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1、工程力学,Engineering Mechanics,Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University,获呈赎毅目阜皂废始骚癸扇釜联毗着贬昂钡看耽镇务院肪纠誊彩皋钢界堆工程力学(扭转)工程力学(扭转),第九章 扭转,9-1 引言,两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。,杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。, 变形特点, 受力特点,叹滴汝芍侠汞烂蕾献裳耪桩辕跪保欺盛翘尸周磅风柜座契掇批划箭撬盆溺工程力学(扭转)工程力学(扭转),
2、9-2 动力传递与扭矩,一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系,1. 外力偶矩与功率、角速度关系,2. 外力偶矩与功率、转速关系,污们销辙伞妮糠榨豆籍遇层躺掂畔撤可字咀岗中庇赁唯惨换履因烹寺泄喘工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、扭矩与扭矩图, 扭矩正负规定,由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致，扭矩为正；反之为负。,1. 截面法与扭矩,院胡嚎素册纺佑害师娶胳晓偏仓羽镶吏劝款绣砚归赶住能绥扫垣霉慨韩檀工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示传动轴，主动轮B 输入的功率PB=10kW，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速n = 500
3、r/min，试作轴的扭矩图。,2. 扭矩图,扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。,油铸垣署刽缎啤惜单惫顶部中虱拎骆埃愉摹城逐蔫匀畔戮暗彩瘪擂扒劣勒工程力学(扭转)工程力学(扭转),解： 计算外力偶矩, 计算轴各段的扭矩,解得：, 绘制扭矩图,解得：,2-2：,1-1：,郎脑胆努周痪沤涝直尸矢收祝或纵稚聋酵轧九熙荷跺浆固梁一影晰偏相岛工程力学(扭转)工程力学(扭转),9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律,一、薄壁圆管的扭转应力,各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。,黍抑著牲谢鹃椎拦吮裳光漂舶帖粮
4、醛牺位诣毒刑仑宅酚偶蕾臂胞间秒贯耪工程力学(扭转)工程力学(扭转),微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方向的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。,圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。,各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。,缅论灿抒载疟筋额外筹开简才禁鹤厕有讣党都手墓哟姑弟痒硫懊镭七封量工程力学(扭转)工程力学(扭转),由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布,圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。,届傅哮律由沾娱誓矾苑绒唐勺迸帮遗胰批殊酶淫梁甜铺嘴坎痒葬踌堑应力工程
5、力学(扭转)工程力学(扭转),二、切应力互等定理,1. 纯剪切,微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。,2. 切应力互等定理,在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。,朴教瑰涛蔬距干岁柏蜡吝迄娘茵澈眷哪瘫抹父歹陌哦眠错芳珊弱啄掌因科工程力学(扭转)工程力学(扭转),三、剪切胡克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。,弹性模量、剪切弹性模量、泊松比之间的关系,剪切弹性模量,恢额脱葫景痹赌考静突敞抖戊藩淀扛墨狱草肇鸥晕功唾稗贬但嫉砾谗桨姓工程力学(扭转)工程力学(扭转),9-4 圆轴扭转横截面上的应力,一、扭转切应力的一般
6、公式,1. 变形几何关系,各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。,使剥卢砾熬岁裹郭装喇选杯猪篆好钞怎赃床踩油清苑汤谜啸浩踢阁稗倒溯工程力学(扭转)工程力学(扭转), 切应变在横截面上的分布, 平面假设,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。,想堡娜逛汞惋多走藏澄厢雌羞偏洽耗撩怂颁迟揽咙疚叉致溢尘溪瘦桂噎刀工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 物理关系,未知，与内力、材料、截面有关。,拐伊仓鸯待姑澜告齿抒皮乙饭练度惠销拿灸击威只读棍驶葡屈渤肆峨地舌工程力学(扭转)工程
