晶面和晶向(课件).pdf

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1、1 第四章 晶向、晶面等概念第四章 晶向、晶面等概念 2 4.1 原子坐标4.1 原子坐标 在空间三维坐标系中， 一个点A用一组坐标(x,y,z)表示， 一条直线用直线方程 ax+by+cz=0来表示。 原子在晶胞中的位置可用原子在晶胞中的位置可用原子坐标原子坐标表示。表示。 3 什么是原子坐标？什么是原子坐标？ 原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表 示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方 法，原点一般选在晶胞顶点上。 (0,0,0)表示处于顶点上的原子 表示处于体心上的原子 简单立方格子的原子坐标 (0,0,0) 111 (,) 222 4 体心立方格子：(0,0,0) 111 (,

2、) 222 5 面心立方格子：(0,0,0) 111111 (, 0,)(, 0)(0,) 222222 6 金刚石的晶胞：(0,0,0) (1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) (1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) (0,0,0) (1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) (1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字 标明它所在位置的高度。 111111 (, 0,)(, 0)(0,) 222222 7 4.2 晶面及晶面指数4.2 晶面及晶面指数 什么是晶面？连结同一层质点的平面 什么是晶面

3、间距？相邻两层平行晶面之间的距离 什么是面密度？晶面上质点的密度 在同一晶体的格子结构中，沿不同方向可以构成 许多组这样相互平行的晶面，不同晶面间彼此相差一 定角度，并且他们的晶面间距、面密度及质点种类、 价键密度也不同，这将导致这些晶面的物理、化学性 质有所不同。为区分这些晶面，结晶学上人们用晶面 指数来标志(密勒指数)。 8 密勒指数 是经过约简的该晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比 确定密勒指数的三个步骤： 1) 该晶面与x, y, z 轴相交的长度r, s, t(表示相交长度分别 为a、b、c 的r、s、t 倍)，分别取其倒数1/r, 1/s, 1/t； 2) 对这三个分数进行通分，用分

4、母的最小公倍数做分母； 3) 通分后三个分数的分子就是晶面指数(h k l) 1 1 13 3 2 2 23332 2 2 36 6 6 ， ， （） 9 10 两种特殊情况：两种特殊情况： 1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在 无穷远处相交，截距，1/=0，因此晶面在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行的晶面，(100)表示平行于YZ平面的晶面， (001)表示平行于XY平面的晶面。 2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指 数上加以负号，如，表示一个 晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由 于晶体结构上对称性决定的。 110121（）、（）h k l 1

5、1 包含共六个晶面 包含共十二个晶面 包含共八个晶面 110 110 表示一个晶面； (110)(110)表示一组平行晶面； 110110表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。 100(100),(010),(100),(010),(001),(001) 110 (110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011),(110),(101),(011) 111(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111),(111) 12 立方晶系中六个等同的100100晶面、十二个等同的110110晶 面、八个等同的1

6、11111晶面。 (第四次实习内容)(第四次实习内容) 13 4.3 晶向及晶向指数4.3 晶向及晶向指数 什么是晶向？在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。 确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原 点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三 个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向 指数；用表示 14 1 1 112 , ,463 3 2 4 15 由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系 包含共六个晶向； 包含 共十二个晶向

7、 包含共八个晶向 在立方晶系中，由于晶轴参数的特殊 关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向hkl恰好垂直。在 其他晶系中，这一关系不一定存在。 (), , , , ,a b c 110,101,011,110,101,011,110,101,011,110,101,011 111,111,11 1,111,111,1 11,111,1 11 100,010,100,010,001,001 16 在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六 重轴对称性，常常用四个四个坐标指数表示晶面，被称 为密勒布喇菲指数密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个 晶轴a1、a2、a3、c 所组成的坐标系统

8、。h、k、i、 l 四个指数中，只有三个是独立的，其中hk i；hki0。 在六方晶系中，晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统表示，即uvw， 但也有用a1、a2、a3， c四个晶轴坐标系统表示的即uvtw,四个坐标指数 满足u+v+t=0的关系。 17 在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 uvt0 来确定。 18 六方晶系中的晶面与晶向 19 ()()()()110 110 110 110晶面 20 ()()()()113 131 311 113 113 131 311 113 晶向 晶面 21 4.4 倒易点

