1、数学中的转折点是数学中的转折点是笛卡儿的笛卡儿的变数变数，有了变，有了变数，运动进入了数学，数，运动进入了数学，辩证法进入了数学，微辩证法进入了数学，微分和积分也就立刻成为分和积分也就立刻成为必要的了。必要的了。第一章第一章 极限与连续极限与连续 恩格斯恩格斯笛卡儿笛卡儿 (法法)（Descartes）（15961650）设设A,BA,B是两个非空集合是两个非空集合,如果按照某种对应关系如果按照某种对应关系f,f,对于对于集合集合A A中的任意一个元素中的任意一个元素x,x,在集合在集合B B中都有唯一确定的中都有唯一确定的元素和它对应元素和它对应,那么这样的对应那么这样的对应(包括集合包括集
2、合A,BA,B以及以及A A到到B B的对应法则的对应法则f)f)叫做集合叫做集合A A到集合到集合B B的映射的映射.记作记作 f f:A BA B我们通常把集合我们通常把集合A A中的元素叫原象，而把集合中的元素叫原象，而把集合B B中与中与A A中的元素相对应的元素叫象中的元素相对应的元素叫象（一）映射的定义（一）映射的定义1.11.1初等函数初等函数注意：注意：(1)(1)映射的三要素映射的三要素:集合集合A,BA,B和对应法则和对应法则f f (2)(2)映射是有方向的映射是有方向的:A A到到B B的映射和的映射和B B到到A A的映射是的映射是 不同的不同的(3)(3)映射的实质
3、映射的实质:A A中任何一个元素在中任何一个元素在 B B中都有唯中都有唯一的元素和它对应（一的元素和它对应（任一对唯一任一对唯一）映射只能是映射只能是一对一一对一或或多对一多对一的对应的对应,不能是不能是一对一对多多的对应的对应 (B(B中元素有三种可能性：中元素有三种可能性：A A中有一个、多个、没中有一个、多个、没有元素和它对应。有元素和它对应。)中国 韩国 北京 首尔1 1 2 2 3 3 1 4 91 2 3 1 2 3 4 5 6(4)(4)A A，B B可以是数集也可以是点集、图形集、可以是数集也可以是点集、图形集、物体集等等物体集等等(5)(5)映射不要求集合映射不要求集合B
4、B中的元素都有原象中的元素都有原象或唯一或唯一例例1 1：下列各图表示的对应是不是集合：下列各图表示的对应是不是集合A A到到B B的映射？为什么？的映射？为什么？a b c 1 21 2 3 a b1 2a b c a b c1 2AAAABBBB(1)(2)(3)(4)ffff方法提炼：看方法提炼：看A BA B是否满足是否满足任一对唯一任一对唯一设设X,Y是是两两非非空空集集,若若按按照照对对应应规规则则 f,使使 x X,都都有有唯唯一一的的 y Y 与与之之对对应应,则则称称 f 是是x 的函数的函数.记作记作y=f(x).集合集合X X称称为函数函数f f的定的定义域，域，记为函数
5、函数f f的的值域，域，记作作x为自自变量，量，y为因因变量量.（二）函数的定义（二）函数的定义思考思考:映射和函数有什么区别和联系映射和函数有什么区别和联系?联系联系：都是从A到B 的单值对应；区别区别：构成函数的两个集合必须是数集，而构成映射的两个集合可以是其它集合；（三）函数的单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，圆是多值函数.是单值函数；函数（四）（四）反函数的定义反函数的定义反函数的定义:设函数是单射,则它存在如:函数是单射,其反函数为 若函数f(x)在D上是单调函数,则f-1也是也是f(D)上的上的单
6、单调函数调函数.DD)(xfy=函数函数称此映射为函数f 的反函数.逆映射 直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.（五）初等函数和复合函数1、基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数.A.常函数常函数 yOxB.幂函数幂函数yOx1 21yOxB.幂函数幂函数 yxOoxC.指数函数指数函数D.对数函数对数函数xay=xOE.三角函数三角函数y1o-1y1o-1E.三角函数三角函数E.三角函数三角函数F.反三角函数反三角函数F.反三角函数反三角函数2 2、复合函数、复合函数定义:设函数 y=f(u)的的定义域为D1,函数u=g(x)在D上
7、有定义,且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f 构成的复合函数通常记为函数g与函数f 构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域内,即 注:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如如:如如:复合函数的求解难点：合成与分解对于复合函数的合成与分解注意以下几点：如:1、对复合函数的分解一定要彻底2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的 四则运算3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的 子集，否则不能构成复合函数3 3、初等函数、初
8、等函数例如：是初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数.注意 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数分段函数是初等函数吗？问题（六）分段函数（六）分段函数(1)(1)符号函数符号函数（七）几个特殊的函数（七）几个特殊的函数1-1xyo 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示不超过x的最大整数（2）取整函数 y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,定义域 D=(,+),值域 =Z.课堂练习课堂练习1.下列函数能否复合成一个函数：下列函数能否复合成一个函数：2.下列函数由哪些较简单的函数复合而成下列函数由哪些较简单的函数复合而成？
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