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1、南京信息工程大学孟祥瑞 1 常微分方程 知识点总结： 一、一阶微分方程 1、变量可分离的： )( )( yg xf dx dy =；通解解法：分离变量两端积分 =dxxfdyyg)()( 2、齐次方程：)( x y f dx dy =； 通解解法： （I）令 x y u=，则 dx du xu dx dy +=，把带入原方程化为：)(uf dx du xu=+ （II）分离变量两端积分得： = x dx uuf du )( ，即 )(uF eCx=，其中 uuf uF = )( 1 )( （III）把 x y u=带入得原方程通解： )( x y F eCx= 3、一阶线性微分方程：)()(x
2、QyxP dx dy =+；通解： + = CdxexQey dxxPdxxP)()( )( 4、BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli 方程：) 1 , 0()()(=+nyxQyxP dx dy n ；通解： + = CdxexQney dxxPndxxPn n )()1()()1( 1 )()1 ( 5、全微分方程：0),(),(=+dyyxQdxyxP或 ),( ),( yxQ yxP dx dy =（其中Dyx y P x Q = ),( ,） y P x Q = ),(yxuu=，使得QdyPdxdu+=，即Q y u P x u = = ,；通解
3、：Cyxu=),( （1）求),(yxu解法一（曲线积分法）取一定点()Dyx 00, ，则 dyyxQdxyxPyxu y y x x ),(),(),( 00 0 +=或者dyyxQdxyxPyxu y y x x ),(),(),( 0 00 += （2）求),(yxu解法二（偏微分法） （I）因为P x u = ，则可设)(),(),(ydxyxPyxu+= （II）又因为Q y u = ，所以 ),()(),()( ),( yxuyyxQy y dxyxP y u 可求可求=+ = 或（I）因为Q y u = ，则可设)(),(),(xdyyxQyxu+= （II）又因为P x u
4、= ，所以 ),()(),()( ),( yxuxyxPx x dxyxP y u 可求可求=+ = 二、高阶可降阶的微分方程 1、)( )( xfy n =型；通解 n nn CxCxCdxdxxfy+= 2 2 1 1 )( 2、),(yxfy= 型，特点：隐含y； 解法： （I）令)(xpy=，则 dx dp y= ，把带入原方程得),(pxf dx dp =，设其通解为),( 1 Cxp= 南京信息工程大学孟祥瑞 2 （II）回代得),( 1 Cx dx dy p=，所以原方程的通解为 21) ,(CdxCxy+= 3、),(yyfy= 型，特点：隐含x； 解法： （I）令)(ypy=
5、，则 dy dp py= ，把带入原方程得),(pyf dy dp p=，设其通解为),( 1 Cyp= （II） 回代得),( 1 Cy dx dy p=， 分离变量两端积分： =dx Cy dy ),( 1 ， 所以原方程的通解为 2 1) ,( Cx Cy dy += 三、高阶线性微分方程 1、二阶常系数线性齐次微分方程：0=+ qyypy，通解如表： 特征方程0 2 =+qprr的根 0=+ qyypy的通解 两不等的实根 21 rr xrxr eCeCy 21 21 += 两相等的实根rrr= 21 () rx exCCy 21+ = 一对共轭复根ir= 21, ()xCxCey x
6、 sincos 21 += 2、n阶常系数线性齐次微分方程：0 )1( 1 )( =+ ypypy n nn ，通解如表： 特征方程0 1 1 =+ n nn prpr的根0 )1( 1 )( =+ ypypy n nn 的通解中对应的项 k重实根r () rxk k exCxCCy 1 21 += k重共轭复根ir= 21, ()()xxDxDDxxCxCCey k k k k x sincos 1 21 1 21 += 3、二阶常系数线性非齐次微分方程：)(xfqyypy=+ 设 * y为)(xfqyypy=+ 的一个特解，Y为所对应齐次方程0=+ qyypy的通解，则Yyy+= * 为
7、)(xfqyypy=+ 的通解 )()(xPexf m x =时，则可设 = = = = 是特征重根 是特征单根 不是特征根 , 2 , 1 , 0 ),( * k k k xQexy m xk ，代入原方程可确定)(xQm的系数； 特别地： x Aexf =)(时，则 + + = 是特征重根 是特征单根 不是特征根 , 2 , 2 , 2 2 * x x x eAx p Axe qp Ae y xxQxxPexf lm x sin)(cos)()(+=时，lmMaxn,=，则可设 = = += 是特征根 不是特征根 ik ik xxRxxSexy nn xk , 1 , 0 ,sin)(co
