多项式因式分解.pdf

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1、定义： 把一个定义： 把一个多项式多项式化为几个最简化为几个最简整式整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解 （也 叫作分解因式）。 的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解 （也 叫作分解因式）。 意义：意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我 们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不 仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都 有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好 它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以

2、提高学生综合分析和解决问题 的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。 方法 方法 因式分解没有普遍的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛 上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多 项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 实际上经典例 2.证明：对于任何数 x,y，下式的值都不会为 33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x

3、+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 就是把简单的问题复杂化） 注意三原则注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1） 归纳方法：北师大版八下课本上有的北师大版八下课本上有的 1、提公因式法。 2、公式法。 3、分组分解法。 4、凑数法。x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 5、组合分解法。 6、十字相乘法。 7、双十字相乘法。 8、配方法。 9、拆项法。 10、换元法。 11、长除法。

4、 12、加减项法。 13、求根法。 14、图象法。 15、主元法。 16、待定系数法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。 基本方法 基本方法 提公因式法 提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因 式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法。 具体方法：具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最 低的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公

5、倍数最小公倍数，分子为各分 数分子的最大公约数最大公约数（最大公因数） 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出“-”号时，多项式的各项都要变号。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把 2a+1/2 变成 2(a+1/4)不叫提公因式 公式法 公式法

6、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法公式法。 平方差公式平方差公式: : (a+b)(a-b)=a2-b2 反过来为a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 反过来为a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍。 两根式两根式：ax2+bx+c=a(x-(-b+(b2-4ac)/2a)(x-(-b-(b2-4ac)/2

7、a) 立方和公式立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式完全立方公式：a33a2b+3ab2b3=(ab)3 公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2。 分解因式技巧 分解因式技巧 1。 2.分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式； 分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； 分解因 式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前

8、先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因 式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项， 求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 竞赛用到的方法 竞赛用到的方法 分组分解法 分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两

9、种形式：二二分法，三一分 法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把 ax 和 ay 分一组，bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困 难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x3

10、-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 十字相乘法 十字相乘法 这种方法有两种情况。 x2+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 x2+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常 数项的两个因

11、数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例：x2-2x-8例：x2-2x-8 =(x-4)(x+2)=(x-4)(x+2) kx2+mx+n 型的式子的因式分解 kx2+mx+n 型的式子的因式分解 如果有 k=ab，n=cd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d) 图示如下： ac bd 例如：(7x+2)(x-3)中 a=1 b=7 c=2 d=-3 因为 7 2 1 -3 -37=-2

12、1，12=2，且-21+2=-19， 所以=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 拆项、添项法 拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则 下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)+bc(a+b)-ab(a+b)

13、=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 配方法 配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差 公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注 意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 应用因式定理 应用因式定理 对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a 例如：f(x)=x

14、2+5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2 是 x2+5x+6 的一个因式。(事实上， x2+5x+6=(x+2)(x+3) 注意：注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若 X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值为 零，则 q 为常数项约数，p 最高次项系数约数； 2、对于多项式 f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有 a 为 c/b 约数 换元法 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式 分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 相关公式 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12 时，可以令

15、 y=x2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1) 也可以参看右图。 求根法 求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解 2x4+7x3-2x2-13x+6 时，令 2x4 +7x3-2x2-13x+6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为 0.5 ，-3，-2，1 所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+

16、2)(x-1) 图象法 图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 ,xn ， 则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解 x3 +2x2-5x-6 时，可以令 y=x3; +2x2 -5x-6. 作出其图像，与 x 轴交点为-3，-1，2 则 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 主元法 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 特殊值法 特殊值法 将 2 或

17、 10 代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的 每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例如在分解 x3+9x2+23x+15 时，令 x=2，则 x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105， 将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值， 则 x3+9x2+23x+15 可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。 待定系数法 待定系数法 首先判断出分解因式的形

18、式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多 项式因式分解。 例如在分解x4-x3-5x2-6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能 分解为两个二次因式。 于是设 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) 相关公式 =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得 a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4 解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4 则 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4) 也可以参看右图。 双十字相乘法 双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分

19、解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y 为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 x 3y 6 原式=(x+2y+2)(x+3y+6) 双十字相乘法其步骤为： 先用十字相乘法分解 2 次项，如十字相乘图中 x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 先依一个字母（如 y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中 6y+18y+

20、12=(2y+2)(3y+6)； 再按另一个字母（如 x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否 则容易出错。 利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a0) aX2+bX+c=aX2+(b/a)X+(c/a)X. 当=b2-4ac0 时， =a(X2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2). 多项式因式分解的一般步骤 多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用

