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1、课程设计说明书课程名称: 数值计算与算法设计课程设计题 目: 导弹追踪微分方程模型的数值解法 院 系： 理学院 专业班级：应用数学2005-2学 号： 200513794 学生姓名： 储素霞指导教师： 许 峰2008 年 7月 11日安徽理工大学课程设计任务书 理 学 院 数学 系学 号200513794姓名储素霞专业班级 应用数学2005-2设计题目导弹追踪微分方程模型的数值解法任务起至时间2008年7月6日至2008年7月11日设计要求及任务总述1. 逐步掌握用微积分和微分方程知识建立微分方程模型的技能；2. 进一步熟悉解微分方程的Euler方法、改进的Euler方法和Runge- Kut
2、ta方法；3. 提高应用编程工具和数学软件实现数值算法的能力。工作计划及安排7月6日 问题分析7月7日7月8日 模型建立与算法设计7月9日7月10日 程序的编制与调试7月11日 结果分析、撰写设计报告参考资料1 关治, 陆金甫. 数值分析基础, 高等教育出版社, 北京, 2002. 2 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析, 华中科大出版社, 武汉, 2005. 3 王高雄, 周之铭. 常微分方程, 高等教育出版社, 北京, 2006. 4 何青, 王丽芬. Maple教程, 科学出版社, 北京, 2006.指导教师签字系主任签字 2008年7月6日 学生姓名： 储素霞 学号： 200513
3、794 专业班级： 应用数学2005-2 课程设计题目： 导弹追踪微分方程模型的数值解法 指导教师评语： 成绩： 指导教师： 2008年7月12 日安徽理工大学课程设计成绩评定表目 录一、问题及分析1二、模型的建立1三、算法的设计31、解析方法32、数值方法43、仿真方法5四、程序及结果分析81、解析方法82、数值方法83、仿真方法10设计总结13参考文献14导弹追踪问题及其求解一、问题及分析某军导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌舰一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该导弹基地立即发射一枚导弹跟踪追击敌舰，导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰。试问导弹
4、在何时何处击中敌舰？二、模型的建立如图建立坐标系，取导弹基地为原点，轴指向正东方，轴指向正北方。当时，导弹位于点，敌舰位于点，其中。设导弹在时刻的位置为，由题意 (1)其中。在时刻，敌舰位于处，其中。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有或 (2)方程(1)、(2)连同初值条件 (3)构成了一个关于时间变量的一阶常微分方程组的初值问题。为了获得与的关系，要设法消去变量，由(2)式得两边对求导得，即将上式与(1)式合并，再加上初值条件，则得如下初值问题这就是导弹轨迹的数学模型。三、算法的设计1、解析方法模型中的二阶方程可以降阶。令，记，则方程可降为
5、一阶可分离变量方程即易得由初值条件，得，从而注意到上式可改写为于是有这样我们又得到一个可分离变量方程积分得利用，得，从而导弹轨迹方程为设导弹击中敌舰于，以代入上式，得击中敌舰的时刻为代入具体数据得2、数值方法可以用数值分析中介绍的Euler公式、改进的Euler公式和四阶Runge-Kutta公式来求解上述初值问题。(1) Euler公式将在上积分，得，用数值积分法求。(1)，得 Euler公式(2)，得 后退的Euler公式(3)，得 梯形公式（隐式）(2) 改进的Euler公式Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。，称为改进的Euler公式
6、，上式也可写为 。(3) 四阶Runge-Kutta方法三阶Runge-Kutta方法较少使用，仿二阶Runge-Kutta方法，可得四阶Runge-Kutta公式，经典的四阶Runge-Kutta公式为。特点：单步、自开始；精度高，误差为，四阶；数值稳定；要计算四次函数值；对解的光滑性要求高。3、仿真方法如果建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而难以做出数值处理，常常可以用仿真方法。所谓仿真方法，顾名思义，指的是模仿真实事件行为和过程的方法。在这个具体问题中，就是一步步地模拟导弹追踪敌舰的实际过程。而计算机仿真，则是在计算机上通过相应的程序和软件来实现对事件运行的实际过程的模拟。设导弹和敌
7、舰在初始时刻分别位于和，此时，导弹指向。在时，导弹位置为，其中，敌舰位置为。这时导弹沿方向飞行，的倾角为。在时，导弹的位置为，其中此时敌舰位置为，导弹沿方向飞行。一般地，时，导弹位置为，敌舰位置为，导弹沿方向飞行，的倾角为从而时，导弹位置为，敌舰位置为，其中当时，仿真停止，取。如果发射导弹时，敌舰立即由仪器觉察。假定敌舰为一高速快艇，它即刻以135km/h的速度与导弹方向成一夹角逃逸，问导弹何时何地击中敌舰？根据计算结果，你能否指出敌舰与导弹方向成何夹角逃逸才好？（用仿真方法计算）设逃逸方向与导弹速度方向夹角为，如图建立坐标系。考虑到舰艇的体积，我们认为当导弹坐标点与舰艇坐标点距离小于一米时击
