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1、课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型【母题一】已知变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的取值范围为()A7，23 B8，23C7，8 D7，25 求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值【解析】画出不
2、等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z2x3y得yx，平移直线yx知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin22317，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax243523【答案】A【母题二】变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围 点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，表示点(x，y)和连线的斜率；x2y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点(x，y)和点(3,2)的距离的平方【解析】(1)由约束条件作出
3、(x，y)的可行域如图所示由解得A由解得C(1,1)由解得B(5,2)zz的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|2z29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是：可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax816z641求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby求这类
4、目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值(2)距离型：形一：如z，z，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z(xa)2(yb)2，zx2y2DxEyF，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方(3)斜率型：形如z，z，z，z，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率【提醒】注意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值1(2014新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10B8C3 D2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经
5、过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大故zmax2528 【答案】B2(2015高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为()A3 B4C18 D40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18【答案】C3(2013高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为()A6B2C0D2【解析】如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(2,2)时，z取得最小值，此时z2(2)2
6、6【答案】A角度二：求非线性目标的最值4(2013高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1C D【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为【解析】C5已知实数x，y满足则z的取值范围 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2的取值范围可转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，1)与(，1)所在直线的斜率为22，点(0,0)与
7、(1，1)所在直线的斜率为1，所以z的取值范围为(，124，)【答案】(，124，)6(2015郑州质检)设实数x，y满足不等式组则x2y2的取值范围是()A1，2 B1，4C，2 D2，4【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界)，x2y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2y2的取值范围是1,4【答案】B7(2013高考北京卷)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0
8、)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为【答案】8设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线3x4y90对称对于1中的任意点A与2中的任意点B，|AB|的最小值等于()A B4C D2【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，解方程组，得点A(1,1)到直线3x4y90的距离d2，则|AB|的最小值为4【答案】B角度三：求线性规划中的参数9若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A BC D【解析】不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D
9、当ykx过点时，所以k【解析】A10(2014高考北京卷)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2C D【解析】D作出线性约束条件的可行域当k0时，如图所示，此时可行域为y轴上方、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k1时，zyx取得最小值2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0时，如图所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线zyx经过点B时，有最小值，即4k【答案】D 11(2014高考安徽卷)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A或1 B2或C2或
10、1 D2或1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，则zA2，zB2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2法二：目标函数zyax可化为yaxz，令l0：yax，平移l0，则当l0AB或l0AC时符合题意，故a1或a2【答案】D 12在约束条件下，当3s5时，目标函数z3x2y的最大值的取值范围是()A6，15B7，15C6，8D7，8【解析】由得，则交点为B(4s,2s4)，y2x4与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为C(0,4)，xys与y轴的交点为C
11、(0，s)作出当s3和s5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示(1)(2)当3s4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7zmax8；当4s5时，可行域是OAC及其内部，此时，zmax8综上所述，可得目标函数z3x2y的最大值的取值范围是7，8【答案】D13(2015通化一模)设x，y满足约束条件若z的最小值为，则a的值为_【解析】1，而表示过点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易知a0，可作出可行域，由题意知的最小值是，即mina1【答案】1角度四：线性规划的实际应用14A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A产品需要在甲
12、机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元【解析】设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z300x400y画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z300x400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax300340021 700故最大利润是1 700元【答案】1 70015某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵
13、需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w5x6y3(100xy)2x3y300(2)约束条件为整理得目标函数为w2x3y300作出可行域如图所示：初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，w有最大值由得最优解为A(50,50)，所以wmax550元所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，
14、伞兵0个时利润最大，最大利润为550元一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)【解析】根据题意知(92a)(1212a)0即(a7)(a24)0，解得7a24【答案】B2(2015临沂检测)若x，y满足约束条件则zxy的最小值是()A3 B0C D3【解析】作出不等式组表示的可行域(如图所示的ABC的边界及内部)平移直线zxy，易知当直线zxy经过点C(0,3)时，目标函数zxy取得最小值，即zmin 3【答案】A3(2015泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标
15、(x，y)满足约束条件则z的最大值为()A2 B1C1 D2【解析】如图作可行域，zx2y，显然在B(0,1)处zmax2【答案】D4已知实数x，y满足：则z2x2y1的取值范围是()A B0，5C D【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x2y10，平移l可知221z222(1)1，即z的取值范围是【答案】D5如果点(1，b)在两条平行直线6x8y10和3x4y50之间，则b应取的整数值为()A2 B1C3D0【解析】由题意知(68b1)(34b5)0，即(b2)0，b2，b应取的整数为1【答案】B6(2014郑州模拟)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,
