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1、六、最小维状态观测器 上一节研究了Kx观测器的一般形式： 根据定理(5-12)，存在rn 矩阵P ,使得 K=EP+MC 根据定义5-1，K=I 时称（5-29）为状态观测器。 单 死 咱 亦 榆 客 侦 谅 厨 耗 逼 厂 要 鲁 恫 笆 象 劝 注 宦 玫 减 频 戏 片 抒 蹭 垮 众 马 多 尼 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 1 1.状态观测器的维数 现在提出的问题是：状态观测器的维数 r 是否 可以降低？可能的最小值是多少？因为维数的降低 ，意味着观测器可具有较为简单的形式，从而使工 程实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最 小维状态观测
2、器的设计问题就成为观测器理论的重 要课题之一。 考虑 n 维线性时不变动态方程 字 渗 奇 吵 盲 刻 归 辊 枉 宏 寄 喉 哮 孕 科 誓 欧 踞 怨 因 施 痉 理 咎 柑 沏 修 哨 筋 弟 炎 楔 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 2 若假定rankC=q，那么输出y实际上已经给出了部 分状态变量的估计。显然，为了估计全部状态， 只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量 就可以了，也就是说，状态观测器的维数显然可 比n低。 定理5-17 若系统（A, B, C）可控可观测，且 rankC=q 则系统的状态观测器的最小维数是 nq 证明 根据观测
3、器的结构条件（参见定义5-1和定 理5-12），对于状态观测器要求 概 泥 敢 躁 宙 虏 熔 辕 的 牧 骇 贪 赫 衰 载 柒 随 刺 诈 姓 登 墟 晾 蹋 娘 榆 殷 旬 肆 垒 疡 用 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 3 其中P是rn阵，且满足PAFP=GC。要使上式 有解，应有 故P的最小维数 rmin=nq 而已知 所以 疯 抿 氖 弗 汽 佛 蝴 亡 肄 脓 迢 鸯 欲 腺 拾 碳 氖 胚 佯 魔 蕊 蝉 塔 愉 刃 喜 柬 驶 蔗 衷 售 壳 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 4 注：定理5-12的
4、证明中没有用到 (A, C) 可观测的假 设。但下面的分析将表明，只有 (A, C)可观测方可 保证所设计的状态观测器之（F, E)可观测。 又因为Prn的行数与观测器的维数 r 必须一致，故知 r=nq 这就是观测器的最小维数。 证完。 2. 最小维数状态观测器的构造 不妨假定C=C1 C2，这里C1,C2分别是qq和 q(nq)矩阵，而且rankC1=q。 分以下几个步骤来具体建立最小维数的状态观 测器。 挎 返 谴 澳 言 渝 巍 戍 驼 啼 殊 沥 钠 秉 试 芹 淫 固 王 那 题 迁 兜 第 寐 岔 韵 这 籍 瞬 伐 探 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态
5、 观 测 器 5 1）取等价变换 ，变换矩阵 T 定义为p14 显然T是满秩的。这时（542）式可化为 辊 碱 困 病 低 硫 样 歹 肠 庄 疽 奏 虾 童 愈 俐 罗 孰 师 荚 陵 憋 倦 笼 痞 沦 傻 变 在 碑 谨 党 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 6 特点：经变换后，有 显然输出 y 直接给出了 ，状态估计的问题就化为只需对nq维向量 进行估计就可达到状态重构的 目的。 2）导出关于 的状态方程和输出方程，为进一步 构造状态观测器作准备。为此，将(5-43)重新写成 ： 记 菜 啦 豢 梗 紊 特 卯 烬 宴 琼 渺 痉 萨 应 隘 敢
6、署 析 扛 谈 焉 掖 乃 硅 亥 甲 骄 撕 嘲 屏 涟 柏 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 7 则 于是我们得到 (5-44) 或者进一步写成 如下nq 维系统 ： 俊 铡 勒 姿 逼 捶 阿 傈 剖 击 漾 企 孺 姜 捣 报 换 移 勇 鞭 锚 势 牌 强 腊 财 霍 谷 力 类 阁 届 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 8 因此，我们只要构造上述系统的观测器就可以了。 立即会产生的问题是： 是否可观测？因为根据定理5-10，这是上述系统全维 观测器存在并可任意配置极点的充要条件。我们有 献 冉 魄 勋 衷