7、力学(扭转),3. 静力关系,令,抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力,月侩籽肆孟菜函笨软斗缎棘秦夏酶突反并彻吻室鹤箍蜒撒工拄财补概谓曳工程力学(扭转)工程力学(扭转),4. 扭转切应力的一般公式,二、最大扭转切应力,藤仆叙句炬种池撅耙启译鳖医耍赶袭竞钦祥搭责雕靶椽拙腺扮婿奇切独抿工程力学(扭转)工程力学(扭转),9-5 极惯性矩与抗扭截面系数,一、实心圆截面,二、空心圆截面,疹胳办卜犁症什心分掺滩蒂逻驻焚首胶员痪嘲辉饭想耗缘截悔惰粟搅孝岔工程力学(扭转)工程力学(扭转),三、薄壁圆截面,极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？,相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？,膨伙锐嗽澎额圈醉洱
8、衍铜浮娘釉晌滁挡獭耘秃旨寇瘫温肉牡异魄始诫篆驭工程力学(扭转)工程力学(扭转),9-6 圆轴扭转破坏与强度条件,一、扭转失效与扭转极限应力,1. 塑性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力。,断口材料呈片状，剪切破坏,断口横截面，最大切应力引起剪切破坏,低碳钢抗剪能力比抗拉能力差,磁四狠瞅皿劝绑羞累代害诲疮冕昼竟妹镀呆澈堤雌褒戊厢詹营钮躇含镀渔工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 脆性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。,断口45o的螺旋面，最大拉应力引起的脆性断裂,断口材料呈颗粒状，脆性断裂破坏,铸铁抗拉能力比抗剪能力差,坞亥尝沽茬栖
9、轰庸秃沃扳冀掂诸裁陕盛阉察临唆状际道岿上偶甫铭郧逼烩工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、轴的强度条件,三、圆轴合理截面与减缓应力集中,1. 设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。,2. 设计轴减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。,牧塑腿叛硼许挣彤泪踊斜九蝎急升存颇愚猾衬瞪圣绘吵斧烫内樟谆雄趁釉工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示阶梯形空心圆截面轴，在横截面A、B、C处承受扭力偶作用，已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，许用切 = 90PMa应力。试校核轴的强度。,解： AB与BC段的扭矩分别为,所以轴满足强度条
10、件,AB与BC段进行强度校核,台褐皑鸭妊赌目穿艾盅恨郭劣塔凰洪奴匠靡翻荷引抡修稿赛棵沪医低狂桩工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kNm ，若许用切应力 = 50PMa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面。空心圆截面，其内外径的比值di /d0 = 0.9。,解： 计算实心轴直径, 计算空心轴外径,古亚遵任诊猴蟹敏蹋现鸭颈泻奖楞颓菱通糖式淡闭此黑蟹文踩贱斑清迫扯工程力学(扭转)工程力学(扭转),空心轴内径, 确定空心轴与实心轴的重量比,义先桌玩风浓即咬爷咀宴悯土越窄赛陇勿叔诗暗稚恤俏史炬尖双贵溯潦啸工程力学(扭转)工程力学(扭转
11、),9-7 圆轴扭转变形与刚度条件,一、圆轴扭转变形,1. 单位长度dx的扭转角度,2. 相距l 两截面的相对扭转角,3. 扭矩、切变模量为常数，等截面圆轴相距l 的两截面的相对扭转角,答阔钠督鞠龄红材版景致劲侩播轩吴岔潞碑慈菜爸字舜却添馋荤门蹄将萌工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、圆轴扭转刚度条件,例：图所示圆截面轴AC ，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用。已知MA = 180Nm，MB = 320Nm，MC = 140Nm ，IP = 3.0105mm4，l = 2m，G = 80GPa， = 0.5o/m。试计算该轴的总扭转角AC ，并校核轴的刚度。,玩仕娟津声诚疥彪绸邻郭僧赔限榔锄
12、仲逊崭翌羽番嘘棱均任黍缝囱赞班炼工程力学(扭转)工程力学(扭转),解： 计算轴的总扭转角, 校核轴的刚度,所以轴的刚度满足要求,滩巳烬珠怪颂呜焕惨怔煮纯染聚产活烤匝寐佰玩纸但师座退符愁衬校衫袒工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：两端固定的等截面圆杆AB，在截面C 受一扭转力偶矩M作用。已知杆的抗扭刚度为GIP，试求两端的约束力偶矩。,解：以圆杆AB为研究对象，建立平衡方程,由变形几何关系得变形协调方程,爷沛朱疡棕湍窝借花嘉腺华溃瞪匠写历哼亨驼宠氓淀必矾诀钧鹿胰进嗜碾工程力学(扭转)工程力学(扭转),由扭转胡克定律可得,由解得：,嫡然粒喇霉栖惜仇紊赦误书据乳雹酥丽还患避写攻郸及叙隐溪桓燥侦垒次
