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1、小学数学总复习归类讲解及训练（六） 主要内容 比例的意义和基本性质 学习目标 1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例 将 简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。 2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的 “项”、“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应 用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学 内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰 富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。 考点分析 1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放 大或缩
2、小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项， 中间的两项叫做比例的内项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性 质。 5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这 个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。 典型例题 例1、（把图形按某个比相应放大或缩小， 形状没有改变， 只是大小变了） A B C (1) 长方形 A 的长是 1.5 厘米，宽是 1 厘米；长方形 B 的长是 3 厘米， 宽是 2 厘米。这两个长方形的长有什么关系？宽呢？ (2) 如果要把长方形 A 按 1:2 的
3、比缩小，长和宽应是原来的几分之几？ 各是多少？ 分析与解： (1) 长方形 B 的长是长方形 A 的 2 倍，宽也是长方形 A 的 2 倍。或者 说长方形 B 和长方形 A 长的比是 2:1，宽的比也是 2:1。 把长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形的长和宽 与原来长方形的比是 2:1，就是把长方形 A 的长和宽按 2:1 的比进 行放大。 (2) 把长方形 A 按 1:2 的比缩小后为长方形 C，长、宽缩小为原来的 ，图 C 的长是 0.75 厘米，图 C 的宽是 0.5 厘米。 由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大 小变了。 例 2、（根据指定的比，
4、将图形按要求放大或缩小） 先按 3:2 的比画出长方形 A 放大后的图形 B，再按 1:2 的比画出长方 形 A 缩小后的图形 C。 （1）图 B 的长、宽各是几格？ （2）图 C 呢？ （3）观察这三幅图形，你有什么发现？ 分析与解： (1) 按 3:2 的比将长方形 A 放大，即将长方形 A 的长与宽分别扩大 1.5 倍，那么图 B 的长为 61.5 = 9 格，宽为 41.5 = 6 格。 (2) 按 1:2 的比将长方形 A 缩小，即将长方形 A 的长与宽分别缩小到原 来的 ，那么图 C 的长为 62 = 3 格，宽为 42 = 2 格。 (3) 从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大
5、或缩小后的图形与原来 的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都 符合指定的比。 点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是 缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。 例 3、（将两个相等比写成一个等式） 图 B 是由图 A 放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽 的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？ A B 分析与解： （1）图 A 中长与宽的比是 4:3；图 B 中长与宽的原始比是 8:6，而 8:6 化简后就是 4:3。 （2）这两个比化简后都是 4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一 个等式。即 4:3 = 8:6 或 = ，都
6、读作：4 比 3 等于 8 比 6。 例 4、（认识比例） 下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。 （1） 5 ：6 和 15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1 （3） ： 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 ： 分析与解： 分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能 组成比例。 （1） 因为 5 ：6 = ，15 ：18 = ，所以 5 ：6 = 15 ：18。 （2） 因为 0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1 不 能组成比例。 （3） 因为 ： = ， 1.2 ：0.8 = ，所以 ：
7、= 1.2 ：0.8。 （4） 6 ：2 = 3， ： = 3，所以 6 ：2 = ： 。 点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两 个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是 比例的意义。 A B C 3 厘米 6 厘米 4 厘米 8 厘米 3 4 6 8 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 8 1 8 1 8 1 8 3 8 3 8 3 6 5 6 5 2 3 2 3 例 5、（比例的各部分名称和比例的基本性质） 一台织布机 3 小时织布 3.6 米，4 小时织布 4.8 米。你能根据数量间的 关系写出比例吗？ 分析与解： (1) 这台
8、织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ：4 (2) 这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等 3.6 ：4.8 = 3 ：4 (3) 这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ：4.8 介绍“项”：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比 例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如： 3.6 ：3 = 4.8 ：4 内项 外项 观察题中的三个比例，你有什么发现？ 3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ：3.6 = 4 ：4.8 (1)3.6 和 4 可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。 (2)3.6 4
9、= 3 4.8， 可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。 (3) 如果把 3.6 ：3 = 4.8 ：4 改写成分数形式 = ，等号两边 的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。 (4) 如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d， 那么这个规律可表示成 ad = bc 或 bc = ad。 (5) 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性 质。 例 6、（比例基本性质的应用） 根据 2 7 = 1.4 10 这个等式写出几个比例。 分析与解：根据比例的基本性质，可以得出 2 和 7、1.4 和 10 这两组 数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。
10、1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10 10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4 2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7 7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2 点评： 像这样的比例一共可以写 8 个。但它们不变的是 2 和 7 要么 同时为内项，要么同时为外项，而 1.4 和 10 这一组数也一样。写的时 候可以一组一组地写了。 例 7、（按比例放大的含义） 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是 12.5 厘米，你有什么发现？ 4 厘米 5 厘米 分析与解：按比例
11、放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放 大，放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的 比与宽的比可以组成比例， 两张图片中各自长、 宽的比也可以组成比例。 12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4 例 8、（解比例） 上图中宽是多少厘米？ 分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的 式子，然后再根据等式的性质来解答。 解：设宽是厘米。 12.5 : 5 = : 4 5 = 12.5 4 根据比例的基本性质 5 = 50 = 10 答：放大后图片的宽是 10 厘米。 点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 同学们，你会
12、解答 这个比例吗？试试看吧！ 模拟试题 1、一张长方形图片，长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后，新图 片的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大 小（ ）。 2、一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ ）的比放大后，边长 变为 30 厘米。 3、按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形，按 1 : 3 的比画出长方形 缩小后的图形。 4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？ 6 10 和 9 15 20 5 和 4 1 5 1 和 6 2 5、在 2 5、12 0.2、310 15 三个比中，与 5.6 14 能组成比例的
13、一个比是 ( )。 6、在比例里，两个（ ）的积和两个（ ）积相等。 7、如果 A3=B5，那么 A B= ( ) ( )。 8、从 6、24、20、18 与 5 这五个数中选出四个数组成一个比例是： ( ) ( ) = ( ) ( )。 9、根据 38 = 46 写成的比例是（ ）、（ ）或（ ）。 10、甲数的 25% 等于乙数的 75%，那么甲数与乙数的比是（ ）（ ）。 11、 把左边的平行四边形按比例缩小后得到右边的平行四边形， 求未知数X。 （单位：厘米） 13、解比例 =3:12 14、在一个比例里，两个外项的积是 30，已知一个内项是 10，另一个内 项是（ ）。 3 3.6 4 4.8 x 12.5 4 5 = x 9 0.8 4.5 =: 6 1 5 2 2 1 x= 18 1.3 3.6 x =: 4 3 x