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1、一 弹性力学的作用1. 弹性力学与材料力学、结构力学的综合应用，推动了工程问题的解决。弹性力学又称为弹性理论，是指被研究的弹性体由于受外力作用或由于温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。弹性力学的任务与材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。然而，这三门学科的研究对象上有所分工，研究方法也有所不同。弹性力学具体的研究对象主要为梁、柱、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受力体。在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下
2、的应力和位移，是材料力学的主要研究内容。在结构力学课程中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，也就是所谓杆件系统，例如桁架、刚架等。至于非杆状的结构，例如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，则在弹性力学课程中加以研究。如果要对于杆状构件进行深入的、较精确的分析，也必须用到弹性力学的知识。虽然在材料力学和弹性力学课程中都研究杆状构件，然而研究的方法却不完全相同。在材料力学中研究杆状构件、除从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都还要引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假设，这就大大简化了数学推演，但是，得出的解答有时只是近似的。在弹性力学中研究杆状构件，一般都不必引用
3、那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学中得出的近似解答。虽然，弹性力学中通常是不研究杆件系统的，然而近几十年来，不少人曾经致力于弹性力学和结构力学的综合应用，使得这两门学科越来越密切地结合。弹性力学吸收了结构力学中超静定结构分析方法后，大大扩展了它的应用范围，使得某些比较复杂的本来无法求解的问题，得到了解答。这些解答虽然在理论上具有一定的近似性，但应用在工程上，通常是足够精确的。在近二十几年间发展起来的有限元法，把连续弹性体划分成有限个有限大小的单元，然后，用结构力学中的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学综合应用的良好效果。此外，对同一结构的各个构件，
4、甚至对同一构件的不同部分，分别用弹性力学和结构力学或材料力学进行计算，常常可以节省很多的工作量，并且能得到令人满意的结果。总之，材料力学、结构力学和弹性力学这三门学科之间的界限不是很明显，更不是一成不变的。我们不应当强调它们之间的区别，而应当更多地发挥它们综合应用的威力，才能使它们更好地为我国的社会主义建设事业服务。2. 弹性力学在工程上的应用越来越深入，越来越广泛。在工程中出现的问题习惯上有如下的一些提法，如强度、刚度、稳定性、应力集中，波的传播、振动、响应、热应力等问题，这些都是弹性力学应用研究的对象。强度问题是研究受载荷物体中的应力分布和应力水平，研究在怎样的载荷下不发生永久变形。刚度问
5、题是研究受载荷物体在怎样的载荷下应变或位移达到规定允许的限度。稳定性问题是研究弹性结构或结构元件在静力或动力平衡时发生不稳定情况的条件。应力集中问题是研究当物体中有孔口或缺口存在时，在其附近发生应力增高现象。弹性动力学有波的传播、振动和响应等问题，由于考察的物体大小、形状，边界条件及其固有性质不同，以及所考察问题的外载荷和时间段的不同，故有上述问题的提法和分类，但本质上都和波的传播有关。在近代航天、航空、航海、海洋、机械、土木、化工等工程领域中不断地提出上述各种问题需要解决，在设计时要求高度的准确性，这都离不开弹性力学的应用，也在促进弹性力学的发展。3. 弹性力学的基础知识是正确利用有限元的基