8、s)( * ，代入原方程可确定)(),(xRxS nn 的系数 四、积分方程：求导可化为微分方程的初值问题 公式；)()()()(xfxdttfx x a = = ；)()()()()()()( )( )( xvxvfxuxufxdttfx xu xv = = 南京信息工程大学孟祥瑞 3 a )(xfy= y O bx 图 6-5 = b a dxxfA )( 定积分的应用 知识点总结： 一、平面图形D的面积 方法一利用二重积分性质： = D D dA 方法二利用定积分 1 1、直角坐标的情形、直角坐标的情形 2 2、极坐标的情形、极坐标的情形 二、体积 1、旋转体体积 由曲线)(xfy=，直
9、线,ax=)(babx=及x轴所围成的曲边梯形 分别绕x轴、y轴旋转一周而成的旋转体的体积分别为： .)( 2 2 = b a b a x dxxfdxyV；.)(2 2 = b a b a y dxxfxydxxV 由曲线)(yx=，直线,cy=)(dcdyBAC时，有极值，且 有极小值 有极大值 , 0 , 0 A A ； (2)0 2 BAC时，无极值； (3)0 2 =BAC时，情况不定。 2、多元函数的条件极值 求函数),(zyxfu=在满足条件：0),(=zyx下的条件极值。 构造拉格朗日函数),(),(),(zyxzyxfzyxL+= 令 = =+= =+= =+= 0),(),
10、( 0),(),(),( 0),(),(),( 0),(),(),( zyxzyxL zyxzyxfzyxL zyxzyxfzyxL zyxzyxfzyxL zzz yyy xxx 解方程组得驻点和不可导点为可能的极值点),(zyx。 3、闭区域D（D的边界曲线0),(:=yxL ）上的连续函数),(yxfz=的最值求法 （I）求D内的可能的极值点，即),(yxfz=在D内的驻点和不可导点： t PPP, 21 （II）求D上的可能的极值点，即),(yxfz=在条件0),(=yx下的可能极值点： s QQQ, 21 （III）最大值)(,),(),(),(,),(),( 2121st QfQf
11、QfPfPfPfMaxM= 最小值)(,),(),(),(,),(),( 2121st QfQfQfPfPfPfMinm= 4、实际问题的最值 南京信息工程大学孟祥瑞 11 y )( 2 x)( 1 y 重积分 知识点总结 一、定义 1、二重积分 D dyxf),( ii n i i f = = ),(lim 1 0 2、三重积分 dxdydzzyxf),( iii n i i vf= = ),(lim 1 0 二、多元积分的物理意义 1、=M D dyxf),(表示：以),(yxf为面密度，形状为平面区域D的平面型物体的质量 2、=M dxdydzzyxf),(表示：以),(zyxf为体积密
12、度，形状为空间区域的立体型物体的质量 三、计算 （一）二重积分 = D dyxfI),( 1、在直角坐标系下计算： = D dyxfI),(= D dxdyyxf),( X-型：)()(,|),( 21 xyxbxayxDX=，则 = )( )( 2 1 ),( x x b a dyyxfdxI （1） Y-型：)()(,|),( 21 yxydycyxDY=，则 = )( )( 2 1 ),( y y d c dxyxfdyI （2） X-型区域Y-型区域既是 X-型又是Y-型区域 改变积分次序（D既是 X-型又是Y-型区域） ，则 = )( )( 2 1 ),( x x b a dyyxf
13、dxI = )( )( 2 1 ),( y y d c dxyxfdy 2、在极坐标系下计算： = D dyxfI),(= D rdrdrrf)sin,cos(（只要求D为-型区域） 极点O在D的外部： D=)()(, 21 r，则 = )( )( 2 1 )sin,cos( rdrrrfdI 极点O在D的边界上： c d 南京信息工程大学孟祥瑞 12 O )(=r OO )(=r )(=r D=)(0 , 2 r，则 = )( 0 )sin,cos( rdrrrfdI 令=或0)(r 极点O在D的内部： D=)(0 ,20r，则 = )( 0 2 0 )sin,cos( rdrrrfdI 3
14、、利用对称性计算 = D dxdyyxfI),( D关于x轴（0=y）对称，则 = += = ),(),(, 0 ),(),(,),(2 1 yxfyxf yxfyxfdyxf I D （ 1 D是D位于x轴上面的部分） D关于y轴（0=x）对称，则 = += = ),(),(, 0 ),(),(,),(2 1 yxfyxf yxfyxfdyxf I D （ 1 D是D位于y轴右边的部分） D关于yx,轴都对称，则 = = += += = ),()-,( ),(),( , 0 ),(),( ),(),( ,),(4 11 yxfyxf yxfyxf yxfyxf yxfyxf dyxf I D
