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1、20192019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题年中国科学技术大学创新班笔试数学真题 【天科教育研究院】【天科教育研究院】 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 4040 分，结果须化简）分，结果须化简） 1. 双曲线 3 2 x xy的离心率为_. 2. 平面区域5432yxyx的面积为_. 3. 平面与正八面体相交，截口多边形边数的最大值为_. 4. 设O是ABC的外心， 0654 OCOBOA ，则BACtan_. 5. 设曲线111 33 yx关于直线 bkxy对称，则bk,_. 6. 设ttytx, 6 cos4, 3 cos3 是参数，则 22 yx 的
2、最大值为_. 7. 设Nxxxx 4321 ,.若54,36,1841kjixxx kji ，求 4321 xxxx_. 8. 设复数sincosiz，其中i , 2019 2 是虚数单位，则 _. 2019 2020 1 互素与k k k z 二、（二、（2020 分）分）设2 , 0 x.求函数 xxx xf 3 1 31 4 5 4 2 的取值范围. 三三、 （2020 分分）随机选取n, 2 , 1 的一个排列., 21n xxx 若ixi，则i称为排列 n xxx, 21 的一个不动点.排列 n xxx, 21 的不动点个数记作随机变量. n X求 6 X的数学期望. 四、（四、（2
3、020 分）分）设正整数, 2n并且对于所有与n互数的整数 , a 都有.modnaan 证明：（1）n无平方因子；（2）若n的素因子个数不超过 2，则n是素数. 本试题由天科教育研究院整理。本试题由天科教育研究院整理。 20192019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案 【天科教育研究院解答】【天科教育研究院解答】 本试题由天科教育研究院解答。本试题由天科教育研究院解答。 1.1.5432yxyx区域面积. 1 1 . .答案：答案：2525 解析：解析： 画出可行域如图， 25 4 25 *44 ABOABCD SS 。 2.方程2 , 0,
4、 03cos2sinxxx的所有根之和. 2 .答案：答案：6 解析：解析： 6 . 10 19 , 2 3 , 10 11 , 10 7 , 2 , 10 3 2 2 3 32 2 2 3 32 2 , 0), 2 3 3sin()3cos()2sin( 所求和为 x kxx kxx xxxx 3.3. 1 , 00 , 1BA,C点 x x 1 , ，则 min ABC S =. 3 3 . .答案：答案： 2 1-23 3 2 - 如图点如图点 C C) 1 ,( x x 2 1-23 2 1 32 1 3 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 - 3 xx x
5、 x xSSSS AOBBOCAOCABC 4.4. tytx 6 sin4, 3 cos3 则min 22 yx. 4 4 . .答案：答案：3636 解析：解析： 3613),( ,4 , 2 4 6 sin 3 cos3 22 ，义轨迹为线段，由几何意 yxyxx yttx 5 5 . .给定一个定角， 设)0 , 1 ( 0 P 将 i OP 顺时针旋转得到 i OQ , i OQ 与y轴对称的称 为 1 i OP ，求 2019 P 坐标。 5 5 . .答案：画出图可以看出周期性，答案：画出图可以看出周期性，)sin,cos( 2019 P 6 6 . . 112 , 2 1 11
6、 n n n xn x xx ，则 2019 1k k x . 6.6.答案：答案： 2020 2019 解析：解析： 2020 2019 2020 1 1 1 11 ) 1(n 1 ) 1(2 11 2019 1 1 k k n nn x nnn xn xx 7 . 1 1 z z 为纯虚数，则 min 2 3zz. 7 .答案答案: : 3 33 解析：由几何意义注意解析：由几何意义注意的夹角与11zz，z z 的轨迹为单位圆上对应复数的轨迹为单位圆上对应复数, ,所以所以 3 33 5cos8cos12sin4) 1cos4( 1sin2cos43133 min 2 min 22 min
7、 minmin 2 min 2 izzzzzzz 8 8 . .已知 4321 ,xxxx ，且 54,36,1841kjixxx kji ，求 4321 xxxx . 答案：答案：14 解析：解析： 6, 3, 3, 210854363618 .54,36,36,18 4321 3 4321 432421431321 4321 xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx 则 假设 9 . 解析：解析： 4 615 . 2 103 , 2 10 , 2 63 .36,25,16 .,. 222222 ABCD Vcba accbba cba ABCD 假设其边长为置入到长方体即可 体
8、是一个对棱相等的四面易知：四面体 10 . 解析：解析：令 n k k n k x xf 0 ! 用数学归纳法证明n为奇数时 0 xxfe n x ，n为偶数时 0 xxfe n x 0 xxfe n x n为 1 时xex1成立，n为 0 时01xex，01xex n为奇， 0 xxfe n x , 1n为偶，令 xfexg n x 1 )0(0, 00 1 时 xxfexfexgg n x n x 所以 000, 0, 0 xggxgx , 000, 0, 0 xggxgx . n为偶 0 xxfe n x ， 0 xxfe n x 1n为奇 xfexg n x 1 , xfexgg n
9、x , 00 0 x时， 0, 00 0 xgg xfexg n x 所以 , 0 x时， 0, 00 0 xgg xfexg n x 所以 11. 解析：解析：（1）用数学归纳法：coscos，1cos22cos 2 假设当kn ，1k结论成立， 当 n=k+2 时候：)cos() 1cos(cos2)2cos(kkk 2kn命题也成立，且最高次系数为 1 2 n （背景：切比雪夫多项式） （2）)(xP为n次多项式，至多n个解 2 20cos knn n n nn2 ) 12( 2 3 2 均为0cosn的解 且互不相同) 2 12 cos() 2 3 cos)( 2 1 cos(2)( 1 n n x n x n xxP n