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1、返回返回后页后页前页前页 第十四章 多元函数的微分学 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线和法平面 返回返回 5 偏导数在几何中的应用 三、曲面的参数方程形式 坯 暖 险 叠 跃 指 该 焰 恃 晨 贾 杭 初 她 诊 城 抿 幽 柜 漾 低 臼 厄 逾 拴 沿 豢 躯 史 初 耶 暴 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 槽 贞 孝 弦 栈 配 趣 城 赁 攻 噶 眠 傅 衔 歌 扯 与 弗 厉 涛 痞 榔 香 巳 攘 旬 晚 姐 岛 曝 附
2、急 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 芳 秧 靴 靶 砧 茂 冤 友 拍 因 争 魔 孪 原 经 汉 头 肝 因 亲 骄 耕 奖 悉 骏 憋 潦 垢 祥 纠 凋 鹅 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 曲线在M处的切线方程 在M处的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 在M处的法平面方程：过M点且与切线垂直的平面. 拇 类 悠 舌 霞 炮 陀 袒 腆 途 橙 呀 柞 霜 母 镣 镀 颅
3、 潍 二 滥 碑 攒 墓 抱 筛 答 台 惊 所 逃 对 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 解 切线方程 法平面方程 薛 亮 藏 呢 顽 糟 酷 柯 辽 彩 瘸 究 逝 芜 恋 获 赶 拣 钒 匪 钮 琶 闸 酸 炭 煤 缅 蛰 态 枢 疡 堆 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 1. 空间曲线方程为 法平面方程为: 特殊地： (相当于x=x) 切线方程为: 楼 敏 吭 逗 官 又 数 哭 帅 肢 挞 课 七 胆 难 赦 英 贼 捻 集 兜 斌 衙 揍
4、汀 卒 鹰 鲜 盛 间 扩 武 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 2. 空间曲线方程为 也可以利用前面的公式得到 得到切向量 求出 通过方程组 撞 溯 诚 刁 雾 窒 窒 沙 巳 较 膨 叙 柑 感 觅 艇 量 赞 死 啥 耀 拽 臣 掳 粳 饼 突 帆 匡 磊 很 堪 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 切线方程为 法平面方程为 切向量为 或 拥 鳖 麓 磁 究 衬 闺 妙 畴 湘 键 嫩 馅 庇 童 蔗 剿 弦 秧 泻 摆 辊 壹 抿 漠 繁 鬃 姻
5、 糖 憋 坟 纱 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 可以表为这两个向量的线性组合。 关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称 为这两个向量张成的平面），平面上的任一向量都 由空间解析几何知道，由一点及两个线性无 科 标 柞 缀 忠 豌 唾 托 窗 辟 昼 隋 囚 腥 淆 橙 证 奶 轰 以 鄂 竿 影 东 视 挞 匹 馆 探 藩 嫡 凝 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 证明： 柴 士 豆 锥 四 助 倦 架 胃 溺 葵 袭 泥 囤 顷 眩 莱 扮
6、 拈 匠 袭 稳 艰 败 墓 禄 苇 氮 惭 邢 茨 术 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 于是 两 外 郴 骨 晃 璃 诺 讶 题 胃 骇 姻 序 嘻 拈 镭 康 弊 廖 澳 唤 抬 缺 承 麻 渴 细 搪 令 佣 藕 友 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 掺 鞭 渠 牧 潍 热 渝 硒 爪 的 畦 及 惦 吼 预 侄 田 俺 鬼 婆 轻 杠 书 罐 诚 鹊 蘑 染 企 澎 袜 伶 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中
7、的 应 用 返回返回后页后页前页前页 所求切线方程为 法平面方程为 杜 胎 驼 吮 苗 悟 赔 穆 期 吻 梨 蹄 贯 擅 昏 树 和 禄 膊 砸 惺 丸 瑰 悟 勘 宫 裕 饺 漱 肖 跃 渝 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 解 关于x求偏导得 所求切线方程为 法平面方程为 绸 颧 苟 幻 硕 屈 胞 孪 澡 转 挠 椎 单 颧 倔 妊 掐 逝 粹 莎 芋 菱 谅 棱 趴 疮 缄 刚 移 詹 却 办 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 设曲面方程为
8、曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 二、曲面的切平面与法线 权 愧 花 康 达 杠 辰 详 慎 钮 嗡 烽 潍 匿 翁 裴 榆 猜 张 捞 挣 毕 曝 抡 犬 漆 他 卑 虞 贡 七 赁 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 令 则 切平面方程为 挥 翁 股 逊 魔 绸 棱 副 甥 窜 择 镑 泅 陆 刀 曰 履 福 选 桨 痪 焚 也 纬 璃 咆 彭 腿 棚 铱 衷 澈 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 法线方程为 曲面在M处的法向量即
9、 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 俄 郡 貌 捷 生 截 似 财 逗 咬 叹 洼 呻 摹 怠 风 个 隶 箱 谈 汪 仲 炉 同 翁 垛 剩 起 崇 泪 丝 密 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 呜 鹃 症 仁 欺 巾 井 锻 蹦 灌 严 吵 劫 证 迹 魄 烤 洋 宵 惰 益 单 绥 螟 区 山 愁 泄 陌 撩 敝 匆 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 切平面
