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1、二、概率解题方法浅析1、引言概率论是研究随机现象的统计规律性的数学学科。因为它兼具理论性和应用性特征，概率论已成为研究自然现象和社会现象的有力工具。然而，由于其本身具有的特点，往往给初学者带来困难，使他们常常感到理论好学、题难做。因此，总结概率论的思维方法和解题技巧，对于帮助大家克服学习中的困难，培养综合运用知识解决问题的能力是大有裨益的。本文选取典型例题，介绍了相应的3种求解概率的方法，有关的注意事项及适用范围也作了一一说明。2、概率解题方法浅析2.1 古典概率的计算 （1）基本思维模式 关于古典概率的计算，虽然有公式可循，但该公式本身并没有提供对某一具体问题求出n、k的任何具体方法。因此，
2、“具体情况具体分析”所呈现出来的灵活性往往让人深感困惑。但事实上，它们也不是无规律可循，其“思维框架”遵循一定的模式：问题所涉及的随机实验是什么？实验的基本结果是什么？互斥否？等可能否？样本空间如何确定？如何根据题设条件去区分两个不同的基本事件？在能区分不同基本事件的前提下，分析基本事件的数学结构。如果可能，可作图形象表达，以求n。所关心的事件是什么？如何由基本事件所构造？如果可能，可作图形象表达其数学结构，或者是解剖事件而化整为零，或反面思考间接处理，以求k。例：某年级有n个人（n365），问至少有两人的生日在同一天的概率有多大？试验：对人数为n的年级进行生日调查。实验的基本结构：n个人生日
3、的一种具体分布的等可能性。基本事件的数学结构构造性处理：把365天设想当作365个房间，然后按n个人的生日“对号入室”。基本结果总数：n个人安排进这365个“房间”的所有可能的不同方法数，即从365个元素中每次取出n个允许重复的排列种数365n。所关心的事件 该事件较为复杂，不妨考虑其逆事件结构：=任意两个人的生日不在同一天=个人的生日全不相同=恰有n个“房”，其中各住一“人”=365个不同元素，每次任取个依一定顺序排成一列。这样就抓住了事件的数学结构本质，从而知对有利的事件数为总之，一抓样本空间的确定，二抓事件的构造性处理与典型数学问题挂钩，再针对具体的数学结构，采用相应数学工具完成n、k的
4、计算。（2）对称性方法求解的功用与注意所谓对称的两个事件，是指二者的结构完全一致，完全处于对称、平等的位置，因而两对称事件发生的可能性大小应该相同，从而在相应问题的求解中，通过对称性判断可获得一个独立求解条件。因此在古典概率计算中，能注意到某些事件之间的对称性，无疑对产生简洁的思路、简便的计算上是大有好处的。例 甲乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次，求“甲掷出正面次数大于乙掷出正面次数”的概率。试验：甲掷硬币n+1次，乙掷硬币n次。试验的基本结构：甲、乙掷出结果情况的一个排列。记：甲正=甲掷出的正面次数 甲反=甲掷出的反面次数 乙正=乙掷出的正面次数乙反=乙掷出的反面次数若直接按古典
5、概率的公式求P（甲正乙正）较为复杂，故从反面考虑：由硬币的均匀性，投掷的随机性，事件（甲正乙正）与事件（甲反乙反）完全处于对称、平等的位置上，相应概率相等。即：所以 此题巧用对称性，使繁杂问题迎刃而解。但此题得通过（*）式判明事件(甲正乙正)与事件件（甲反乙反）互逆，才能运用对称性。初学者往往抓住了“对称性”的一面，而易于忽视互逆或其它关系判断的重要性。请看下面的一道反例。例：甲、乙两人投掷均匀硬币，其中甲掷n+2次，乙掷n次，求“甲掷出正面次数大于乙掷出正面次数”这一事件的概率。由对称性：P（甲正乙正）=P（甲反乙反） （1）又有（甲正乙正）=（甲正乙正）=（甲反乙反） （2）由（1）及（2
6、）式可得 P（甲正乙正）=但遣憾的是，此结果错误。原因何在呢？不防以甲掷（2+2）次，乙掷2次为例，先考罕（甲正乙正）的结构：甲正乙正正反反反反反 相应概率：正正反反相应概率：正正正反相应概率：正正正正相应概率：所以 P（甲正乙正）=其实，错误的原因不在（1）式。因为事件（甲正乙正）与（甲正乙反）完全处于对称平等的位置，同理可算出P（甲反乙反）完全处于对称平等的位置，同理可算出P（甲反乙反）完全处于对称平等的位置，同理可算出P（甲反乙反）。因此只能从（2）式在一般情况下是否成立去寻找。仍以甲掷2+2，乙掷2次为例。因为正反反反反反即有利于事件（甲正乙正），又有利于事件（甲反乙反）。所以有。此时
7、（甲正乙正）（甲反乙反），二者仅有“对称性”关系而无互逆关系。综上所述：对称性条件的应用，使得古典概率的计算颇为方便，但需注意事件间的对称性虽然是客观存在，却并非显而易见，还得靠我们自己去分析、去判断。否则在对称性解法面前也只有望洋兴叹。此外，一定不能忽视它们之间的互逆关系或其它关系的深入探讨，否则将导致错误。这正如两个未知量一般必须有两个独立条件才能求解一样。（“对称性”条件比于一个独立条件）。注意：计算古典概率时，不管是运用乘法、加法原理还是运用对称性，其前提必须判明问题性质，分辨所求事件是否同时满足等可能性及样本总数有限的要求。（1）样本总数n有限，样本点出现的可能性不相等的例子：n重贝