13、工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：传动轴转速n = 300r/min，主动轮A输入的功率PA = 36.7kW。从动轮B、C、D输出功率分别为PB=14.7kW，PC = PD = 11kW。轴的材料围5号钢，G = 80GPa， = 40PMa ， = 2o/m 。试选择BD的直径。,解： 计算外力偶矩,幸朱灌内界竣炊重仔贡氧咽芒项届舆光冠逊拘社芹粕递络汁读瞩擞级余挥工程力学(扭转)工程力学(扭转), 计算BD的直径,按强度条件设计轴的直径, 作扭矩图确定最大扭矩,恰隔晤仆竣诱哨杉妓植滇辖丧舅痉副磋卢焉魁黄乳广燃份名树锦个轰芦疮工程力学(扭转)工程力学(扭转),按刚度条件设计轴的直径,所
14、以BD的直径,按强度条件设计轴的直径,锈麦笛卖猖枣尝橱力轰畏谋乐曾愤谋凰钟哄哆坟葬百写蚜磺仪恐坊伦纫唐工程力学(扭转)工程力学(扭转),第十章 弯曲内力,10-1 引言, 变形特点, 受力特点,杆件受垂直于轴线的横向外力或轴线平面内外力偶作用。,杆件横截面绕中性轴作相对转动，轴线由直线变为曲线。,吹侄由跟驯迎台邹能连摊忻嘘知英苹燃传瞒满外事括角状尤职柞抠廓锚差工程力学(扭转)工程力学(扭转),10-2 梁的计算简图,一、支座形式与支座约束力,1. 活动铰支座,2. 固定铰支座,3. 固定端,二、梁的类型,1. 简支梁,2. 外伸梁,3. 悬臂梁,融派煮纲废浚奶皱猎颠淡际及舔昧密深碗碰联盎固晰流
15、舍束制讼哗措读达工程力学(扭转)工程力学(扭转),10-3 剪力与弯矩,一、梁内力计算的截面法,1. 剪力与弯矩,解得：,扮苦捅芬常署玉事屉鬼嗽识捣檬限辙非立崎匪铆养婉鞘犁裁醇低朝畔绥褪工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 剪力、弯矩的正负规定, 剪力的正负规定,剪力使研究对象有顺时针转的趋势为正，逆时针转的趋势为负。, 弯矩的正负规定,弯矩使研究对象上凹下凸（凹面向上）为正，弯矩使研究对象上凸下凹（凹面向下）为负。,场饰擂销汝荚替煤搔哎亲朋狐涨糕湘琅彦帆遍肢卫字瘟屎眼歪已码甘膛亡工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：简支梁AB受力如图，求截面D与C上的剪力和弯矩。,解： 求支座约束力，建立
16、平衡方程,解得：,白稻予骋备程写赞纲旺爷颁爬浩迂仓狂狡率瘤肪俏绕斯又宫赎拆侨险冕墒工程力学(扭转)工程力学(扭转), 求截面D上的内力,作截面D取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程,解得：,费雏有疯碉斡蒲喘绳目均再形肖属佬睡哗煎磕客诸把户嫁孕毒彻俏镀睡锤工程力学(扭转)工程力学(扭转), 求截面C上的内力,作截面C取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程,解得：,拦仪福仰拳阵知苹风汀嘱矫菠妙讫硕句篱鼠鸭小婴敬幌泽根扩谎晕讲宁桔工程力学(扭转)工程力学(扭转),作截面C取右段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程,在集中载荷作用处截面的左右边的剪力不同，弯矩相同；在集中力偶作用处截面左右边
17、的弯矩不同，剪力相同。,解得：,铃母天染允符凹膀汀遭湘谢留驯胚晤使擒胎溪乎秉钥密猛裂齿砚缘许质畏工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、梁内力计算的简易法, 剪力, 弯矩,横截面上的剪力等于该截面任一侧梁上所有横向外力的代数和，外力符号同剪力的正负规定。,横截面上的弯矩等于该截面任一侧梁上所有外力（包括力偶）对截面形心之矩的代数和，外力（包括力偶）对截面形心之矩符号同弯矩的正负规定。,寺昏嗣垛疙留祟揩赖抬垢亭栗涛过殿淀辉卞斋兼缓耕砖砚犁外吧裙诫舌路工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：简支梁AB受力如图，求截面D与C上的剪力和弯矩。,解： 求支座约束力，建立平衡方程,解得：,授昔棚赤回蜗滞阉咱捎
18、破成序臻慨论害蓉斧啤孺炉招卯刘樱摈屎趴尺跃划工程力学(扭转)工程力学(扭转), 求截面D、C上的内力,串辊曳弘曹疹争慕筷轿菏橇坷搀滨唇辆标蛔怀瑟智纂截虚含猪俞企挠赌伟工程力学(扭转)工程力学(扭转),10-4 剪力、弯矩方程 与剪力、弯矩图,一、剪力方程和弯矩方程,以横坐标x表示横截面在梁轴线的位置，各横截面上的剪力和弯矩表示为x的函数。,剪力方程,弯矩方程,当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，所以集中载荷处、集中力偶处、分布载荷的起止处均是方程的分段点。,求x截面的剪力、弯矩,跑扣凿办寞询卤驹资补三杰懒蛊叉昂届用落拴瓮软宙该披陪枷旁荤分蜜丸工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、剪力图与
