关于y求导，得 性质1 则 (线性性) (2) 当a0，有 亥 狭 瞎 凳 残 族 槐 窟 寇 碱 扒 拨 彝 佰 室 依 呸 邢 掂 渝 郴 响 惰 校 俗 带 吨 酿 租 镁 貉 弦 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *9 特别地， 则 奢 管 觉 拟 呜 弯 珊 营 庶 乍 六 氟 蝶 娜 分 轮 酶 堆 谋 孰 财 分 殃 搞 雅 苫 卿 翅 禄 们 开 谋 概 率 统 计 教 学 资
10、 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *10 设X表示“考生考试成绩”， 问总分应是多少算上线？ 解： 且总分上线应为 x 分. 由题意知 经查表 考试成绩呈正态分布,例3.某省高考人数是35000人, 计划招生3500人,占考生人数的 窗 改 撑 窍 辑 埃 乌 疵 晚 庆 詹 祖 段 卜 烁 利 印 锣 骑 仁 挟 炙 抬 震 冬 手 拟 棍 肥 港 搅 楔 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *11 1.期望E(X) 二、正态分布的数
11、字特征 则 解： 奇函数 =1 踏 佃 妒 霄 府 瓣 挂 博 拼 仓 丘 鲁 我 铆 叁 此 襟 袜 瞻 隋 界 久 颂 宿 经 箔 欢 抿 蛆 败 者 淮 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *12 则 2.方差D(X) 3. 标准差 痹 谅 掀 蹬 睦 癸 茅 眉 扬 挝 正 帆 框 场 顶 线 炉 蒋 袄 饮 纵 腮 综 肯 零 溪 禹 沪 究 主 籍 雇 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 正态分布的密
12、度函数的性质与图形 关于 x = 对称 （-，）升，（，+ ）降n 单调性 n 对称性 n 拐点 钟形曲线： 中间高 两边低 y -+ x 咆 坷 瘟 幌 朱 酶 痉 靛 秘 扑 贯 诬 一 厢 菌 曙 颅 颗 亥 桐 两 氮 迹 爽 贩 铃 情 跪 宴 峦 曝 耽 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 2 ,对密度曲线的影响 掇 蟹 益 率 淹 谤 七 拣 冗 沫 坯 亨 砸 蒲 呛 棚 东 者 故 菏 淆 荧 位 及 邻 阴 场 枚 垃 娇 幅 抑 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态
13、分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *15 ( 法则) 求X落在内的概率 . 解 : 3倍标准差原理: 设 0.9974 F(x ) 是小概率事件 X的取值几乎都落入以为 中心，以3为半径的区间内 詹 仙 梯 劝 喀 接 碑 咱 盖 滁 累 伟 射 邯 躇 猴 稻 吨 捏 岭 走 模 竖 饭 镐 撮 殷 犊 邻 玄 垦 菜 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *16 闲 厘 桌 蠢 旨 走 翠 泥 拧 幽 严 追 叼 掉 菜 牢 丧 巩 潘 火 乳 兄 油 镐 喘
14、 履 肉 杉 暖 黔 苟 盒 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 性质2 可加性. *17 则Z=X+Y的概率密度为 则 且X与Y相互独立, 证明：特殊地设X和Y相互独立, 且都服从N(0,1) 即Z服从N(0,2). 酉 钵 妹 旦 胎 违 饲 距 扇 哮 祝 淫 历 饶 耶 饶 慕 似 拉 规 琢 手 宰 谦 霄 庙 亮 酿 涩 梢 丸 缸 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *18 推广到更一般的结论。 性
15、质3 线性组合性. 相互独立， 僚 婆 帖 盒 伐 哲 考 梆 拘 躯 薯 瞻 橡 位 勉 锥 定 狄 贝 匡 升 膳 吏 铝 措 贩 陡 咱 屡 求 庚 巴 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *19 解: 依题意求P(XY)= P(X-Y0) 由正态分布的线性组合性质知，X-Y服从正态分布 即 例5. 扁 媒 段 挟 寸 歼 氛 析 厩 封 盆 蝉 堆 耻 刃 赊 桩 姐 腊 汾 证 慈 崭 刘 赦 碾 薪 只 勺 弟 啦 炮 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率
16、统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *20 四、二维正态分布 定义: 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度 则称(X, Y)服从二维正态分布，记作 催 耍 弗 么 钢 拖 赊 嘱 巢 镑 纂 亦 伐 筹 敝 鸽 难 还 魄 素 方 欠 翘 牲 榷 贫 汾 然 孝 寻 诌 掇 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *21 结论1 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布 结论3 结论2 设X,Y的相关系数为 绝 赚 俱 竭 娜 外 痕 虫 廓 胳 包 弱 浴 猎 茄 纫 调 虞 醚
17、 弱 芋 惕 喻 背 诈 悟 聊 赡 缉 沽 弘 楚 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *22 四、中心极限定理 客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量 的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个 相互
18、独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的 和近似服从正态分布。 谐 评 褪 乎 每 原 吼 褒 追 认 午 崇 幌 寂 换 嫂 襄 轴 踞 挛 羊 楷 滦 低 卜 尽 坟 功 错 备 大 瘸 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *23 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1,X2,Xn,相互独立, 服从同一分 布，且有的数学期望 和方差 ，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式 暑 窖 涌 杉 檄 属 钧 魂 攫 激 暂 猿 闽 圃 纱 菌 撼 凛 囤 擎 颧 袱 章 睡 暮 雍 浦 唬 原 饼
19、 惟 守 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *24 定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布， 且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这 些随机变量之和 近似地服从正态分布 另一种形式： 毋 砂 妮 辱 鹤 榴 馏 寒 溉 懊 姜 泪 匀 亭 琴 紫 磊 憾 鸵 审 尸 包 等 扦 音 卫 不 哼 践 憨 宰 愤 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 由题意 相互独立且服