9、阵4.4 倒易点阵 研究倒易点阵的目的： (1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念； (2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面 间距等问题； (3)倒易点阵是固体物理学中讨论能带理论的重要方 法； 倒易点阵的实质倒易点阵的实质： 倒易点阵本身是一种几何构图， 是一种数学抽象，是一种数学变换。 22 倒易点阵是由许多点子构成的虚点阵； 倒易点阵是由具有晶格常数a、b、c的晶体点 阵(或称正点阵、真点阵)经过一定的数学变换转化 而来的一种虚拟点阵。 晶体点阵(正格子) 倒易点阵(倒格子)晶体点阵(正格子) 倒易点阵(倒格子) 倒易点阵的空间称倒易空间倒易空间。 已知晶体点阵求解未知倒

10、易点阵 已知倒易点阵求解未知晶体点阵 4.4.1倒易点阵的几何分析 倒格子中的每一个结点和原来晶体点阵中各个 相应的晶面有倒易关系 23 对应关系：如果两个点阵(即晶体点阵和倒易点阵)有一个 共同的原点 (1) 晶体点阵中的(hkl)晶面在倒易点阵中用一点Phkl来表示， Phkl点和原点O间的连线垂直于晶体点阵中的(hkl)晶面； (2) 如果倒易点阵中的Phkl点和原点O间的距离OPHhkl，则 Hhkl1/dhkl, 式中dhkl是(hkl)晶面族的晶面间距。 图4.4.1 正点阵与倒易点阵的转化图示 24 图示一个普通单斜 晶系的四个晶胞的ac 晶面，b轴垂直于纸 面，o点是正格子和

11、倒 格 子 的 公 共 原 点。 由上述方法变换得到的倒易点阵结点集合起来具有点阵性质。 25 轮序置换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个 相邻的因子，要改变乘积的符号。 轮序置换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个 相邻的因子，要改变乘积的符号。 几何意义： 矢量的混合积是这样的一个数，它的 绝对值表示以矢量为棱的平行六面体的体积。 如果矢量组成一个右手系，那么积的符号是正的， 如果组成一个左手系，那就是负的。 ()()()()()() A B CB CAC A BB A CC B AA C B= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

12、? ? ? ? ? ()() A B CA B C= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ()()() 0A B AB A AA A B= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A B CB C AC A BB ACC B AAC B = = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? () ABCA B C = ? ? ? ? ? ? ? i A B C ? ? ? ? ? 、 A B C ? ? ? ? ? 、 26 4.4 .1 倒易点阵的矢量分析4.4 .1 倒易点阵的矢量分析 如果晶体点阵中

13、的三个晶轴矢量是，相应的倒易点 阵矢量是，晶胞的三个棱长是a、b、c(正格子)，倒易点 阵中对应的参数是(倒格子)。 那么有(决定倒易矢量的方向) (决定倒易矢量的大小，长短)(决定倒易矢量的大小，长短) a b c ? ? ? 、 abc ? ? ? ? ? 、 、 、 abc 、 0ab acbabccacb = ? ? ? ? ? ? ? ? = 1a a b b c c = ? ? ? ? ? = cos a aa a ? ? ? 1 = cos b bbb ? ? ? 1 = cos c cc c ? ? ? 1 = 27 bc a abc ? ? ? ?= ca b a bc ?

14、? ? ?= ab c abc ? ? ? ? ?= ( )( )( )( )sincossin 2 11 a b cab caaab caOPOBCD V = ? ? ? ? 的面积 单位平行六面体的体积体积 倒易矢量的另外一种定义 28 11 100 b c A a VAOPOPd = = ? ? 1 010 b d =1 001 c d = 同理有 在任何晶轴正交的晶体点阵(正交、四方、立方)中， 三个晶轴方向与晶胞的三个棱方向是一致的，那么有 / / / aa bb cc ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 a a b b c c = = = 100 010 001 a d

15、 b d c d = = = 29 什么是倒格矢量？ 由倒易点阵的原点到其中任何一个结点Phkl的矢 量称为倒易矢量(或称倒格矢量)，用表示。 Hhkl H hakblc =+ ? ? ? ? ? ? 倒格矢量 晶格矢量 , , Tma nb pc m n p =+ ? ? 30 求证：倒易矢量(其中的h、k、l均为整数 ) 垂直于晶体点阵中的(h k l)平面同时和有倒易关系 证明： (1)若ABC平面为晶面族(hkl)中的一个平面，则得出： Hhakblc =+ ? ? dhkl a OA h = ? ? ? b OB k = ? ? ? c OC l = ? ? ? ab OA ABAB