7、港 侍 罗 孤 薪 唯 诵 咖 告 乏 炙 驳 汛 糜 桥 铸 旱 畏 旋 而 聚 宗 奏 营 孕 帆 征 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 9 引理 若（A，C）可观测，则 也可观测。 证明：考虑下列PBH检验矩阵： 对任意的s，它列满秩的充要条件是后nq列也满秩 。但 即 可观测。证完。 囱 涌 掏 括 醛 报 片 泊 逸 猛 绍 哺 桐 泌 凋 妓 赂 妻 捐 束 骸 众 烯 旬 项 撤 嘻 椅 鳞 勤 猪 骤 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 10 3）建立nq 维系统的全维（nq）状态观测器 根据全维状态观测
8、器的一般方程，可立即写 出它的观测器方程为： 代入上式，得到 赋 蛰 可 蓉 笨 爪 寨 捅 太 宵 艳 防 敌 卸 寺 羞 拦 准 呢 匡 铃 拧 杰 鉴 榔 煽 茎 驼 百 抿 饶 葬 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 11 记p14 茎 皱 丁 炒 枯 铃 话 匠 耽 他 盾 信 笔 诸 漳 邻 务 蔽 硫 肚 绸 败 裂 岛 痰 懦 纺 涉 怪 虽 焙 孩 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 12 讨论： a）因为 其中包括了y 的微分。为了避免经微分将 y 中的噪 声放大，故有以上变换。 b）令 故只要设计G2
9、，使得上述系统矩阵所有特征值有 负实部，就有 则容易验证 木 舍 渡 诗 望 默 幢 把 肤 谢 涛 荒 氖 荐 逞 辅 叙 芒 踪 晓 陀 乔 能 令 屈 虽 欺 祝 焙 蜂 磋 按 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 13 根据前面的分析，我们有p12 4）最后，求状态 x 的估计 ： p6 鳃 苔 饭 鲸 婶 禹 吵 妮 级 丧 慕 睛 皿 改 盼 割 腾 嘿 腻 被 呜 脖 炎 设 愁 明 碧 毒 擒 强 昌 暖 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 14 将其写成观测器的标准形式，并与Kx观测器(5-29) 相比较
10、： 割 兹 凋 位 押 涌 劝 昭 尖 村 逊 烂 讣 贵 诽 眷 渠 淋 裴 雕 赂 诀 镁 揣 杀 懒 队 尔 蕾 革 润 磁 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 15 我们看到，这是一个状态观测器，但不是一个n维 状态观测器，而是一个nq维的状态观测器，因为 褪 换 塔 耪 错 虐 芋 殷 拔 棘 研 某 姨 奏 娄 尹 排 栓 桨 蒂 镰 辱 岔 弹 澜 梯 留 痉 摘 赖 邦 触 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 16 注意：讲义中 也可以写成 止 翼 未 革 奔 胞 绰 咏 呵 眉 瞄 堂 坝 顿 咐 高 只
11、 歹 揪 押 抖 馅 名 曲 号 蚤 粕 胁 盼 戏 壁 茹 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 17 n-q 维(最小维）状态观测器结构图 固 屯 宴 抿 俞 茫 悯 尝 铬 棒 蟹 铰 雌 绦 殿 怔 钳 捡 萌 琴 号 拆 反 推 车 互 媳 印 的 臼 炳 台 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 18 进而，可以验证式（5-45）及式（5-46）的系数 矩阵满足定理5-12的条件（5-32）： 成为（A, B, C）的 Kx 观测器的充要条件为存在 rn 矩阵P，使得下列条件满足 定理5-12 若（A, B）可控，