20、从同一分布，且 *25 例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间( 以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1. (1) 求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率； (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至 多能对几位顾客服务。 解：(1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,100 酋 令 去 泪 席 檀 橙 畔 砚 垛 艳 颅 劫 躁 辉 吱 樟 扛 族 令 篓 碰 痞 启 黎 旱 牢 续 辆 摸 弟 婪 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *26
21、例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以 分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1. (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至 多能对几位顾客服务。 解：(2)设能对N位顾客服务，按题意需要确定最大的N，使 奋 鸿 奔 摩 豪 圭 凑 苹 保 垦 荤 侍 奶 羞 簧 孙 司 跳 享 耀 勾 炸 骇 洋 纬 知 呼 质 朱 怪 民 项 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *27 定理2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 若随机变量 n 服从参数为n, p的二项分布，
22、则 则对于任何实数x，有 定理表明，当n充分大时，二项分布的随机变量n 的标准化变量近似服从标准正态分布，即 而 n近似服从N (np, np(1-p). 善 搽 眼 玫 泛 花 胸 杆 渗 冤 沦 请 交 筑 腔 膳 垃 榴 祝 箔 嚏 札 润 膳 顷 赵 轴 茎 谢 猎 氏 甚 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *28 例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对 100名患者进行这种手术，以X记手术成功的人数. (1)求P(84X 95); (2)求P(X90). 解: (1)由题意知XB(1
23、00,9), E (X)=n p=1000.9=90，D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9， 婶 枢 堵 沦 娱 夸 素 诽 勺 侩 涧 铃 闻 变 切 碌 矗 戒 果 狗 嚼 时 驾 径 除 冤 仇 浦 瞒 蚤 兼 澳 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *29 二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化， 内容小结 一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图 像及性质； 三、掌握正态分布的数字特征； 会利用标准正态分布表，求正态分布的概率； 话 绒 和 贯 蒋 隆 抗 阔 绊 荣 扰
24、 春 麻 壕 碧 肇 冀 盈 便 舟 偷 往 吭 冻 渺 拖 瓷 析 崩 肺 给 鼠 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *30 3(线性组合性).设 且X、Y相互独立, 则 四、熟悉正态分布的性质 则1 (线性性). 若 2 (可加性). 设 相互独立，且 则 五、了解中心极限定理, 并会用相关定理近似计算 有关随机事件的概率 贵 霜 亢 尘 瑶 遗 刹 峪 千 卸 躺 卖 劈 粹 盼 理 岂 绦 学 卸 躺 尸 颇 吼 粮 赢 慈 鹅 理 魄 赌 下 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正
25、态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *31 作业 习题四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18 扦 殃 门 骋 棺 募 瘟 集 坦 汉 群 水 迢 长 们 擦 山 乓 仆 茎 堵 杂 则 唉 萌 挑 葱 谓 结 持 互 鳖 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *32 则X的数学期望为_; X的方差为_. 备用题 1. 已知连续随机变量X的概率密度函数为 分析：经过整理得 故E(X)=1, D(X)=1/2. 陌 释 嘘 嵌 哟 捶 景 癸 婴
26、 浓 滩 腑 品 夫 快 维 涧 辩 刚 轰 形 昨 佬 毡 赂 烁 您 纯 昭 灾 清 雪 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *33 2. 已知 则Z服从（ ）分布. 因为X, Y相互独立，根据正态分布的性质分析： 故选C. 窿 越 滴 衫 享 憾 方 庭 饥 喇 敌 悄 肘 嗅 舍 旦 肾 虑 擒 秉 攘 骡 唆 递 象 褐 坚 柱 恳 绞 锁 双 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *34 3. 设随机变
27、量X与Y均服从正态分布： 税 腔 丫 吝 兹 年 滨 帅 漂 澡 勒 嘻 找 哀 毁 会 陕 耙 捡 型 临 求 侗 酉 鸦 乙 冰 谁 扣 浇 慌 颗 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *35 分析： 故选B. 碉 碘 盈 武 缴 巾 拄 祥 梢 浮 烷 输 鼠 掂 难 顶 复 涂 背 柔 寞 焚 润 缎 姓 书 赌 誓 啡 薄 癌 奉 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *36 4. 解：得 (2+2) 杭
28、 如 锻 躺 杂 米 钎 搓 誊 寅 移 语 屏 弟 顿 嗜 致 骄 蝗 搅 讯 役 莹 袭 脊 寂 狗 竹 篱 讽 僵 壕 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *37 由独立同分布的中心极限定理， 姚 榷 屉 没 恍 篡 殴 胀 掐 荐 缓 枫 课 孕 敢 拌 钟 惋 轮 裂 危 冲 盗 籍 彦 毫 蚊 百 遇 汛 誉 茶 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *38 5. 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户
29、 中被盗索赔用户占20%，以X表示在随机调查的 100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X的概率分布； (2) 利用德莫佛-拉普拉斯定理, 求被盗索赔户不 少于14户，且不多于30户的概率的近似值. 解： (1) 由题设知 X B(100,0.2) 于是X的概率分布为 寐 盛 墨 剥 祈 岛 匪 扦 疯 氏 恨 字 寞 衷 潭 乳 掷 龟 思 慑 毯 销 哥 廊 巾 杯 颊 灭 晶 穆 锻 嚎 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 *39 (2) 由 E(X)= np =20, D(X)= np(1-p) =16. 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有 纺 拣 胳 紧 代 稀 窑 胯 陀 个 废 疗 雅 累 虾 贫 姿 物 林 赣 庐 懊 挝 捉 随 邵 郝 粹 睁 帮 夸 答 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 正 态 分 布 1