16、 OB hk += ? ? ? ? ? ? ? ? ba AB kh = ? ? ? 1 1 0 b a H ABhakblc kh =+= = ? ? ? ? ? ? ? ? ? HAB HAC ? ? ? ? ? ? ? ? ()HhklHABC ? ? ? 即平面 31 (2)设 是沿H方向的单位矢量 n 1 1 ONOAH a ONdn h hkl H n H hakblc aa Ha dn hh HhHH hkl H d hkl = = + = = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是在 方向上的投影 但 以上证得的关系式与本节对倒易点阵的几

17、何关系的规 定是一致的。 32 4.5 晶面间距、晶面夹角及晶带晶面间距、晶面夹角及晶带 4.5.1 晶面间距 什么是晶面间距？ 凡是一组平行晶面中最相邻的两个晶面间的距离。 (hkl)晶面, dhkl最相邻的晶面间距。 在晶体中晶面指数最低的晶面总是具有最大的晶面间距。晶面指数最低的晶面总是具有最大的晶面间距。 33 推导晶面距离公式 () () () () ()()() 2 2 202 2 2 222222 11 cos0 1 222 hkl hkl hkl HH d d H HHH HH Hhakblchakblc d h ak bl chk abhl ackl bc = = =+ =+

18、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将各个晶系晶体点阵常数与倒易点阵常数的关系带入 公式，即可求晶面间距。 在立方晶系中 () () () () 0 3 222 22 222 ,90 1 , 0 1 hkl hkl abc abcVa a abbcca hkl a d a d hkl = = = + = = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其它晶系作为了解，一般不常用。 34 4.5.2 晶面及晶向间夹角 什么是晶面夹角？ 两个指数不同的晶面间夹角 什么是晶向夹角？ 两个指数不同的晶向间夹角 这是研究晶体取向及研究与

19、 晶体取向有关的性质经常牵涉到 的问题 以立方晶系为例， 有指数为h1k1l1和h2k2l2两 个晶向，两者间夹角为 由晶向的定义可知： h1,k1,l1是h1k1l1在晶向方向上某 一点A1在三个晶轴上的坐标数 h2,k2,l2是h2k2l2在晶向方向上某 一点A2在三个晶轴上的坐标数 35 h1k1l1 与h2k2l2的夹角=OA1、OA2间的夹角 立方晶系 矢量的点乘： 11112222 OAh ik jl kOAh ik jl k+ ? ? 1212 cosOA OAOA OA ? ? 12 12 1 2121 2 222222 111222 cos OA OA OA OA hhk k

20、l l hklhkl = + = + ? ? 在立方晶系中，由于()() 1 1 11 1 122 222 2 hk lhk lh k lh k l， 晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）的夹角也适用上式。 立方晶系中，相同指数的晶面间和晶向间具有相同的夹角 其它晶系的情况比较复杂，不一一列出。 36 举例 与晶面之间的夹角 与晶面之间的夹角 与晶面之间的夹角 ()110 ()111 2 35.27 3 = s090 cos co= s090co= 110 112 ()100 ()010 37 4.5.3 晶带 在晶体中如果许多晶面族同时平行于一个晶向时，则这些 晶面称为晶带，这个晶轴称为晶

21、带轴。 () () ()()()()100010110110120120、 在图示的正交晶系中，晶面 均平行于001晶向，这些晶 面构成以001为晶带轴的晶 带。 38 规律：如果晶带轴的方向指数为uvwuvw，任何晶面具有(hkl)(hkl) 的指数，而且符合下列条件： hu+kv+lw=0hu+kv+lw=0 则这个(hkl)(hkl)晶面属于以uvwuvw为晶带轴的一个晶带。 证明： 因为同一晶带的各个晶面和其晶带轴都是互相平行的， 所以各晶带面的法线必定在垂直于晶带轴的同一平面 上。任何晶带面的(hkl)(hkl)的倒易矢量必与晶带轴uvw uvw 垂直， H ? ? 则晶带轴矢量ua

22、vbwc=+ ? Hhakblc =+ ? ? ? ? ? ? 因两者垂直()() 0 0 uavbwchakblc hukvlw += += ? ? ? ? ? 39 利用晶带轴和晶带面指数之间的关系，可以解答以下两个问 题： 1、如果(h1k1l1)和(h2k2l2)是以uvw为晶带轴的两个晶面族 则晶带轴的指数为 u = k1l2k2l1 v = l1h2l2h1 w= h1k2h2k1 2、如果一个晶面(hkl)同时属于两个晶带，其晶带轴分别为 u1v1w1 和 u2v2w2, 则晶面指数为 h = v1w2v2w1 k = w1u2w2u1 l = u1v2u2v1 40 例1：(1