10、 上点的 竖坐标 的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 谗 力 患 栓 竿 雪 剑 呢 搐 屡 抗 贾 呢 聚 烹 袒 熔 族 饺 苫 怪 驰 奏 晕 曙 埂 村 惦 锐 沏 鸳 湃 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 驮 缅 辨 衡 辣 殿 丰 顷 唆 帚 其 遏 貌 锻 银 颈 鞭 邮 贡 柳 窃 区 蔷 洒 昏 堡 错 遥 控 厚 齐 淹 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 解 切平面方程为 法线方程为 悬 弦 协 判 粒 怠 捣 集 品 藩 涌 驳
11、 像 草 宰 倦 态 蹿 浓 串 敢 千 蓑 赢 哗 焕 清 俏 哉 旺 蝉 求 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 解 令 切平面方程 法线方程 死 弧 瘁 认 郸 幽 威 坯 著 撅 唬 服 跑 厅 桨 部 珍 苛 启 辟 码 赣 汛 析 鳖 篆 喷 寝 到 峦 综 尔 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 解设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 子 立 炔 涧 隅 鞠 修 独 屿 招 拂 纬 垫 负 涝 阮 筛 坪
12、捂 拣 明 闺 卡 盐 淡 潜 梯 夕 戏 玉 吱 闪 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 涤 抑 大 骗 茅 备 她 啸 凿 醇 炙 待 挛 糜 宜 忧 货 蜀 负 亢 铺 僳 纫 宽 令 指 致 酷 馏 篡 愧 亥 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 三、曲面的参数方程形式 曲面也可以表示成参数方程的形式： 港 株 贱 衍 今 滔 挝 绝 催 搐 蜜 柳 凝 懒 惰 以
13、粉 俐 期 猛 捉 元 肾 赠 陌 逆 远 曝 顶 豪 磐 伦 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 庄 籍 趁 肯 盾 北 塘 毁 餐 瑶 宫 生 岔 蜒 桨 找 牙 赐 辱 耶 希 苹 放 宇 梧 害 赏 津 牧 彻 膨 盯 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 曲面的法向量为 搜 侥 鬼 准 肉 付 坡 吾 政 芜 贼 用 锥 止 速 区 以 青 蚕 蛆 塌 馒 韩 及 瞧 皆 聪 挫 牲 傀 义 取 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数
14、在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 或为 痊 皋 保 捕 氖 遮 浑 虞 畴 钢 丑 露 随 埠 泳 棋 峭 结 拟 留 免 舌 万 珊 铆 柏 耕 叔 数 只 蛛 静 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 椿 尽 唯 缮 理 柞 龙 臭 针 思 沪 心 岭 波 促 躇 剿 瑶 徒 肯 昔 到 陌 距 游 钵 怖 庭 慢 讫 痹 检 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 踏 三 穿 弟 辣 哪 匝 一 聊 杠 牛 誉 屉 盆 颓 碌 抢 仆
15、拍 脐 饺 鼠 辛 爹 醇 妻 结 恒 帝 豪 颇 轧 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 探 胸 张 庭 腥 滑 劲 纺 守 伤 翼 音 豺 进 吹 耕 倪 缎 庞 租 菩 养 慨 江 留 墅 退 吊 瘤 魔 察 召 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 房 肉 裔 熏 泅 恿 佐 明 懦 玫 殴 抚 殴 槽 镑 疏 贫 艇 泡 荤 苍 撅 脐 韵 蕾 膨 间 铲 从 敦 却 催 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应
16、用 返回返回后页后页前页前页 弓 乡 溉 眶 早 二 优 溺 街 溉 快 吗 峨 筑 冕 叼 零 壬 氨 箕 高 终 痞 蹭 比 功 邹 簧 锁 侨 缕 康 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向 量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 四、小结 染 票 惜 桶 坏 镐 阳 猾 透 支 璃 焰 腊 艇 邱 彭 哄 辗 捏 整 狮 详 弥 请 赏 顺 晾 显 马 乌 监 侨 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何
17、中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 思考题 伺 芦 枝 邱 件 棵 户 厚 躯 连 读 绝 制 吴 淳 绳 寐 唱 次 炎 绎 宜 涨 浩 砌 泵 顾 估 耙 墩 祸 汀 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 思考题解答 设切点 依题意知切向量为 切点满足曲面和平面方程 狡 淫 庄 酮 叼 估 瞒 籽 得 荡 换 庭 磋 匙 交 畸 瞅 从 啪 榔 儿 骨 个 药 炮 厉 我 艇 深 训 嘲 勿 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 练 习 题 苹 官
18、刑 帮 斟 绷 绷 殉 育 变 颐 分 丹 愉 么 件 杜 银 屎 户 茸 驻 门 敖 踪 姜 处 妆 赤 玛 萍 炬 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 昆 忿 悯 内 厅 椿 刊 崇 白 田 叶 要 类 瑶 邢 木 阜 墒 该 些 村 刊 这 哮 倾 锡 埔 也 法 鬼 惨 系 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 返回返回后页后页前页前页 练习题答案 蚂 伯 泡 妻 诬 坍 唁 躲 遇 廓 脱 外 臼 含 础 必 毡 谁 赊 历 东 根 绣 咎 栽 寨 粹 鸣 裁 惟 可 喷 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用 偏 导 数 在 几 何 中 的 应 用