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1、求数列通项公式的常用方法类型1、解法：利用与消去 或与消去进行求解。例 1 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ ， ， ，又，.变式1. 已知数列中，前项和与的关系是 ，求变式2. 已知数列的前项和为，且满足求数列的通项公式变式3. 已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列的通项公式；变式4. 数列的前项和为，求数列的通项变式5. 已知数列的前项和为，且满足求数列的通项公式；变式6. 已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列 （2）若，求的前n项和的最小值类型2、型（其中为常数，）解：设 比较系数： 是等比数列，公比为，首项为 例1 已知数列中,
2、,求的通项公式.【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,变式1.已知数的递推关系为，且求通项类型3、型，（可求前项和），利用求通项公式的方法称为累加法。例1.已知的首项，（）求通项公式。解： 变式1.已知数列满足，求数列的通项公式。变式2. 已知数列满足，求数列的通项公式。变式3. 已知数列中, ,求数列的通项公式.变式4. 已知数列满足，求的通项公式。类型4 型解：可设 解得：， 是以为首项，为公比的等比数列 将A、B代入即可例1. 已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 类型5 型 （）等式两边同时除以得令 则 可归为型例1. 已知中，（）
3、求。由得 成等差数列， 类型6 （为常数，下同）型， 可化为的形式.例1.在数列中，,求通项公式解：原递推式可化为： 比较系数得，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.变式1. 已知数列满足，求数列的通项公式。变式2. 已知数列满足，求数列的通项公式。变式3. 已知数列满足，求数列的通项公式。类型7、型。（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法。例1：已知：，（）求数列的通项。解： 变式1. 已知,求数列通项公式.变式2. （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。变式3. 已知数列满足，求。变式4.
4、已知中，且求数列通项公式。类型8、 取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.例1 已知数列中, ,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得: ,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.例2 已知中，（）求。 解： （） （）设即 是等差数列 例3. 已知数列an满足：a1，且an 求数列an的通项公式；解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得（n1）变式1.已知数列中且（），求数列的通项公式。变式2.数列中，变式3.在数列中， =1, ，求的表达式。变式4. 数列中，求的通项。变式5. 已知中，其前项和与满足（）（1） 求证：为等差数列 （2）求的通项公式类型9
5、、（其中p，q均为常数）。 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，（1）当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；（2）当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。3、 型，可化为 的形式。例11 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.例1 数列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故变式1. 已知数列中，,，求。变式2. 已知数列满足求数列的通项公式；类型10 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例1 已知数列中，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：变式1. 【2002年上海高考题】若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是= 类型11周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例1若数列满足，若，则的值为_。变式【2005湖南文5】已知数列满足，则=（)A0BCD类型12平方（开方）法【例1】 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。