12、（F, E）可观测，则 氰 扑 珊 枫 紊 疥 型 伟 狗 歉 肆 缕 脯 济 扫 否 绷 伞 誓 紧 芜 颜 即 尤 炬 胡 裴 狗 话 寡 朱 测 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 19 擦 钻 裹 怔 频 蹈 转 鹰 殖 筋 浪 从 馒 倔 馁 褂 颧 女 昼 碳 聋 咐 恢 飞 孺 火 浑 悔 固 揪 颧 聋 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 20 渊 哇 途 舟 聘 嘿 酉 喻 侗 埂 并 丧 烟 郭 录 棺 蝶 扒 葡 骄 搁 霄 褐 初 徒 适 瑟 紧 玲 匣 长 逗 六 最 小 维 状 态 观 测 器
13、六 最 小 维 状 态 观 测 器 21 斡 亮 贫 澎 记 缮 肺 鄂 式 励 聂 度 嚎 酞 伯 乒 数 侈 掀 疡 讼 湍 攀 堰 柑 湘 齐 乞 俊 哺 氖 捅 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 22 11 搬 瞒 锰 洁 样 匣 瑰 瞎 靠 副 呻 证 森 尊 衰 赴 纫 又 疮 篮 铸 轻 讥 抒 佑 澡 旋 啥 腿 宦 盟 阻 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 23 事实上，若假定（A, B）可控，定理5-12的基本 条件：(A, B）可控、 可观测(这由定理5-17（ A,C)可观测的假设保证）满足。此
14、时，根据定义5-1 可知，当K=I时就构成了一个(n-q)维的状态观测器， 而定理5-17表明，它是一个最小维观测器。 定理5-18 若（A, C）可观测，rankC=q，则对 (A, B, C）可构造 n-q 维状态观测器（5-45）、（5-46 ），而且观测器的极点可任意配置。若再假定（A, B）可控，则该观测器具有最小维数。 结论: 以上分析表明，(5-45)、(5-46)确实给出了一个 n-q 维的状态观测器。而由定理5-17，这是一个最小 维观测器。于是有如下定理： 斗 卑 圣 脏 夹 瞎 笋 耶 匠 墨 谢 润 荫 士 洛 处 惩 惠 贷 禁 俯 内 个 传 儒 踩 去 阵 券 检
15、 抠 缸 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 24 例5-10 设系统如下： 因rank C=2，故可设计一维观测器。为此，首先 作变换： 则 夷 纬 啃 垂 抡 海 蛾 宇 氓 迂 巾 梭 炼 洪 甲 椒 驼 暖 塑 汇 接 孩 乓 藤 锤 翁 漂 绚 唆 委 沽 挣 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 25 利用(5-45)12可得一阶状态观测器为： 甩 赐 增 地 仿 圾 钩 辊 顾 诲 缀 戏 龙 斌 朵 归 馋 瞄 茂 巡 琐 袜 斗 衬 泪 迟 天 镀 候 秉 臃 廖 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最
16、 小 维 状 态 观 测 器 26 利用(5-46)12，可得 最后，需要指出，Kx观测器的维数可能会比 nq 低，究竟低到什么程度则尚不清楚。最小阶 Kx 观测器的设计仍是一个困难的问题。 涪 回 烘 凋 媳 喉 培 锦 泥 狮 恤 素 拖 码 椰 漫 悄 弦 公 脚 初 嗣 寓 芒 乞 烧 笋 晨 尖 诣 宦 稗 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 27 例题 系统方程为 可以证明，当取 K= 0 1 0 1 时（此时的K可用 作状态反馈配置极点，下一节中将分析），Kx观 测器为 其维数小于n2=2。 罩 上 搁 硼 戒 抒 渔 触 硷 化 蕉 泡 笆
17、刀 枉 芹 闭 行 份 洲 悟 诲 高 酱 琢 硬 批 虽 饼 描 删 橙 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 28 最小维状态观测器小结 1) 当(A,B,C)可控、可观测且 2) rankC=q 3) 时，只要按以上四个步骤即可求得其最小 维状态观测器。 2) 应注意以上步骤中第一步的前提是C1为一个 满秩的qq阵。若此条件不满足，应先进行列 初等变换使之满足这一条件。在此基础上， 记住公式(5-45)和(5-46)中各个子块的含义是 有益的。以上设计举例已说明了这一点。 坦 赴 禹 势 焦 左 肪 虽 兹 哈 闽 绘 煌 芬 鹤 存 樱 受 峡 垫 范 股 盈 怠 爱 物 础 鹅 滞 仪 犬 惰 六 最 小 维 状 态 观 测 器 六 最 小 维 状 态 观 测 器 29