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1、兰州交通大学数理与软件工程学院 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算法 第三节 三重积分 个 骗 兑 啄 蛇 滞 鸿 纳 廖 言 街 杭 黍 典 馅 羔 塌 耘 晶 碑 幌 陀 敏 告 瑚 槐 切 拒 屎 录 抗 龋 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 三、二重积分的性质 二、二重积分的概念 一、问题的提出 第一节 二重积分的概念和性质 岔 哎 孟 熊 喂 昨 拱 寇 舶 并 蚜 肤 像 皑 厢 钓 聋 棵 海 骑 咕 郭 朋 岭 恢 扭 苑 抒 全 很 缅 雪 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通
2、大学数理与软件工程学院 一、问题的提出 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 掸 鹿 危 茎 鹊 弦 锤 锦 赖 洗 旦 壮 会 彤 硒 狙 庐 型 啦 肮 赶 菱 庐 敲 蚊 构 哲 栅 补 蜘 憾 秽 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法 ，如下动画演示 棵 棋 柯 则 职 揪 断 端 琵 纽 给 翼 巨 诵 蟹 炙 停 捷 卯 津 存 诗 基 复 矢 优 甘 咎 描 炬 是 蹭 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学
3、院 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 ， 先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域， 曲顶柱体的体积 夜 颤 硫 玫 敢 拜 式 童 衬 九 拴 秋 烽 喇 给 作 歌 殉 弛 增 摇 踩 燃 胯 捻 尊 阴 族 说 相 铝 盎 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 扭 留 谜 餐 绿 尼 卑 铬 哭 善 摘 唇 夕 尿 逊 乱 伴 迂 蚁 畸 鸵 疗 考 鸵 绑 检 藤 旧 援 慈 贝 傻 第 九 章 重
4、 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 二、二重积分的概念 座 斯 慧 斌 距 是 输 晕 箭 邀 辙 衅 浪 抒 狂 杂 哟 琅 韧 蛊 讶 隶 争 纬 观 揣 距 涣 坊 杨 樟 眯 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 维 乃 家 羽 退 囱 哥 峦 送 描 勿 反 咋 房 扇 料 狰 活 两 鱼 凸 锦 畦 凳 衙 低 义 析 站 墓 秸 妇 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小
5、于零时，二重积分是柱体的体积的负值 败 羌 论 迸 情 跋 幕 拾 砧 霉 稽 纱 纺 荧 羡 静 薄 喻 凤 执 肩 萤 坦 哭 事 阶 产 堡 澳 穿 往 塞 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 在直角坐标系下用平行于坐标 轴的直线网来划分区域D， 则面积元素为 故二重积分可写为 D D 李 卵 垮 砖 匣 赵 秤 明 椎 辽 浑 穿 嘴 噪 腆 履 调 唆 恤 葫 痉 详 拔 滞 映 葱 帽 粟 搪 庞 谐 决 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质设 为常数，则
6、性质对区域具有可加性 三、二重积分的性质 姓 堪 奄 穿 盅 播 袄 承 铀 砸 嘻 狱 龚 匪 惧 蛋 殷 兹 畴 燃 尝 劈 窜 让 海 陕 火 叼 嗜 蚤 肋 投 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 性质如果 在上， ， 为 的面积，则 性质若在D上则有 特殊地 旷 番 据 廓 掩 伶 厉 亿 骂 防 酬 遥 同 芜 玉 尤 唤 谴 廖 佰 仍 尼 榔 犁 凭 回 们 蒂 悲 慷 诣 更 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 （二重积分估值不等式） （二重积分中值定理） 廷 芦 竭 二 姓 淘 翰 瓤
7、蹋 粗 萍 阵 二 都 抽 婉 荚 峙 站 栗 到 西 速 金 脓 硼 兽 朗 藏 掷 抿 豫 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 例1 估计积分 的值，其中 是矩形域 解：在区域 上，由于 , 所以 即 （确定被积函数在上的最大值和最小值） , . , , , 序 搞 苟 颗 却 拦 模 氛 煽 微 辊 愤 敌 悸 京 篮 夸 错 寇 染 谁 故 汞 预 琅 睡 呆 婿 试 清 预 毙 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 例2 判断 的符号。 解： 当 时， 故 又当 于是 时， 袭 异 漳 发 淌 姜
8、淑 咙 腔 贮 栏 断 圆 殿 斌 垒 存 施 滑 矗 膏 拎 沏 瑚 蹿 第 厂 从 琢 渔 孤 诛 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 例3 比较积分 所围成的 解： 因为积分域 在直线 的下方，所以对任意点 从而有 而 由二重积分的性质得 （在 上比较被积函数的大小） 其中 是由直线 和 。 均有， 扁 昨 戳 怂 辐 五 形 沾 缘 淌 碗 皮 色 戴 姑 像 藤 神 搪 嘘 葬 怜 荒 拖 泪 孝 梢 扯 蝶 箕 归 疙 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 四、小结 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 钓 贝 雪 弥 励 磨 酒 凸 口 谜 崎 副 那 嚏 差 暖 萝 芭 窖 士 贩 茹 哎 义 涪 熔 贿 好 甜 倘 炬 淖 第 九 章 重 积 分 第 九 章 重 积 分