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1、 1 微分方程的求解 一、n 阶微分方程 微分方程的求解 一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程： 2 2 d yd x + +p(x) xd dy + +q(x)y=f(x) 2 2、 n 阶微分方程： y (n)+ +a 1y (n-1)+ +a 2y (n-2)+ +a 3y (n-3)+ + . + +a ny=f(x) 二、微分算子法 二、微分算子法 1、定义符号：D x = d d ，D 表示求导，如 Dx 3=3x2，Dny 表示 y 对 x 求导 n 次； D 1 表示积分，如 D 1 x= x 2 1 2 , n D 1 x 表示 对 x 积分 n 次，不要常数。 2、计算 将
2、 n 阶微分方程改写成下式： D ny+ +a 1D n-1y+ +a 2D n-2y+ +a 3D n-3y+ + . + +an-1Dy+ +any=f(x) 即 （D n+ +a 1D n-1+ +a 2D n-2+ +a 3D n-3+ + . + +a n-1D+ +an）y=f(x) 记 F(D)=D n+ +a 1D n-1+ +a 2D n-2+ +a 3D n-3+ + . + +an-1D+ +an 规定特解规定特解：y *= )( F(D) 1 xf 3、3、 F(D) 1 的性质 的性质 (1)性质一(1)性质一： F(D) 1 e kx = F(k) 1 e kx (
3、F (k) 不等于 0） 注注：若 k 为特征方程的 m 重根时，有 F(D) 1 e kx = xm (D)F 1 (m) e kx = xm (k)F 1 (m)e kx 2 (2)性质二 (2)性质二： F(D) 1 e kx v(x)= ekx k)F(D 1 + v(x) (3)性质三(3)性质三：特解形如 F(D) 1 sin(ax)和 F(D) 1 cos(ax) i.i.考察该式（该种形式万能解法） ： F(D) 1 e iax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注注：欧拉公式 e iax= cos(ax)+i +isin(ax
4、) 虚数 i i 2 2 = = -1-1 ii.ii.若特解形如 ) F(D 1 2sin(ax)和 ) F(D 1 2cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若 F(-a 2) 0，则 )F(D 1 2 sin(ax)= )F(-a 1 2 sin(ax) )F(D 1 2 cos(ax)= )F(-a 1 2 cos(ax) 若 F(-a 2)= 0 ， 则按 i.i.进行求解， 或者或者设-a 2为 F(-a2) 的 m 重根，则 )F(D 1 2sin(ax)=x m )(DF 1 2(m)sin(ax) )F(D 1 2cos(ax)=x m ) (DF 1 2(m)cos(ax)
5、 3 (4)性质四（多项式） (4)性质四（多项式） ： F(D) 1 （x p+b 1x p-1+b 2x p-2+.+b p-1x+bp） = Q(D)（x p+b 1x p-1+b 2x p-2+.+b p-1x+bp） 注：注：Q(D)为商式，按 D 的升幂排列，且 D 的最高次幂为 p 。 (5)性质五（分解因式）: (5)性质五（分解因式）: )( F(D) 1 xf = )( )(F(D)F 1 21 xf D = )( )(F(D)F 1 12 xf D (6)性质六: (6)性质六: )()( F(D) 1 21 xfxf+ = )( F(D) 1 )( F(D) 1 21
6、xfxf+ 三、例题练习 例 1. 三、例题练习 例 1. 2 2 d yd x + +4y=e x 则(D 2+4)y=ex ,特解 y *= 4 1 2 +D e x= 41 1 2 + e x= 5 1 e x (性质一) 例 2、 例 2、 y (4)(4)+ +y=2cos(3x） ，则(D4+ +1)y= 2cos(3x） 特解y *= 1 1 4 +D 2cos(3x）= 2 1 1 4 +D cos(3x） = 2 1)3- ( 1 22 + cos(3x）= 41 1 cos(3x）(性质三) 4 例 3、例 3、 2 2 d yd x -4 xd dy + +4y= x 2
7、e2x ,则(D2-4D+ +4)y= x2e2x 特解 y *= +44- 1 2 DD x 2e2x = e2x 2-2 1 2 ）（+D x 2 = e 2x 1 2 D x 2 = 12 1 x 4e2x （性质二） 例 4、例 4、 3 3 d yd x -3 2 2 d yd x + +3 xd dy - y=e x ,则(D3-3D2+ +3D-1)y=ex 特解 y *= 3 1- 1 ）（D e x =ex 3 1-1 1 ）（+D 1 1 =e x 3 1 D 1 1= 6 1 x 3ex (性质二） 例 5、 例 5、 3 3 d yd x -y=sinx ,则(D 3-
8、1)y=sinx ,特解 y *= 1- 1 3 D sinx 考察 1- 1 3 D e ix 1- 1 3 D e ix= 1-i 1 3e ix= 1i 1 - + e ix= 2 1- i e ix = 2 1- i (cosx+i+isinx) =- 2 1 (cosx+ +sinx)+i+i 2 1 (cosx-sinx) 取虚部为特解y *= 2 1 (cosx-sinx) (性质一、三) 5 例 6、例 6、 2 2 d yd x + +y=cosx ，则(D 2+1)y=cosx ，特解 y *= 1 1 2 +D cosx 考察 1 1 2 +D e ix 1 1 2 +D
9、 e ix= i) i)(D-( 1 +D e ix= i)i)(D-( 1 +D e ix = i 2i)-( 1 D e ix=eix i)- i(i 2 1 + D 1 1 =- 2 i xe ix= 2 1 xsinx-i i 2 1 xcosx 取实部为特解y *= 2 1 xsinx (性质一、二、三） 例 7、 例 7、 4 4 d yd x -y=e x ，则(D4-1)y= ex 特解y *= 1- 1 4 D e x= )11)(D1)(D-( 1 2 +D e x = )11)(11)(1-( 1 2 +D e x = 1 - 1 D 2 1 2 1 e x = 1 -
10、1 D4 1 e x = 4 1 e x 1 - 1 1 +D 1 1= = 4 1 xe x （性质一、二、五） 例 8、例 8、 2 2 d yd x + +y=x 2-x+ +2 , 则(D2+1)y= x2-x+ +2 特解y *= 1 1 2 +D (x 2-x+ +2) =(1-D 2)(x2-x+ +2)=x2-x (性质四) 6 例 9、例 9、 2 2 d yd x + +2 xd dy + +2y=x 2e-x ,则(D2+ +2D+ +2)y=x2e-x 特解 y *= 1) 1( 1 2 +D x 2e-x=e-x 1) 11-( 1 2 +D x 2 =e -x 1
11、1 2 +D x 2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2) （性质二、四） 例 10、例 10、 2 2 d yd x + +y=xcosx ，则(D 2+1)y=xcosx ， 特解y *= 1 1 2 +D xcosx ，考察 1 1 2 +D xe ix 1 1 2 +D xe ix= i)i)(D-( 1 +D xe ix=eix i)ii)(D- i( 1 +D x =e ix i)2(D 1 +D x=e ix ) 4i 2 1 ( 1D D + x =e ix ) 4 1 i 2 x ( 1 + D x =e ix )x 4 1 i 4 x ( 2 + x =(cosx+i+isinx) )x 4 1 i 4 x ( 2 + x = 4 1 (xcosx+ +x 2sinx)+i +i 4 1 (xsinx-x 2cosx) 取实部为特解y *= 4 1 (xcosx+ +x 2sinx) (性质二、三、 四）