21、分组、拆项、补项法来分解； 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组 分解要合适。” 几道例题 1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项） =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方） =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2

22、x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为 33： x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当 y=0 时，

23、原式=x5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不 相同，而 33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是 等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、b、c 是ABC 的三条边， a+2b+c0 ac=0， 即 a=c，ABC 为等腰三角形。 4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+

24、1)-6xny(n-1)分解因式。 解：-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1) =-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1) 四个注意 四个注意 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提 “公”，某项提出莫漏 1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例 1 把a2b2+2ab+4 分解因式。 解：a2b2+2ab+4=（a22ab+b24）=（ab+2）（ab2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内 第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x2+4y2=（3x）2（2y）2=（3x+

25、2y）（3x 2y）=（3x2y）（3x+2y）的错误 例 2 把12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn1 分解因式。 解： 12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn 1=6xnyn1（2xny3x2y2+1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式， 再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式 后，括号内切勿漏掉 1。 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而 废的意思。其 中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的 多项式都不能再分解。 防止学

26、生出现诸如 4x4y25x2y29y2=y2 （4x45x29） =y2 （x2+1） （4x29）的错误。 考试时应注意：考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整 数！ 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的 四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一 试，分组分解要合适”等是一脉相承的。 初学因式分解的“四个注意” 因 式分解初见于九年义务教育三年制初中教材代数第二册，在初二上学期讲 授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则 运

27、 算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又 可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起 师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第 5 页和第 15 页，可用四句话概括如下：首项有负 常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏 1，括号里面分到“底”。现举数例，说 明如下，供参考。 例 1 把a 2b22ab4 分解因式。 解：a 2b22ab4（a22abb24）（ab2）（ab2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内 第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x 24y2（3x）2（2

28、y）2（3x2y）（ 3x2y） （3x2y） （3x2y） 的错误?膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?/p 如例 2 abc 的三边 a、b、c 有如下关系式：c 2a22ab2bc0，求证这个三角形 是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：c 2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac） （a2bc）0 又a、b、c 是abc 的三条边，a2bc0，ac0， 即 ac，abc 为等腰三角形。 例 3 把12x 2yn18xn2yn16xnyn1 分解因式。解：12x2nyn18xn2yn16xnyn 16x nyn1（2xny3x2

29、y21） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式， 再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式 后，括号内切勿漏掉 1。防止学生出现诸如 6p（x1） 38p2（x1）22p（1x）22p（x 1） 23（x1）4p2p（x1）2（3x4p3）的错误。 例 4 在实数范围内把 x 45x26 分解因式。 解：x 45x26（x21）（x26）（x21）（x6）（x6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解 到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，

30、并使 每一个括号内的多项式都不能再分解。 防止学生出现诸如 4x 4y25x2y29y2y2 （4x 45x29） y 2（x21）（4x29）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的 四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一 试，分组分解要合适”是一脉相承的。 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多 样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘 积的形式。

31、 例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解 因式。 例 2、分解因式 a +4ab+4b (2003 南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式 a，把它后两项分成一 组，并提出公因式 b，从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m +5n

32、-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于 mx +px+q 形式的多项式，如果 ab=m,cd=q 且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例 4、分解因式 7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式， 就能将其因式分解。 例 5、分解因式 x +3x-40

33、 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未

34、知数，然后进行因式分解，最后再转 换回来。 例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x + )-(x+ )-6 令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )

35、(x-x )(x-x ) 例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0 根为 ，-3，-2，1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图象与 X 轴的交点 x ,x ,x ,x ，则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例 9、因式分解 x +2x -5x-6 解：令 y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与 x 轴交

36、点为-3，-1，2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因

37、数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例 11、分解因式 x +9x +23x+15 解：令 x=2，则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15=（x+1） （x+3） （x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4

38、分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 重点、难点 面对较为复杂的多项式，创造性地运用运算律将之巧妙变形，进而运用提公因式、公式法进行因式 分解。 一、选择题：一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B B C C C D D A 二、填空题：二、填空题： 11：2x 12：0 13：-14xy、7x 14：a2-2a

39、b+b2、a-b 15：48 16：x 2 1 +、1 4 + x 17：-2、-8 18：7 19：m2=4n 20：3x+y 三、解答题：三、解答题： 21：(1)（x+1）4 (2)(xy+1+x)(xy+1+y) (3) 2 ) 2 1 (2+x (4)8(a-b)2(a+b) 22：m=8或m=-2 23： （1）-92 （2）4 24： （1）80008 （2）0 25：K=1、K= 3 1 26：原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3 27：(a-b)2+(b-c)2=0 =(x-3y)2(7y+2x-6y) a=b且b=c =(x-3y)2(2x+y) a=b=c =126