23、00)和(110)两个晶面同时属于晶带轴(uvw) 则：u=0, v=0, w=1, 这个晶带轴是(001) 例2：(hkl)晶面同时属于两个晶带轴001和010 则：h=1, k=0, l=0, 这个晶面是(100) 41 4.6 晶体的极射赤面投影表示4.6 晶体的极射赤面投影表示 在晶体学及x 射线衍射工作中，非常需要用 一种方法将一个立体的晶体(或晶体点阵中的一个 晶胞)投影到一个平面上，以便很简单而明确地表 示晶体点阵中各个晶面的取向及其夹角间、晶带 间的关系以及对称性等特性。 经常用到两种方法：球面投影和极射赤面投 影。 4.6.1 球面投影 与参考球相比，晶体的相对体积很小，因此

24、可以认为 每个晶面都穿过球心，一般是任何通过球心的平面都和球 面相交成“大圆”，任何不通过球心的平面都和球面相交成 “小圆”。 42 设想： 将一个很小的晶体 放在一个大圆球(称参考 球或极球)的中心处由晶 体的各个不同晶面作它 们的法线和参考球的球 面相交为许多点(称极 点)，这种投影称为晶体 的球面投影。 极点实点(银灰色) 前半球 极点虚点(浅蓝色) 后半球 43 一般规律： 1、如果几个相交的平面(通过球心)具有一定的 夹角，那么它们的法线在球面上的极点P1、 P2、P3等也有一定的角距离。 2、如果这些晶面属于晶体中的同一晶带，那 么它们的法线在同一平面上，因而它们的 极点P1、P2

25、、P3在同一大圆上，而其晶带轴 的极点在90以外，即垂直于大圆的直 径和参考球面所形成的极点。 44 4.6.2 极射赤面投影 将观察者的眼睛放在参考球的一个极点上(或在P处放一 个光源)，连P点及球心的连线，在对方球面上交于 点，则 通过赤道并且垂直于的平面将成为投影面。与参考球相 交于赤道成为一个大圆，这个大圆称为基圆。 A A p pp 45 晶体上某一个晶面的法线与参考球面相交而成 的A点，将投影到基园上成为 点。 晶体点阵平面的球面投影极点在上半球以内者 均可以投影到基圆以内，而在下半球面上的极点， 则投影到基圆以外。愈近P点的极点，投影点距基 圆圆心愈远。若需要下半球极点的投影，可

26、将光源 移至P点，投影面不变，所得投影点一律加以负 号或用空心圆圈表示。投影面是过赤道面的平面， 观察点在极点上，顾名思义，这种投影方式称之为 “极射赤面投影”。 A 46 参考球上的大圆投影到基 圆上成为圆弧，其两端在 基圆直径的两对点上。 通过PP的大圆其投影 在基圆上成为直径。 (1)求取极射赤面投影求取极射赤面投影S值的 方法 值的 方法 球面上某一极点x与P之 间的角距离为，则x点在极射 赤面上的投影极点x与基圆圆 心O之间距离为S， S= OPtg(/2) = rtg(/2) 47 (2) 参考球上的小圆的极射 赤面投影 参考球上的小圆在极射 赤面上的投影图也将成为 圆，但球上小圆

27、的中心投影 到极射赤面上并不在投影图 的几何中心，但在角距离中 心。 推导证明！ 48 利用极射赤面投影的方法可以方便地把某一晶体的各个晶 面的法线方向标记到赤平面上。对于立方晶系晶体晶向和晶面 的法线方向是一致的，因此也就是把晶向标记到赤平面上，见 图4.6.8。图中，分别表示2重对称轴，4重对称轴，3重 对称轴。 (a) (100) (b) (011) (c) (111) ) 49 4.7 晶体的定向方法4.7 晶体的定向方法 根据布拉格方程2dhklsin=n，采用波长为的x射线 以角入射到晶体上，若满足该方程时，x射线就会在晶面间 距为dhkl的一族平行晶面(hkl)上产生衍射，n为整数。 图4.7.1 单色x射线衍射法定向原理图 50 本章小结本章小结 1、晶格中原子的表示方法：原子坐标 2、晶面的表示方法：晶面指数，如何确定？ 3、晶向的表示方法：晶向指数，如何确定？ 4、倒易点阵的意义？倒格子与正格子的关系？ 5、倒易点阵的矢量分析。 6、晶面间距，晶向间夹角，晶带与晶带轴。 7、极射赤面投影与球面投影，以及相关问题。