8、努利试验中，若，则可用古典概率定义来计算n次中事件A恰好了现K次的概率；若，则不能用古典概率定义来计算这个事件的概率。因为此时样本空间的2n个样本点不再是等可能的。充以表示在第I次试验时A出现这一事件，则基本事件（即样本点）A1A2An与概率为 但是，由于，所以；仅当时，。（2）样本点总数n无限，样本点出现的可能性相等的例子，即下面将讨论的几何概率。22 几何概率的计算几何概率问题，大体上分两类。一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域中已直接给出；另一类是样本空间所对应的几何区域，题中未直接指明，需对问题作深入的分析。前者结构简单，易于求解；后者结构复杂，解答富有技巧性，往往用到积
9、分累积的思想。例：考查“Buffor”投针问题的变着：用两组互相垂直的直线把平面割成许多长为a宽为b的矩形，如针长1小于a和b，问针抛在这些格子上，与矩形边相交的概率如何？（1）“投针”问题如何转化为“投点”问题？投针的位置不能再仅由其中点到一条最近的平行线间的距离x及与之夹角 所确定，还应该加上该中点与上指直线相垂趋势直线间的距离y，也就是由一个三元有序数组所确定。从而“投针”变成了一个空间区域的“投点”问题。先任意固定，则针的位置由中点坐标所确定。此时“投针”与基本矩形内的“投点的问题相联系，从而“退”回到一个相应的二维问题，然后再借助于积分累积的思想去解决原问题”。（2）在固定的条件下，
10、所关心的事件是基本矩形中的一个什么样的子集？由针的两个极端位置，不难设想如果针的中点落在以AB为对角线，边与基本矩形的边平行的矩形中，投针与基本矩形的边是不相交的。从而可从反面考虑该问题：对一个固定的，投针与与基本基本矩形的边不相交的条件概率为，则得到相应概率（3）怎样从“二维”进到“三维”？其中P0投针水平倾角在（）之间的概率；当固定时投针与矩边不交的概率。由定积分无限细分、无限累积的思想，即得知投针与矩边不相交的概率为从而所求“相交”事件的概率为：注意：几何率的定义及计算与几何图形的测度密切相关，因此所考虑的事件应是某种可定义测度的集合，且测度为有穷才行。这类集合的并、交也应该是事件，甚至
11、对它们的可列次并、交也应有这个要求。由于建立在某种等可能性上的古典概率定义本身有局限性，其适用范围有限，而当其推广到几何概率时，仍然适用范围有限，并且会引出新问题（如下面介绍的贝特朗奇论）。这些问题在引入概率论的公理化结构后，才能得以解决。贝特朗奇论：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆的内接等边三角形边长倍的概率等于多少？解1：先固定弦的一端点A与圆周上，以此点为顶点作等边三角形。显然只有落入此三角形内的弦才满足要求。这种弦的另一端点B跑过的弦长为的圆周，故所求概率为。解2：弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，故假定它垂直于某一直径。且仅当它与圆心的距离小于时，其长才大于，故
12、所求概率为。解3：弦被其中点唯一确定，且仅当其中点属于半径为的同心圆时，弦长大于，此小圆面积为大圆面积的，故所求概率为。同一问题有三种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定。解1中，假定弦的端点在圆周上均匀分布；解2中，假定弦的中点在直径上均匀分布；解3中又假定的弦的中点圆内均匀分布。三种答案针对三种不同的随机试验。对于各自随机试验而言，它们都是正确的。贝特朗奇论说明，求解几何概率时，必须时确指明“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语的含义，这又因试验而异。2.3 轨线法轨线法主要适用于“排队论”中的若干问题。其基本思想是将排队（例如售票问题）用“轨线”表示，然后借助几何直观，把
13、每个样本点都用坐标平面上的一条折线来表示，并利用“反射”建立一一对应关系，从而将问题转化为求从某点出发的轨线的条数的问题，最后通常利用排列组合来解。例：一只箱子装着m个白球n个黑球，（mn），由其中一个跟着一个地任意取出球来，问逢到所取出的球黑白数目都相等的时候的概率等于多少？设A为“黑白球相同”。一个连着一个任意取出球来，所有可能的总数是，其中任何一种排列都是等可能的。设想在平面上有坐标系XOY，以OX轴上坐标为1，2，m+n诸如代表球的位置，并令若在I个位置上取到黑球则累加纵标1，若取到白球则累加纵标+1，从原点出发连接诸点就得到一条折线。显见：（1）黑白球的每一种排列（每一个基本事件）与
14、折线之间建立了一一对应的关系；（2）所有折线（共条）起点为（0，0）点，终点为。由于原折线与经X轴反射后而得到的新拆线是一一对庆的，所以求与X轴相交的折线数只须求出新折线数。从y=1来看即从（1，1）点算起：上坡线段数+下坡线段数=m+n-1下坡线段数+上坡线段数=m-n+1解得：下坡线段数=m解得：上坡线段数=n-1由此看来，在第一点纵标取+1的前提下又与X轴相交的折线数为，从整个来看，不与X轴相关的折线数为，所以3、结束语至此，本文已介绍了3种计算概率的方法。鉴于古典概率、几何概率是概率论历史上最先接触到的，也是最常见的两种概率，它们均局限在“等可能性”条件下，因此对这两种概率的计算求解进行了深入细致的分析，力求使人们能掌握其思维方法，达到“以不变应万变”的目的。至于轨迹法则是拓宽思路、举一反三的必要补充。概率题目的多样性也决定了其解题方法的多样性，例如使用文图法（利用集合与事件间的关系）、公式法（加法公式、全概率公式、贝叶斯公式）等。所以在实际当中，概率的计算求解应当具体问题具体分析，开动脑筋，多多留心总结各种方法。