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1、01质点运动学质点运动学 1在离水面高度为在离水面高度为 h 的岸边，有人用绳子绕过的岸边，有人用绳子绕过 岸上的定滑轮拉船靠岸，船在离岸边岸上的定滑轮拉船靠岸，船在离岸边 s 距离距离 处。当人以速率处。当人以速率 v0匀速收绳时，试求船的速匀速收绳时，试求船的速 率和加速度大小（假设绳子不可伸长率和加速度大小（假设绳子不可伸长） 。 2在质点运动中在质点运动中，已知已知 0 d , d ktkt t y xaebkeyb t 。求质点的加速度和它求质点的加速度和它 的轨迹方程。的轨迹方程。 解解： （1） 2 2 2 dd , dd ktkt xx xx vakeaak e tt d ,
2、d kt y bke t 2 2 2 d , d kt y y abk e t 质点的加速度为：质点的加速度为： 22 , ktkt aak e ibk ej （2） d d kt y bke t 0 dd yt kt b ybket 0 t ktkt ybbebeb , kt ybe 由此可知，质点的轨迹方程为：由此可知，质点的轨迹方程为：,xyab s h v0 3一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。 现测得石子加速度为现测得石子加速度为 a = A-Bv，其中，其中 A、B 为正恒量，为正恒量，v 是
3、石子的速率。是石子的速率。 在在 t = 0 时石子开始下落，选取石子下落方向为时石子开始下落，选取石子下落方向为 y 轴正向，下落起点为坐轴正向，下落起点为坐 标原点，试求石子下落时的速度和运动方程。标原点，试求石子下落时的速度和运动方程。 4一质点沿一直线运动一质点沿一直线运动，其加速度为其加速度为 a = -2x， ，式中式中 x 的单位为的单位为 m，a 的单位的单位 为为 m/s2。试求该质点的速度。试求该质点的速度 v 与位置坐标与位置坐标 x 之间的关系。设当之间的关系。设当 x = 0 时时， v0= 4 m/s。 解解依题意依题意 xv v vdvxdx x dx dv v
4、dt dx dx dv dt dv a 0 0 2 2 积分得积分得 222 0 2 0 22 2162 )( 2 1 xxvv vvx 5火箭沿竖直方向由静止向上发射，加速度随时火箭沿竖直方向由静止向上发射，加速度随时 间的变化规律如图所示。试求火箭在间的变化规律如图所示。试求火箭在 t = 50s 时时 燃料用完那一瞬间所能达到的高度及该时刻火燃料用完那一瞬间所能达到的高度及该时刻火 箭的速度。箭的速度。 解：由图可知解：由图可知 第一阶段：第一阶段：t 2 1 a t dt v 2 1d tdt 2 1 dv 积分得积分得 tdtdv t v 002 1 2 4 1 vt 当当st20时
5、，时，smv/100。 由由 2 4 1 t dt dx v 积分有积分有 dttdx tx 2 00 4 1 得得mxsttx 3 2000 ,20, 12 1 3 第二阶段第二阶段 dttdv t dt dv a ) 3 20 6 1 ( 3 20 6 1 积分积分 dttdv tv 20100 ) 3 20 6 1 ( 得得 3 200 3 20 12 1 2 ttv 再积分再积分 dtttdx tx 20 2 3 2000 ) 3 200 3 20 12 1 ( 得得 9 4000 3 200 3 10 36 1 23 tttx 当当st50时，时，smv/475，mh7 .8916。
6、 6一质点沿半径为一质点沿半径为 R 的圆周按规律的圆周按规律 2 0 1 2 sv tbt运动运动， 0 v和和b都是常量都是常量。（1） 求求 t 时刻质点的总加速度时刻质点的总加速度； （2）t 为何值时，总加速度在数值上等于为何值时，总加速度在数值上等于 b？ （3）当加速度达到）当加速度达到 b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？时，质点已沿圆周运行了多少圈？ 7一质点沿半径为一质点沿半径为 0.1m 的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为 3 24t ， 的单位为的单位为 rad，t 的单位为的单位为 s。试求试求： （1）在在2ts 时时，质
7、点质点 的切向加速度和法向加速度的大小的切向加速度和法向加速度的大小； （2）当当 等于多少时等于多少时，质点的加速度质点的加速度 与半径的夹角成与半径的夹角成45 ？ 解解（1）质点的角速度及角加速度为）质点的角速度及角加速度为 t dt d t dt d w 24 12 2 2 2 法向与切向加速度大小为法向与切向加速度大小为 RtRa RtRwa t n 24 144 42 当当st2时时 2 2 /8 . 4 /4 .230 sma sma t n （2）设时刻）设时刻 t时，时，a 和半径夹角为和半径夹角为 45o,此时此时 tn aa ，即，即 4 24144RtRt 得得st 6