16、3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A(1，2)B(0，2)C(1，2)D(0，1)【解析】如图，根据题意得C(1，2)作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2z0，b0)过点A(1,1)时取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0，4【答案】B10设动点P(x，y)在区域：上，过点P任作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为()A B2C3 D4【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S2
17、4【答案】D11(2015东北三校联考)变量x，y满足约束条件若使zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()A3,0 B3,1C0,1 D3,0,1【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线zaxy与xy2或3xy14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1或a3，a1或a3【答案】B12(2014新课标全国卷)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3【解析】法一：联立方程解得代入xay7中，解得a3或5，当a5时，zxay的最大值是7；当a3时，zxay的最小值是7法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当a5时，
18、作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分) 图(1) 图(2)由得交点A(3，2)，则目标函数zx5y过A点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除A，C选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)由得交点B(1,2)，则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin1327，满足题意【答案】B13若a0，b0，且当时，恒有axby1，则由点P(a，b)所确定的平面区域的面积是()A BC1 D【解析】因为axby1恒成立，则当x0时，by1恒成立，可得y(b0)恒成立，所以0b1；同理0a1所以由点P(a，b)所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1【答
19、案】C14(2013高考北京卷)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02求得m的取值范围是()ABCD【解析】当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m【答案】C15设不等式组表示的平面区域为D若指数函数yax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A(1，3 B2，3C(1，2 D3，)【解析】平面区域D如图所示要使指数函数yax的图象上
20、存在区域D上的点，所以1a3【解析】A16(2014高考福建卷)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5B29C37D49【解析】由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，amax6a2b2的最大值为621237【解析】C17在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A(，1) B(1，)C(1，1) D(，1)(1，)【解析】已知直线yk(x1)1过定点(1，1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示当直线yk(x1)1位于yx和
21、x1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域所以直线yk(x1)1的斜率的范围为(，1)，即实数k的取值范围是(，1)当直线yk(x1)1与yx平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k1时，也可形成三角形，综上可知k1或k1【答案】D18(2016武邑中学期中)已知实数x，y满足则z2xy的最大值为()A4 B6C8 D10【解析】区域如图所示，目标函数z2xy在点A(3,2)处取得最大值，最大值为8【答案】C19(2016衡水中学期末)当变量x，y满足约束条件时，zx3y的最大值为8，则实数m的值是()A4 B3C2 D1【解析】画出可行域如图所示，目标函数zx3y变形为y，当直线过点C时
22、，z取到最大值，又C(m，m)，所以8m3m，解得m4【答案】A20(2016湖州质检)已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tanAOB的最大值等于()ABC D【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A为(1,2)，B为(2,1)时，tanAOB取得最大值，此时由于tan kBO，tan kAO2，故tanAOBtan ()【解析】C二、填空题21(2014高考安徽卷)不等式组 表示的平面区域的面积为_【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC2(22)4【答案】422(2014高考浙江卷)若实数x，y满足则xy的取值范围是_【解析】
23、作出可行域，如图，作直线xy0，向右上平移，过点B时，xy取得最小值，过点A时取得最大值由B(1,0)，A(2,1)得(xy)min1，(xy)max3所以1xy3【答案】1,323(2015重庆一诊)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax 3224【答案】424已知实数x，y满足则wx2y24x4y8的最小值为_【解析】目标函数wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方由实数x，y所满足的不等式组作出可
24、行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线xy10的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又，所以wmin【答案】25在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线xy20的垂线段长是|OM|的最小值，|OM|min【答案】26(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是_
25、万元【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，由题意知利润z5x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x3，y4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元【答案】2727某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为_亩【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z(0.554x1
26、.2x)(0.36y0.9y)x0.9y线性约束条件为即画出可行域，如图所示作出直线l0：x09y0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由解得A(30,20)【答案】3028(2015日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_【解析】平面区域A如图所示，所求面积为S222【答案】29(2014高考浙江卷)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a所以a的取值范围是1a【答案】30(2015石家庄二检
27、)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为_【解析】由目标函数zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kxy0的倾斜角为120，于是有ktan 120，所以k【答案】31设m1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围 【解析】变换目标函数为yx，由于m1，所以10，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线yx在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A处取得最大值，由ymx，xy1，得A，所以
28、目标函数的最大值zmax2，所以m22m10，解得1m1，故m的取值范围是(1,1)【答案】(1,1)32已知实数x，y满足若目标函数zxy的最小值的取值范围是2，1，则目标函数的最大值的取值范围是_【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为yxz，当z最小时，直线yxz在y轴上的截距最大当z的最小值为1，即直线为yx1时，联立方程可得此时点A的坐标为(2,3)，此时m235；当z的最小值为2，即直线为yx2时，联立方程可得此时点A的坐标是(3,5)，此时m358故m的取值范围是5,8目标函数zxy的最大值在点B(m1,1)处取得，即zmaxm11m2，故目标
29、函数的最大值的取值范围是3,6【答案】3,633(2013高考广东卷)给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线xy4上，故T中的点共确定6条不同的直线【答案】634(2011湖北改编)已知
30、向量a(xz,3)，b(2，yz)，且ab若x，y满足不等式|x|y|1，则z的取值范围为_【解析】a(xz,3)，b(2，yz)，且ab，ab2(xz)3(yz)0，即2x3yz0又|x|y|1表示的区域为图中阴影部分，当2x3yz0过点B(0，1)时，zmin3，当2x3yz0过点A(0,1)时，zmin3 z3,3【答案】3,335(2016衡水中学模拟)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m_【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx，若m0，则0，由数形结合知，使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1综上可知，m1【答案】1