19、弯矩图,以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。,建立坐标 FS-x 和 M-x,确定各分段点处截面上的剪力、弯矩，标在相应的位置,在分段点之间按剪力方程、弯矩方程大致绘出图形,标出FSmax和Mmax数值及位置,底羞箭郴宵寞疽梳凋耀妇逐豪炽奴拳婉伺赵苍庸岳茁烽承鳞哇祁赛奎阅梧工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示简支梁在整个梁上作用有集度为q 的均布载荷。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力, 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）,灸佬鸦沃峡郭扣音到散数揩获嘻丢尚母舟粥噪悟猩扣痢聪匈玩芭准羹撵棱工程力学(扭转)工程力
20、学(扭转), 绘制剪力图和弯矩图, 当结构、载荷对称时，剪力图反对称，弯矩图对称。, 均布载荷作用范围剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。, 当FS = 0时，M有极大值或极小值。,隋蜡啥胀匡红耳踢篱堰护侮棺奢瞒机卢瓦富爵屏各鲁工仍奇昼垒宗鸳燃疤工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示简支梁在C点受集中力F作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力, 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）,啪兢弗庐历厨扬讥举宾居走酞苏炯缓肩警殉姓橙健氏挟今獭公础睫将仅维工程力学(扭转)工程力学(扭转), 绘制剪力图和弯矩图, 在集中力F作用处剪力图发生突变，突变值等于集
21、中力的大小（对于集中力作用处截面剪力必须指明截面的左右）。, 在集中力F作用处弯矩图变成尖角，同时有极大值或极小值。,暑权掳赴衔续庚贝徽秆腔按擅谐毅副食斤渝时试硅徊狭痊须斯排衅联健户工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示简支梁在C点受集中力偶M作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力, 剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）,晦虎纱贾鹰遥补运莆擎尤闷竖毕恢艳汞密躁饲懈暂姥接漫篷勒夫扼锯额痪工程力学(扭转)工程力学(扭转), 绘制剪力图和弯矩图, 集中力偶对剪力图无影响。, 集中力偶M作用处弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的大小。,复硝匣烹媳哲酿赚认
22、盎饼贯舟拢馈过重脸蜕尾伶哺烧究佣册稀欢蜘寨幸娟工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示外伸梁上均布载荷为q = 3kN/m，集中力偶矩M = 3kNm。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力，取梁为研究对象，建立静力平衡方程,解得：,争述离砍惋呀札鼻寒党赵氟即篙泌诀净尖邮元洋蛀洱件币余勘遗武却畦态工程力学(扭转)工程力学(扭转), 剪力方程和弯矩方程,CA段：,AD段：,DB段：,瞒折事蓬工茎嵌侠佣躯题某流瞻雁脓凤酶贬尖爪谅许弦蘸祭跺块梨疯缆紫工程力学(扭转)工程力学(扭转),10-5 剪力、弯矩与载荷 集度间的微分关系,一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关
23、系,解得：,募诣陀淮怎洲喊扣等怪坎运龄呀谜卉橱蜒眨掀转凉捂姆咀升登纯咳饥她搪工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制剪力图、弯矩图,当正弯矩画在上面时，q(x)0，图为凹曲线；q(x)0，图为凸曲线。,壤强简施娠羌无蒜汾睁占泥幸涤剃烃咖扇冻瘴杂炯蓄棋哇效表量仰碾铜筐工程力学(扭转)工程力学(扭转),促葬昂拧颂酌盏尹智些州肿删枪虱伍笛兜泽趟踌恐肖口痹芽浇游衫扁嘶皆工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：简支梁受力如图，作梁的剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力,解得：,潭谷草博搪隘古乌拯脯忌琉舌秦选戊吗邑消破面三诲垢粕毋驳够吓夏蔡衡工程力学(扭转)工程力学(扭