8、 1 3 radtt67. 242)( 3 8甲乙两船同时航行甲乙两船同时航行， 甲以甲以 10 m/s 的速度向东的速度向东， 乙以乙以 5 m/s 的速度向南的速度向南。 问问： 从乙船的人看来从乙船的人看来，甲的速度是多大？方向如何？反之甲的速度是多大？方向如何？反之，从甲船的人看来从甲船的人看来， 乙的速度又是多大？方向如何？乙的速度又是多大？方向如何？ 解解： （1）建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系，则可知则可知， 10 ,5 ,vi vj 甲甲地地乙乙地地 +105 ,vvvvvij 甲甲乙乙甲甲地地地地乙乙甲甲地地乙乙地地 可知，甲相对于乙船的速度大小为：可知，甲相对于乙船的
9、速度大小为： 22 10 +511.2/ ,m s 甲相对于乙船的速度方向可由其与甲相对于乙船的速度方向可由其与 x 轴正向的夹角轴正向的夹角 来确定：来确定： 0.5,arctg （2）同理可知，）同理可知， 105 ,vij 乙乙甲甲 方向与方向与v 甲甲乙乙相反。 相反。 02牛顿运动定律牛顿运动定律 1重物重物 A 和和 B 分别重分别重200 A GN 和和400 B GN ， 并以弹簧并以弹簧 互相连接。重物互相连接。重物 A 沿铅垂线做简谐运动。以沿铅垂线做简谐运动。以 A 的平衡的平衡 位置为坐标原点位置为坐标原点，取坐标轴正向向下取坐标轴正向向下，如图所示如图所示。A 的的
10、的运动学方程为的运动学方程为cosxht ，其中振幅其中振幅 2 1.0 10hm 圆频率圆频率8 rad/s。弹簧的质量不计。求。弹簧的质量不计。求： （1）弹簧）弹簧 对对 A 的作用力的作用力 N 的最大值和最小值的最大值和最小值； （2）B 对支撑面对支撑面 的压力的最大值和最小值。的压力的最大值和最小值。 解：取解：取 A、B 为研究对象，为研究对象，A、B 受力如图。受力如图。 （1）按图有按图有 AAAA AAAA PxwmwthwmPN wthwm dt xd mamNP 22 2 2 2 cos cos A 在最低位置时，在最低位置时，hx ，这时，这时 2 hwa，N 有最
11、大值有最大值 N g hw PhwmPN AAA 8 .328)1 ( 2 2 max A 在最高位置时，在最高位置时，hx，这时，这时 2 hwa ，N 有最小值有最小值 N g hw PhwmPN AAA 2 .71)1 ( 2 2 min （2）B 对支承面压力的最大值和最小值分别为对支承面压力的最大值和最小值分别为 NNPR NNPR B B 2 .471 8 .728 minmin maxmax 2有一小球在水中竖直沉降有一小球在水中竖直沉降， 已知小球的质量已知小球的质量为为 m，水对小球的浮力为水对小球的浮力为 B，浮力小于重力浮力小于重力。水水 对 小 球 的 阻 力对 小 球
12、 的 阻 力 R 正 比 于 小 球 的 速 率 ，正 比 于 小 球 的 速 率 ， RKv ，式中负号表示阻力式中负号表示阻力，常数常数0K 。 在初始时刻在初始时刻 0 0t 将小球浸没在水中，小球初将小球浸没在水中，小球初 速度速度 0 0v 。求。求 t 时刻小球在水中竖直沉降的时刻小球在水中竖直沉降的 速度和下沉的距离。速度和下沉的距离。 3电梯中有一质量可以忽略的滑轮，轮轴无摩擦，电梯中有一质量可以忽略的滑轮，轮轴无摩擦， 两侧用轻绳悬挂着质量分别为两侧用轻绳悬挂着质量分别为 1 m和和 2 m的重物的重物 A 和和 B。 （1）当电梯匀速上升时，求绳中张力和物）当电梯匀速上升时
13、，求绳中张力和物 体体 A 相对于地面的加速度相对于地面的加速度。（2） 当电梯以加速度当电梯以加速度 r a 上升时，求绳中张力和物体上升时，求绳中张力和物体 A 相对于地面的加速相对于地面的加速 度。度。 4密度为密度为 的细棒的细棒，长度长度 l，面积为面积为 1， ，上端用细线上端用细线 悬着悬着，下端紧贴着密度为下端紧贴着密度为 的液体表面的液体表面。现剪断现剪断 悬线，求细棒恰好全部没入水中时的沉降速度。悬线，求细棒恰好全部没入水中时的沉降速度。 设液体没有粘性。设液体没有粘性。 解：以棒为研究对象，在下沉的过程中，受力如图：解：以棒为研究对象，在下沉的过程中，受力如图： 以液面为
14、原点，竖直向下建立坐标系。以液面为原点，竖直向下建立坐标系。 当棒的最下端与水面距离当棒的最下端与水面距离 x 时时，浮力大小为浮力大小为（截面积截面积 为为 1） ：Bxg ， 此时棒受到的合外力为：此时棒受到的合外力为：(),Fmgxgglx 利用牛顿定律建立方程：利用牛顿定律建立方程： d (), d v mglx t 要要 求速度求速度 v 与位置与位置 x 的关系式，消去时间的关系式，消去时间 t ： d dd (), d dd vxv mglxmv txx 分离变量：分离变量：d()d ,lvvglxx 00 d( )d vl lvvg lgxx 222 2,lvglgl 2 . glgl v