6、础。目前，有限单元法已经在航空、造船、机械、冶金、建筑等工程部门广泛应用，并取得显著效果，它是一种行之有效的偏微分方程数值解的计算方法。现在各行各业都已经拥有了一定数量的商业有限元程序。如何使这些程序为更多的人掌握和应用，极大限度地发挥和应用这些程序解决工程问题，是非常重要的。但是有限元商业程序不是一个“傻瓜”式的应用程序，它是基于一定的基础理论知识，如用有限元求解结构的应力、应变问题就是基于弹性力学的知识建立起来的，对弹性力学知识的掌握和理解程度直接关系到有限元程序应用的效果。二弹性力学在常用坐标系下的基本方程归纳从静力平衡，变形几何，应力应变三个方面的条件求得的基本方程有：2.1直角坐标系
7、中的基本方程：2.1.1平衡微分方程： 其中，作用于物体体积上的应力为： A=， ， ， ，作用于微元体上的体力三个分量为：，。 本式表示了应力分量与体力分量之间的关系，称为平衡微分方程，又成纳维叶（Navier）方程。2.1.2几何方程： 其中， 为6个应变分量； ，为3个位移分量。2.1.3物理方程： ，以上公式就是各向同性材料的广义Hooke定律，表示了线性弹性应力与应变间的关系。为横向变形系数（泊松比），E为拉压弹性模量，为剪切弹性模量，且。2.2极坐标系中的基本方程：2.2.1平衡微分方程： 图中所示即为极坐标系下扇形微单元体PACB的应力及应变分析，得到以下的平衡微分方程： 2.2
8、.2几何方程： 在极坐标系中，通过对物体内一点P的两个正交线元（PA=dr,PB=）的变形几何分析，得到相应的几何方程。用和分别表示线元PA和PB的相对伸长，即正向和切向正应变，用表示该两个正交线元直角的变化，即剪应变。用，分别表示P点的径向和环向位移。它的平面问题几何方程如下： 2.2.3本构方程: 只需将直角坐标系下本构方程的x,y用r, 替换即可得到极坐标系的本构方程，如下： 2.2.4边界条件： 力的边界条件：这里的外法向方向余弦（l，m）是对局部标架定义的，表示沿着r和方向的给定面力分量。 位移边界条件：。三弹性力学解题的主要方法3.1位移解法 以位移作为基本未知量，将基本方程化为用
9、位移表示的控制方程，边界条件也化为用位移表示；在给定的边界条件下求解控制方程，从而求得位移解，然后将位移代入几何方程求导得到应变，再将应变代入本构方程得到应力解。此法的关键在于导出位移表示的控制方程，其方程如下： 通常称为拉姆（Lame）方程,即位移法求解的控制方程。 位移边界条件：。3.2应力解法以应力为基本未知量，将基本方程化为用应力表示的控制方程，边界条件也用应力表示，在给定的边界条件下求解控制方程得到应力解，将应力解代入本构方程得到应变解，再运用几何方程积分可以求得位移解。应力法的控制方程如下：（1）平衡方程 （2）相容方程 应力法的边界条件如下： 由上面的公式可以看出：如果问题是常体
10、力，单连通，应力边值问题，由于在控制方程和边界条件中都不含材料常数，因此应力解与材料无关。四例题4.1如图所示单位厚度平板，两端受均布压力P作用下，上，下边界刚性约束，不考虑摩擦，不计体力，用位移法求解板的应力和位移。 解：由对称性及上，下边界的刚性约束条件可设： u=u(x),v=0 （a）代入拉姆方程式，第2式称为恒等式，第1式成为 （b）解之得: u=ax+b (c)位移边界条件：已自动满足。由对称性 （d）将（c）式代入（d）式得： b=0从而有 u=ax (e)待定系数a可以由位移表示的应力边界条件确定，为此将(e)式代入边界条件式得： (f)右边界：，代入(f)式的第1式得 (g)
11、第二个方程式为恒等式。 左边界结果相同。上，下边界，第一个方程式为恒等式；因为y方向已提位移边界条件，故第二个方程不能作为边界条件引入。 将(g)式代回（e）式得位移 （h）再将（h）式及v=0代入以下方程： 得到应力分量：。4.2 用应力法求解例4.1给出问题的应力和位移。 解：根据边界上的受力情况，我们试取 （a）显然，对于解(a)式，（1）已满足左右两侧的边界条件及上，下两侧无摩擦的已知条件；（2）满足了平衡方程式和相容方程式。本体为混合边值问题，待定常数A只能由位移边界条件（b）式确定。 （b）为此，必须由解（a）式解出相应的应变和位移。 将（a）式代入本构方程式得： （c）利用几何方程式得第1,2式积分 （d）代入几何方程的第3式，并注意到（c）式得第3式，得 所以， 其解为 （e）于是 （f）利用对称性条件和可得 再利用边界条件（b）式可解得 （g）从而有应力和位移解： 4.3写出图中所示悬臂梁上边界和右端面的边界条件。 解：上边界（负面）上面力。负面上的应力等于对应面力上的负值，故有 右边界（正面）上作用有y方向面力合力P，x方向合力为零，面合力矩为M。按上述面力合力和合力矩正负号规定，力P沿y轴负方向，故面合力为负（=-P，=0）；面按图示坐标系，正的力偶矩方向为逆时针方向，故题给力偶矩为负（mz=-M）,从而有以下应力边界条件：