15、 或 且 ,(是第一象限部分 11 D) D关于直线yx=轴对称，则 += DDD dxdyxyfyxfdydxxyfdxdyyxfI),(),( 2 1 ),(),( （二）三重积分 =dvzyxfI),( 1、直角坐标系下 =dxdydzzyxfI),( （1）投影法（先 1 后 2） ),(),(,),(),( 21 yxzzyxzDyxzyx xyxy =，则 = xy D yxz yxz dzzyxfdxdyI ),( ),( 2 1 ),( ),(),(,),(),( 21 zyxxzyxDzyzyx yzyz =，则 = yz D zyx zyx dxzyxfdydzI ),(
16、),( 2 1 ),( ),(),(,),(),( 21 zxzyzxyDzxzyx xzxz =，则 = xz D zxy zxy dyzyxfdxdzI ),( ),( 2 1 ),( （2）切片（先 2 后 1） = = 南京信息工程大学孟祥瑞 13 zz Dyxczczyx=),( ,),( 21 ，则 = z D c c dxdyzyxfdzI),( 2 1 xx Dzyaxazyx=),( ,),( 21 ，则 = x D a a dydzzyxfdxI),( 2 1 yy Dzxbybzyx=),( ,),( 21 ，则 = y D b b dxdzzyxfdyI),( 2 1
17、2、柱面坐标系下 =dzrdrdzrrfI),sin,cos( 直角坐标系下),(),(,),(),( 21 yxzzyxzDyxzyx xyxy =，令 = = sin cos ry rx ，则 )sin,cos()sin,cos(),(),( 2121 rrzzrrzyxzzyxz， rxy DrDyx),(),(，即 )sin,cos()sin,cos(,),(),( 21 rrzzrrzDrzr rxy = = xy D yxz yxz dzzyxfdxdyI ),( ),( 2 1 ),( = r D rrz rrz dzzrrfrdrdI )sin,cos( )sin,cos( 2
18、 1 ),sin,cos( 即柱面坐标系就是直角坐标系下 xy 型计算二重积分时利用极坐标系计算 3、球面坐标系下 =ddrdrrrrfIsin)sin,sinsin,cossin( 2 确定积分限的方法步骤： （I）先确定的范围, （II）,取，以该作半平面截得截面 D （III）在 D所在半平面上，以z轴正半轴为极轴，为极角确定 D的范围 ),(),(),()( 2121 rr 则),(),(),()(,),( 2121 rrrr=，从而 = ),( ),( 2 )( )( 2 1 2 1 sin)sin,sinsin,cossin( r r drrrrrfddI 4、利用对称性计算 =d
19、xdydzzyxfI),( 关于xOy面(0=z)对称， 1 为xOy以上部分，则 = += = ),(),(, 0 ),(),(,),(2 1 zyxfzyxf zyxfzyxfdxdydzzyxf I 关于yOz面(0=x)对称， 1 为yOz以前部分，则 = += = ),(),(, 0 ),(),(,),(2 1 zyxfzyxf zyxfzyxfdxdydzzyxf I 关于zOx面(0=y)对称， 1 为zOx以右部分，则 = += = ),(),(, 0 ),(),(,),(2 1 zyxfzyxf zyxfzyxfdxdydzzyxf I 关于xOy面(0=z)和yOz面(0=
20、x)对称， 11 为第一、四卦限部分，则 南京信息工程大学孟祥瑞 14 = +=+= = ),(),(),(),(, 0 ),(),(),(),(,),(4 11 zyxfzyxfzyxfzyxf zyxfzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxf I 或 且 关于xOy面(0=z)和zOx面(0=y)对称， 11 为第一、二卦限部分，则 = +=+= = ),(),(),(),(, 0 ),(),(),(),(,),(4 11 zyxfzyxfzyxfzyxf zyxfzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxf I 或 且 关于yOz面(0=x)和zOx面(0=y)对称， 11 为第一、
21、五卦限部分，则 = +=+= = ),(),(),(),(, 0 ),(),(),(),(,),(4 11 zyxfzyxfzyxfzyxf zyxfzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxf I 或 且 关于三个坐标面都对称， 111 为第一卦限部分，则 = +=+=+= = ),(),(),(),(),(),(, 0 ),(),(),(),(),(),(,),(8 111 zyxfzyxfzyxfzyxfzyxfzyxf zyxfzyxfzyxfzyxfzyxfzyxfdxdydzzyxf I 或或 且且 关于直线zyx=对称，则 =dxdydzyxzfdxdydzxzyfdxdydzzyxfI),(),(),( +=dxdydzyxzfxzyfzyxf),(),(),( 三、几何应用 平面区域D的面积： = D D dA；空间区域的体积： =dvV