40、 此三角形为等边三角形。 =6. 28： （1）提公因式、2 （2）2004、(1+x)2005 （3）(1+x)n+1 分解因式测试题 分解因式测试题 湖北省钟祥市罗集一中（湖北省钟祥市罗集一中（431925）熊志新）熊志新 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 2 分，共分，共 20 分） 分） 1下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( ) A.a2b21 B4025a2 Ca2b2 Dx2+1 2如果多项式x2mx+9是一个完全平方式,那么m的值为( ) A3 B6 C3 D6 3下列变形是分解因式的是( ) A6x2y2=3xy2xy Ba24ab+4b2=(a2b)2 C

41、(x+2)(x+1)=x2+3x+2 Dx296x=(x+3)(x3)6x 4下列多项式的分解因式，正确的是（ ） （A） （B） )34(3912 22 xyzxyzyxxyz=)2(3633 22 +=+aayyayya （C） （D） )( 22 zyxxxzxyx+=+)5(5 22 aabbabba+=+ 5满足的是（ ） 01062 22 =+nmnm （A） （B）3, 1=nm3, 1=nm（C）3, 1=nm （D）3, 1=nm 6把多项式分解因式等于（ ） )2()2( 2 amam+ A B )(2( 2 mma+)(2( 2 mma C、m(a-2)(m-1) D、m

42、(a-2)(m+1) 7下列多项式中，含有因式的多项式是（ ） ) 1( +y A、 B、 22 32xxyy 22 ) 1() 1(+yy C、 D、 ) 1() 1( 22 +yy1) 1(2) 1( 2 +yy 8已知多项式分解因式为cbxx+ 2 2) 1)(3(2+xx，则的值为（ ） cb, A、 B、 C、1, 3=cb2, 6=cb4, 6=cb D、=b 6, 4=c 、9a是ABC 的三边，且，那么ABC 的形状是（ ） cbbcacabcba+=+ 222 A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b

43、 的小正方形（ab） 。把余下的部分剪拼成一个 矩形（如图） 。通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A、 )( 22 bababa+= B、 222 2)(bababa+=+ C、 222 2)(bababa+= D、 )( 2 baaaba= 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11多项式2x212xy2+8xy3的公因式是_ 12利用分解因式计算:32003+63200232004=_ 13_+49x2+y2=(_y)2 14请将分解因式的过程补充完整: a32a2b+ab2=a (_)=a (_)2 15已知a2

44、6a+9与|b1|互为相反数,计算a3b3+2a2b2+ab的结果是_ 16+ 16 2 x （）， 2 ) (1=+2y) () ( 2 1 ) ( 4 1 22 +=xx 17若，则p= )4)(2( 2 +=+xxqpxx，q= 。 18已知3 1 =+ a a，则 2 2 1 a a +的值是 。 19若是一个完全平方式，则的关系是 nmxx+ 2 nm、。 20已知正方形的面积是 （x0，y0）,利用分解因式，写出表示该正方形的 边长的代数式 22 69yxyx+ 。 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分）分） 21：分解因式（12分） （1）(x2+2x)2+2(x2+2

45、x)+1 （2）xyyxxy+) 1)(1)(1( （3） 2 1 22 2 + xx （4）( )()3()3)( 22 abbababa+ 22已知x22(m3)x+25是完全平方式,你能确定m的值吗?不妨试一试 （6分） 23先分解因式,再求值： （8分） （1）25x(0.4y)210y(y0.4)2,其中x=0.04,y=2.4 （2）已知，求22=+abba， 3223 2 1 2 1 abbaba+的值。 24利用简便方法计算（6分） （1） 2022+1982 （2）200520042004- 200420052005 25若二次多项式能被x-1 整除，试求 k 的值。 （6

46、分） 22 32kkxx+ 26不解方程组，求的值。 （10分） = =+ 13 62 yx yx 32 )3(2)3(7xyyxy 27已知是ABC 的三边的长，且满足，试判断此三角 形的形状。 （10 分） cba、0)(22 222 =+cabcba 28读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： （12 分） 1+x+x(x+1)+x(x+1) 2=(1+x)1+x+x(x+1) =(1+x) 2(1+x) =(1+x) 3 (1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次. (2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1) 2+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果 是 . (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) 2+ x(x+1)n(n 为正整数).