8、中舰艇。x0MkyHPkB导弹的坐标为，舰艇的坐标为。在时，。为导弹飞行方向。在时，。导弹的位置为，其中此时敌舰位置为，导弹沿方向飞行。一般地，时，导弹位置为，敌舰位置为，导弹沿方向飞行，的倾角为从而时，导弹位置为，敌舰位置为，其中当（取足够小的数,如0.03）时，仿真停止.四、程序及结果分析1、解析方法 由前面分析可知，导弹的运行轨迹方程是，设导弹击中敌舰于，以代入上式，得击中敌舰时的位置 击中敌舰的时刻为 代入具体数据、得 2、数值方法由于Euler公式、改进的Euler公式和四阶Runge-Kutta公式只能用来求解一阶常微分方程的初值问题，而该问题是二阶微分方程，所以先对其降阶，如前所
9、述有其中 Euler公式求解C语言程序：/运行环境：Visual C+ 6.0# includestdio.h# includemath.h# define v1 450.0# define v2 90.0# define H 120.0double f(double y)return 0.5*(pow(H/(H-y),(v2/v1)-pow(H-y)/H),(v2/v1);double xn(double y)double h=0.05;if(y restart:H:=120: v1:=450: v2:=90: tao:=0.001:x:=0: y:=v1*tao:k:=1:while yk
10、 restart:with(plots):H:=120: v1:=450: v2:=90: lambda:=v2/v1:x:=(y,t)-1/2*(H-y)(lambda+1)/(Hlambda*(lambda+1)-Hlambda*(H-y)(1-lambda)/(1-lambda) +lambda*H/(1-lambda2):F:=animate(25*x*t,120,x=0.1,t=0.1,frames=100,thickness=5):G:=animate(x(y*t,t),y*t,y=0.125,t=0.1,frames=100,thickness=5):display(F,G);附
11、加问题的Maple程序 restart:with(plots):H:=120: v1:=450: v2:=135: tao:=0.0001: theta:=Pi/4.: C1:=evalf(cos(theta): S1:=evalf(sin(theta):xd:=0: yd:=v1*tao: xj:=v2*tao*S1: yj:=v2*tao*C1+H:L1:=xd1,yd1: L2:=xj1,yj1: k:=1:d:=sqrt(xdk-xjk)2+(ydk-yjk)2):while d0.03 do C:=(xjk-xdk)/sqrt(xjk-xdk)2+(yjk-ydk)2): S:=(y
12、jk-ydk)/sqrt(xjk-xdk)2+(yjk-ydk)2): xd:=op(xd),xdk+v1*tao*C: yd:=op(yd),ydk+v1*tao*S: xj:=op(xj),xjk+v2*tao*(C*C1+S*S1): yj:=op(yj),yjk+v2*tao*(S*C1-C*S1): L1:=op(L1),xdk,ydk: L2:=op(L2),xjk,yjk: k:=k+1: d:=sqrt(xdk-xjk)2+(ydk-yjk)2):od: xdk,ydk;k*tao*60;F:=plot(L1):G:=plot(L2):display(F,G);运行结果： 设计
13、总结数学从生活中来，到生活中去，指导着人们的生活。数值分析课程，是一门高度实用的课程，对许多现实中的应用问题，结合数值分析方法，借助相关的数学应用软件，可以很完美而形象的诠释出来，这点在军事及工业生产中的应用尤为突出，我们这次设计的导弹追踪问题，就是一个数值计算的经典应用。此次，是我们第二次课程设计，感觉到操作起来比以前成熟多了，同时也是一个考验，它涉及到很多科目的综合应用。一个星期的工作量，结束的本次课程设计，我知道了如何分步解决问题，分配时间，学会了对大的复杂的问题的处理方式和方法，使我巩固了前次课程设计的经验，加深了课程设计的印象，这对我们以后的毕业设计会有很深的指导意义。谢谢指导老师教导，对我们的详细讲授及悉心的指导，是此次我们完成课程设计的关键，谢谢，关心和帮助我的人。我会更加努力更加认真的对待以后的学习和工作。参考文献1 关治, 陆金甫. 数值分析基础, 高等教育出版社, 北京, 2002.2 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析, 华中科大出版社, 武汉, 2005.3 王高雄, 周之铭. 常微分方程, 高等教育出版社, 北京, 2006.4 何青, 王丽芬. Maple教程, 科学出版社, 北京, 2006.