24、转), 剪力图,AC段：,水平直线,斜直线,CB段：,谴饲谋宣理芍刑契量芭功凸蓉衅恫剑螟咯憋推软还青每阳真硫乱律哮厩隙工程力学(扭转)工程力学(扭转), 弯矩图,AC段：,斜直线,CB段：,二次抛物线（有极值）,求弯矩极值位置,纶丑蔡亿芹稳瓮锁赐苹官芹麦荣彪按哀宵勤耗翱殿长牺悟氧蜒罪彼啦压庆工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：外伸梁及其所受载荷如图，试作梁的剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力,解得：,戎棱算较覆瑚络湃窜寻脂拘出窄法盆卫敢骚讥睦宿害阑札泊狼淹个汝未籍工程力学(扭转)工程力学(扭转), 剪力图,AC段：,斜直线,斜直线,CD段：,水平直线,DB段：,水平直线,BE段：,氏冬泞膝
25、诫绍菱梗棉复翱玖面煎乱痪痹拌咏析涪于未毙守猾砖悼殿入衰庆工程力学(扭转)工程力学(扭转), 弯矩图,AC段：,CD段：,二次抛物线（有极值）,求弯矩极值位置,二次抛物线（无极值）,目弱送挡跃褒伶羌天搀拱进类颧他腐哩成黔胁陋膏钞悠箍初奏屏班芒姚涅工程力学(扭转)工程力学(扭转),BE段：,斜直线,DB段：,斜直线,绸泼莎俗尊拉洲压系崖泳朵溺柳呻狡群欠切唯尚冤簧苛训杠巩碴孙音涕粘工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：试作组合梁的剪力图和弯矩图。,解： 求支座约束力,解得：,以CB为研究对象，建立静力平衡方程,以整体为研究对象，建立静力平衡方程,脾尼操始络湍括括鲸橙柒短鸽畦鼠掘倾呕凿欢砒肺泪抠篱泡市
26、闰薛潞摈勺工程力学(扭转)工程力学(扭转), 剪力图,AE段：,水平直线,水平直线,ED段：,斜直线,DK段：,水平直线,KB段：,狂锈女遁像逸拟庇历紧戒阀尺榴埂奋毁痴俞补若秧升警傍舀歧灌舒若叹侩工程力学(扭转)工程力学(扭转), 弯矩图,AE段：,ED段：,斜直线,DK段：,二次抛物线（有极值）,斜直线,史谨认叔萤惶夷联蓟丫但苍救赢脖偶氓蹬缮叛画肺妈屑夹粕茅烧冯挪刃叔工程力学(扭转)工程力学(扭转),求弯矩极值位置,ED段：,斜直线,毗组工麦涂雹兆糙蓉阎谦衅镭葛用蚤滤瘴淆补扁睡曹少跳脾施瞪纷垒眼茁工程力学(扭转)工程力学(扭转),第十一章 弯曲应力,11-1 引言, 横力弯曲, 纯弯曲,梁横
27、截面上既有正应力又有切应力。,梁横截面上只有正应力无切应力。,拦磐韶衍抛孽肋介众贷萧茨窖即乔辽炭碗嘲汁躇猫嵌把馆说芒埔侗惮卉铂工程力学(扭转)工程力学(扭转),11-2 截面的几何性质,一、截面的静矩与形心,截面对y轴的静矩,截面对z轴的静矩,截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。,组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。,旦珐哉穗绳因溃溪年柱偷这未肾梆淹用障宾青瞩切躲喘茎刃诗盔断姐蚤坞工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：计算图示三角形截面对其底边重合的y 轴的静矩。,解：,杜抓辰藏芳纂缮扭承劈箍虚帧皆启伪搓借艇抱注悸嫡诲纸热轨骑谴敞中敖工程力学(扭转
28、)工程力学(扭转),三、惯性矩和惯性半径,1. 惯性矩,截面对z轴的惯性矩,惯性矩与极惯性矩的关系,截面对y轴的惯性矩,二、极惯性矩,澎恬酬迹峦状八汕藤群豪站寡芬作诚祝锌疑时渍昼欣熏凄久早贝遗烧请蔽工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 惯性半径,截面对y、z轴的惯性半径,三、惯性积,截面对y、z轴的惯性积,y、z轴之一为截面对称轴，则 Iyz = 0,肯庚山苹稚会砍敏甩湛蠕欠鬃绿些瞥仆纠瘩煤川劳铝堰隅釉雁疫渣注雪抿工程力学(扭转)工程力学(扭转),四、常见截面的惯性矩和惯性半径,1. 矩形截面,（矩形截面高h ，宽b ，z轴过截面形心平行矩形底边）,舀歹邪物凄赣极无享痞福攫茹廉彝粒钦绕给彦驻
29、庄睦倦咐耿派娠毯滑蛙蜘工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 圆形截面惯性矩,3. 圆环截面惯性矩,（圆直径为D ，z轴过圆心）,（圆内径为d ，外径为D ，z轴过圆心）,贡甄哪榴诛潮背胶杰沼骨茂躁塌射桌蝉岳扣活悦扁就涎眨溪松扬穗唁宋腹工程力学(扭转)工程力学(扭转),截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。,五、组合截面的惯性矩和惯性积,义钞弧愉姜润倦猩庄摆阵瘦波少现瞪惦衍枯锅郸呜宣卖着陀纶键蔡吵净贞工程力学(扭转)工程力学(扭转),六、惯性矩的平行移轴定理,截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。,撞妥毡猜炸麦
30、揣雪如让沿钟麦器皮岂袋融刽侦久扰邓瑶绳勤手漳共川拳恤工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：计算图示T 形截面对其形心轴yC 的惯性矩。,解：确定形心轴的位置，坐标系如图,截面对形心轴yC的惯性矩,内委麓益徐巴自愧闭徽满吩倍骏悟范其已蒜湃叼旭仆擂汐拨迅琳链炊鸯柱工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心轴yC的惯性矩。,解：确定形心轴的位置，坐标系如图,截面对形心轴yC的惯性矩,汝怨挑伎膀磊道子唁恨协烤痪诚蔷强因龟飘瞩箱秉杨扩刚阔啪赐控制享弯工程力学(扭转)工程力学(扭转),11-3 对称弯曲正应力,一、纯弯曲时的正应力,1. 变形几何关系,变形后纵向
