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1、第 1 页 博弈与社会博弈与社会第第 3 3 次作业次作业 (北京航空航天大学校级通识课程 2018 年春季学期) (参考答案) 1. 1. 假设一家雇主考虑与一名工人签约，雇主不确切知道工人的类型，只知道工人可能是两种类 型，1,2i，该率分别为和1。如果工人付出的“努力程度”是e，那么两种类型的工 人的“努力成本”(或“负效用”) 分别等于： 2 1 cee， 2 2 2cee 任何一种类型的工人的效用函数都是： ii Uewc e 其中w代表工人的工资收入。两种类型的工人的保留效用都等于 0。雇主收益与工人努力程度之 间的关系是： ek e 假设雇主和工人都是风险中性的，也就是当面临风险
2、时，他们都最大化各自的期望受益。 (1)(1) 如果雇主对工人的信息完全了解，那么雇主的最大化问题是什么 (1 分)？这时雇主将激励工 人选择怎样的努力水平，并为此支付给工人多少工资 (1 分)，雇主将获得多少利润 (1 分)？ 解：解： 如果雇主对工人的信息完全了解，也就是可以直接区分第 1 类工人和第 2 类工人，那么雇 主的最大化问题是： 11221122 max,1;e w e wk ewk ew 2 11111111 ,0. .:Uw ewc ewest 2 22222222 ,20Uwewcewe 注意由于雇主能够可以直接区分第 1 类工人和第 2 类工人， 这里不需要激励相容约束
3、， 只需要参 第 2 页 与约束。 无论要激励工人选择怎样的努力水平，这时雇主向任何一类工人支付的工资都没有理由高 于恰好使得该类工人获得保留效用的水平。因此参与约束一定以等式成立： 2 11111111 ,0Uw ewc ewe 2 22222222 ,20Uw ewcewe 2 11 we， 2 22 2we 带回到雇主的约束最大化问题，得到无约束最大化问题： 22 121122 max,12e ek eek ee 1 2 k e ， 2 4 k e 1 2 4 k w ， 2 2 8 k w 这时雇主获得的利润是： 11221122 ,1;ewewk ewk ew 22 1 2448 k
4、kkk kk 22 1 48 kk 22 8 kk (2) (2) 假设如题干所述，雇主对工人的信息不确切了解，写出这时雇主的最大化问题及其约束条件 第 3 页 (2 分)？ 解：解： 如果雇主对工人的信息不确切了解，雇主的最大化问题及其约束条件是： 11221122 max,1;e w e wk ewk ew % 1111 ,0. .:Uw eIRst 2222 ,0Uw eIR 1111221 ,Uw eUw eIC 2222112 ,Uw eUw eIC 带入相关表达式，上述 4 个约束条件可以写成： 2 111 0weIR 2 222 20weIR 22 11221 weweIC 22
5、 22112 22weweIC (3) (3) 求解第 (2) 问的最大化问题，得到雇主的最优合约 (3 分)，这时雇主将获得多少利润？ 解：解： 第 (2) 问的最大化问题中，容易证明，当目标函数最大化时， 2 IR和 1 IC必定以等式成立， 即： 2 22 20we， 22 1122 wewe 2 22 2we， 2222 112212 weweee 带回到雇主的约束最大化问题，得到无约束最大化问题： 第 4 页 222 1211222 max,12e ek eeek ee % 1 2 k e ， 2 1 42 k e 1 2 22 2 1 4 42 kk w ， 2 2 2 2 21
6、42 k w 这时雇主获得的利润是： 11221122 ,1;ewewk ewk ew % 22 222 22 1121 1 2442 4242 kkkkk kk 2 22 2 1121 1 44242 42 kkkk k 2 2 22 12 4 42 kk ( (4 4) ) 对比雇主知道和不知道工人私人信息的情况 (1 分)？ 解：解： 对比第 (2 问和第 (3) 问的结果， 与信息对称的情况相比， 如果雇主对工人的私人信息不确 切了解，也就是雇主不知道工人的类型，那么均衡时： (a) 第 1 类工人 (高能力工人) 的努力程度不变，但是能够得到更高的工资 因此能够 获得正的剩余 (而不
7、是 0) 这是因为为了防止其模仿第 2 类工人，雇主不得不让渡给其一部 分价值； (b) 第 2 类工人 (低能力工人) 的努力程度更低，得到的工资也更低，并且仍然只能获得 0 剩余； (c) 雇主设计合同，放弃激励第 2 类工人执行(与对称信息情况下相同水平的)更大的努力程 第 5 页 度， 也就意味着放弃了部分本可以通过激励第 2 类工人工作获得的利润， 但其价值在于能够更大 程度提高第 1 类工人模仿第 2 类工人的成本， 雇主因而能够通过激励第 1 类工人工作实现更大的 利润； (d) 与信息对称的情况相比，在信息不对称的情况下，雇主能够获得最大利润显然更低： 2 2 2222 12 48 42 kkkk % 2 2 22 121 8 42 kk 2 2 121 1 8 42 k 2 2 1121 42 2 k 2 111 422 k 2 1 0 42 2 k 这是因为在信息不对称的情况下， 雇主通过设计合同识别不同类型的工人， 并对工人进行激励以 实现利润的最大化，需要付出相应的成本。