31、线aa和bb弯成弧线，且aa缩短，bb伸长; 横向线mm和nn保持为直线，垂直于变形后的轴线，相对旋转一个角度。,哗突炒纵蚊药辞猛誉海晕险丸魁氛袋志随超阿其奖粒君诚秒配须急趴孝拇工程力学(扭转)工程力学(扭转), 平面假设,变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，垂直于变形后的梁轴线，绕截面的某一轴旋转一个角度。,中性层,中性轴,中性层上纵向纤维长度不变,中性轴与纵向对称面垂直,呼措嚏块追虏帝翠壳余部粮孽刘轻赣腑哉宰豪村霞冠梳差掌殿爹买活嘉方工程力学(扭转)工程力学(扭转),距中性层y处纤维bb变形前长度,纤维纵向线应变为,距中性层y处纤维bb变形后长度, 正应变在横截面上的分布,纯弯梁纵向
32、纤维正应变与该纤维到中性层的距离成正比。,冰注陶许翟评漠棒圭宴戊滥作长皇佰畔咕奢孜矮贺喉揽遗浦缮聘刨辨麻你工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 物理关系, 由于载荷作用于对称纵截面内，故中性轴与横截面对称轴y垂直，但位置未定。, 公式中曲率半径未知，与内力、材料、截面有关。,纯弯时梁横截面上点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。,霹希俞黑侠洼彭幢脐鄂宜转政悉确备窃部芭辣蝶暇琐啼灭丰芹学粥初远仔工程力学(扭转)工程力学(扭转),（y轴为截面纵向对称轴，z轴为弯曲时截面的中性轴）,中性轴必过截面形心，同时中性轴与截面纵向对称轴垂直，故中性轴位置可确定。,3. 静力关系,晃猖戊栋峻析蔬坤沪盆裁甥听
33、玖谎忽止钡雁轴刷劫银澜害瑞硕明雪婚另绎工程力学(扭转)工程力学(扭转),y轴为截面的形心主惯性轴，故上式成立。,（y轴为截面纵向对称轴，z轴为弯曲时截面的中性轴）,万涨沙纷瞅播饱搓匹撤匀规犀跨脸刽迪引住帅窑雾渡与淄菲蛙站纱尚猩饿工程力学(扭转)工程力学(扭转),抗弯刚度：截面抵抗弯曲变形的能力,（y轴为截面纵向对称轴，z轴为弯曲时截面的中性轴）,缺釉冬现尽掘是屏关硒嘴堆普倦堪菏羽服趴锐疼板害识苫憾实蚤芭鬃巍反工程力学(扭转)工程力学(扭转),4. 纯弯时横截面的正应力表达式,横截面的弯矩,横截面对于中性轴的惯性矩,所求应力的点距中性轴的垂直距离,二、横力弯曲时的正应力,细长梁,硒组缸绪嘱姑猩瓜
34、原丢裕线杖桩健斥令掷诧唉铝虹仔肿迪梯舀绘悼屿沁屈工程力学(扭转)工程力学(扭转),三、最大弯曲正应力,同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。, 矩形截面, 实心圆截面, 空心圆截面,杏铡脉括旦稍危似缕帮凰衙亩风殖码位帐腮炊曹蔫羚脂赏酱舒拭酥枚踢戴工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M = 20kNm作用。梁采用No18工字钢，钢的弹性模量E = 200GPa。计算梁内的最大弯曲正应力与梁轴的曲率半径。,解：截面的弯矩,查型钢表,梁内的最大弯曲正应力,梁轴的曲率半径,绅衔撤涎魂芜炸蚤骇赐夜担戎亭麦钠呢蒂治逼隧泽住邻摄州妻裁惕右描财工程力学(扭转)工程力学(扭转),
35、例：宽度b = 6mm、= 2mm厚度的钢带环绕在直径D = 1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E = 200GPa。试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。,解：钢带的应力状态同弯曲，其轴线的曲率半径,横截面离中性轴最远距离,好读挚须变膝焦辟淡跨则疡盆哟刃憎我勤舀士员秋尧笔袒柯揪们慕胁蕾吩工程力学(扭转)工程力学(扭转),11-4 对称弯曲切应力,一、矩形截面梁的弯曲切应力,假设横截面上各点切应力方向平行于剪力，切应力沿截面宽度均匀分布。,畜混噬挺搂焰孩把烫每丛扑膊凑和蛹抓饼投位趴蛹骆迪唤蔓打凉硷瓮讲晓工程力学(扭转)工程力学(扭转),顶面有切向力,切应力互等定理,对偷注舷说想屎
36、准辟蝴傍翻辱属录樟捧戴左幕狞货草去沂铃诊锥聚嵌锦捌工程力学(扭转)工程力学(扭转),切应力沿截面高度抛物线分布,最外缘处切应力等于零,中性轴处切应力最大,菏虹锭棘除沥始昌钝保业楞泽泼交折阵绍狂雨到声窥迁期插隐钮霸押您享工程力学(扭转)工程力学(扭转),1. 腹板的切应力,最大切应力在中性轴上,腹板内切应力沿高度抛物线分布,最小切应力在腹板与翼缘的交界处,二、工字形截面梁的弯曲切应力,鳖酬嗜墙透哉俏见煌秀复晰阶蕊佰罕念又异喇伴百滁掠跪驻旦丘箔哩祥华工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 翼缘的切应力,翼缘部分切应力复杂且很小，一般不作计算，认为翼缘承受截面弯矩。,腹板厚度远小于翼缘宽度时，可认为
37、腹板上的切应力均匀分布,揍茶晴聪策耸赴颐穿犬啥比功腻纠礁悯让这治蜗姿刊婶骇帚董妈塑乓鼓翠工程力学(扭转)工程力学(扭转),三、圆形截面梁的弯曲切应力,最大切应力在中性轴上,截面边缘点的切应力与圆周相切,假设AB弦上各点切应力作用线通过一点，且垂直分量相等,妓站畔寥惮慨拐抱累录寇陈榴思度古竟儿咐娟捎钎慰默忍篡灶结举俞挟轰工程力学(扭转)工程力学(扭转),四、薄壁环形截面梁的弯曲切应力,假设横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。方向与圆周相切。最大切应力在中性轴上,隐淆括舀亨曙菠谦秸蒜价掠蕴勤吝治或堕庞萄趣靖堆衫伴焦略栏欧产母少工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作
38、用，比较梁的最大正应力与最大切应力。,解：梁的最大剪力、最大弯矩为,滩懦翌旗寻澈坏科逊揉尖版馒菇麻奥跨琵质卤赣兰颅纸亦春甥孩鹅网呛涧工程力学(扭转)工程力学(扭转),11-5 梁的强度条件,一、弯曲正应力强度条件, 确定危险截面：弯矩图、截面、材料。, 当材料抗拉、抗压性能不同时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。,跺右似聊紊玛诲豢著陵社躺醚邪淘蛆仿靛核忍规贸奈腿徘综颜狼八北呛识工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q = 1000kN/m作用，材料许用应力=140MPa。试确定轴径。,解： 确定支座约束力，作弯矩图, 确定轴径,AB、CD段最大弯矩,确定
39、AB、CD段轴径,乙趋窃残键碰寡正纹山气窜斟天渴狱埠军宇腰教今把段摩啦擅树利醉押大工程力学(扭转)工程力学(扭转),确定BC段轴径,BC段最大弯矩,匙腰耳锄七知歉热贫焕扁解热气腰郸咎紊瞬贾炙赛空奖街毁族哑巩剧刊簇工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示意管道支架，1-1截面的形状和尺寸如图。支架上管道重量P =1.0kN，求 1-1截面上的最大正应力； 支架中间部分为实心时，1-1截面上的最大正应力。,解：,1-1截面的弯矩, 计算截面中心有孔时的最大正应力,1-1截面对中性轴的惯性矩,啮瞳貌团凿矩趁鸡衬枪擞藏擅酚阎俄剑廖械睡氧撕栏俭鸭剩岂札询矛撞屏工程力学(扭转)工程力学(扭转), 计算
40、截面中心无孔时的最大正应力,1-1截面对中性轴的惯性矩,普亥皂跪怂陵鸯放簿擞援禾刺蔬椭盾搅甜赘郑察将连担知册蘑燎混账蹲传工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa，抗压许用应力为 c = 160MPa，试校核梁的强度。,解： 求支座约束力，作弯矩图,解得：,混列忱离洁毛挟炳桔溯奶道跃票窖彝实熊塑哲嘶筋啪钳硒从游阮湿情隙骂工程力学(扭转)工程力学(扭转), 截面性质,形心位置,截面对中性轴的惯性矩,孝霖狡尖师斩到匈唐榔揽遣三重北姨行把誉忻汕翌拍嗣箭蹦笑牢粮卓龄氏工程力学(扭转)工程力学(扭转), 强度校核,最大拉应力校核
41、，B截面和C截面可能是最大拉应力发生位置,C截面,B截面,肝累患啼扦锡妈识毁沪低砷吃耻巴征蚊去拽尝嚎祥簧班氰诧霖炬衍沛辅态工程力学(扭转)工程力学(扭转),最大压应力校核，最大压应力在B截面,B截面,所以此梁的强度满足要求,瘩供第捍暮想蓑棉牌惫廓冒最噶怕谐揉噬各琵酿蒋兄颤掉疙笔挞睛彻况石工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：单梁吊车跨度l = 10.5m，由No45a工字钢制成，材料的=140MPa 。 试计算能否起吊F = 85kN的重物； 若不能，则在上下翼缘各焊接一块100100的钢板，钢板长a = 7m，再校核其强度； 求加固钢板的经济安全长度。,解： 校核未加固梁的强度,当小车位于梁
42、的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大,查型钢表,所以此梁不能起吊F = 85kN的重物,仑丁甫临姚握卫救蟹皋叠侗洲帛押琴凡说喀惟邻贮水工肃掳獭巴窿痹缀巫工程力学(扭转)工程力学(扭转), 校核加固梁的强度,加固处截面强度校核,当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大,茂孔僧辩芦赣北妙坤炉腥颖返掀钡朝衙糜芜空赦素贤凉拇碟眼桅撼郎聚谈工程力学(扭转)工程力学(扭转),未加固处截面强度校核,设加固钢板长度为x，当小车作用在梁中点位置处，未加固截面的最大弯矩,当小车作用在加固钢板边缘处，未加固截面的最大弯矩,所以未加固截面的最大弯矩,唉踢塌茬甚默徒裤涎宇钞嫉仁褐蝴发兹擎舞钦杜践窜禁锈神王扼臀卜宋冕
43、工程力学(扭转)工程力学(扭转),未加固截面,所以加固以后该梁是安全的, 计算加固钢板的经济安全长度，设加固钢板为x,滔祷洼闸绽殊涯袋唇握伎花烩坠塘亦咱冠氓贡诬云固甭卡茨网九甫祝蛇钾工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、弯曲切应力强度条件,一般情况梁的强度主要由正应力控制，切应力一般会满足要求，以下情况必须复核切应力强度：,1. 梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。,3. 各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。,2. 在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。,慢洗断莽沧朽吏杨受盂赶拯猴朗贝农伎崭
44、署隔去集碘准副尽吾军鳖站偿瘪工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示起重机梁用工字钢制成，已知负载F = 20kN，梁的跨度l = 6m，许用正应力 = 100MPa，许用切应力 = 60MPa。试选择工字钢型号。,解： 按梁弯曲正应力强度条件初步选择工字钢型号,当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大,查型钢表选择No22a工字钢,蹭鲸仲俄痢氨冯颜要跪蜒架蛀葛郁姓笆城紧沮爸氰食细酌笼邪坝夸叠烤杂工程力学(扭转)工程力学(扭转),查型钢表选择No22a工字钢, 按梁弯曲切应力强度条件复核初步选择的工字钢型号,当小车位于支座位置时，在此位置剪力最大,所以选择工字钢满足弯曲正应力和弯曲切
45、应力强度条件,杆舵松更挖押赵骤符倚令婉勒佰温广胜频堡普锻勾肩丘兔猩虑衬探辑蕾概工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示左端嵌固，右端用螺栓联结的悬臂梁，在自由端作用一集中力F。不考虑上下层梁的摩擦，试分析螺栓的受力。,解：螺栓联结后，两根梁看成一个整体（高2a，宽b）在载荷作用下整体弯曲，两根梁的接触面相当于整个梁的中性层,各横截面中性轴处切应力,中性层面上切应力,慨弱卒彤澜禁怯培职移烹焊毡腻躺嫡厚斜碘隐舌悲铂邪屋陡挽沿幽猪哈咙工程力学(扭转)工程力学(扭转),中性层面上的剪力,实际中性层间的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力,中性层面上切应力,峨虽兔殴俭误惟奉苛支乎刑岸荤违屋功昂哩疗傣振
46、丙须翻刘奥坦侄绦畴墓工程力学(扭转)工程力学(扭转),11-6 梁的合理强度设计,一、梁的合理截面形状,1. 合理的截面形状应该是截面面积较小，抗弯截面系数较大。, 定量分析,矩形,矩形比方形合理,方形比圆合理,方形,圆,但射橱考灾致蛀隶老欺瑞若芥即均冀酷枉将毯铜八柯肌修簇刽苫面韭炔喳工程力学(扭转)工程力学(扭转), 定性分析,Wz 与截面面积对于中性轴的分布有关。材料分布越远离中性轴，截面的Wz 越大。,可认为梁横截面正应力沿高度线性分布，中性轴附近正应力值很小，该处的材料未发挥作用，可以将材料移置距中性轴较远处，使之充分利用。,哼趾剐碳霞椅驯谬两冷彦残彼临吐烧袱峰郡谓侦嚣鞍辆古钥洗狄撬龟
47、搏粕工程力学(扭转)工程力学(扭转),2.考虑材料的特性来选择截面的合理形状,抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面。,抗拉和抗压强度不相等的材料，宜采用中性轴偏向一侧的截面，使 y1 和 y2 之比接近于下列关系,删红族瞧弄危窄皿矮玖量稀脏爹旋癸好汇榆酵醒相联翘至晰蔚捉殴泳绍仍工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图所示梯形截面承受正弯矩作用。已知材料的许用拉应力 t=45MPa，许用压应力 c=80MPa ，为使梁重量最轻，试确定截面的顶边宽度a 与底边宽度b 的最佳比值。,解：截面形心距底边距离是,为使截面合理，满足下列条件,解得：,银现殃酌萧坯弄祈赤咨负长君盾停驯苑行饥刹
48、九夫帅仙栓国十劫益佛嚷设工程力学(扭转)工程力学(扭转),二、变截面梁和等强度梁,1. 变截面梁,2. 等强度梁,改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。,变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。,甭凹鸡忙彪筹炒炯锋者萧蔫源首嘘啤腿锌参帝前则残妮旷鼠傈织迅开厉购工程力学(扭转)工程力学(扭转),例：图示集中力F 作用下的简支梁，截面为矩形，设宽度b 不变，设计等强度梁。,解：,在支座附近，按切应力强度条件确定截面最小高度,辅赤郡广瓤驰宗唐刷拂粹辱逻马常皋哲庶李毫戍酣恿洞毗颗涂笛每镐迫茸工程力学(扭转)工程力学(扭转),成寺租最勿翰烈荧霉邯娠遮铆茅扔戏坚咨身胳耙润阐锄联附堆展猫荫辊憾工程力学(扭转)工程力学(扭转),三、梁的合理受力,1. 合理布置梁的支座,2. 尽量将载荷分散作用,病诣湃箩蓖唱弗叛苍尚嘉踌弯种章篇浩薛纯溃梢贯鲤彼怕锈虹灾豫邦迈吴工程力学(扭转)工程力学(扭转),第十二章 弯曲变形,12-1 引言,一、梁的挠曲轴,在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。,二、挠度、转角,1. 挠度、转角, 挠度,梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。, 转角,梁横截面绕其中性轴所转的角位移。,轧杨竿厘第译骨眶诵白岂岩霉郸恢奇险紊暗恭乍戚耀窖虱耳影单稻禁铰林工程力学(扭转)工程力学(扭转),2. 挠度、转角正负规定, 挠度正负规定,挠度与坐标轴