除法里的巧算.doc

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1、 第六讲 简算与巧算(3)除法里的巧算在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。一、除变连除。当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。如：560355607580516 147618147629738982 13156261315613210122506二、带号移动。没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。如：750041575001545004125 21071272107712301123612三、添去号变号。有括号的乘除混合运

2、算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。如：45002544500(254)450010045(添括号) 4500(94)4500945004125(去括号)需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。如：324369324(369)32441296(添括号) 48(270012)48270012481227004270010800四、双扩或双缩。也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数，达到速算的效果。如：91035(910

3、2)(352)18207026 240025(24004)(254)960010096 87200160(872008)(1608)1090020545正确掌握这几种方法，并在学习过程中注意合理使用，可以使自己的计算越来越快捷。如126045我们可以用以下多种方法速算。 126045(12602)(452)25209028(双扩) 126045(12609)(459)140528(双缩) 126045126095140528(除变连除)需要注意的是，如果是有余数的除法，余数也跟着同时扩大或同时缩小相同的倍数，计算时要特别注意。 教你一招：“同头无除”巧定商和余数象23024，被除数和除数的首位

4、数字相同（都是2），我们简称之为“同头”，但被除数前两位23要比24小，不够商1，就需要看被除数的前三位，我们简称之为“无除”。象这种“同头无除”的除法题一般商9或者是8。那么到底商9还是商8，又怎样很快写好余数呢？象23024，因为2410240，比230多10。而10比除数24小，所以商9，这时余数是24-1014，即有23024914。再如20024，因为2410240，比200多40。而40比除数24大，所以只能商8，这时余数是40-2416，24-168即有2002488。思考过程可简写或心算如下（见题后括号内） (1)45647933（470-45614，47-1433） (2)4

5、2047844（470-42050，50-473，47-344） (3)64566951（660-64515，66-1551） (4)32538821（380-32555，55-3817，38-1721）即在“同头无除”除法中，如果除数的10倍与被除数的相差量比除数小（或相等）时，商9；余数就是除数减去这个相差量的差。如果除数的10倍与被除数的相差量比除数大一些（但不足2倍），这时只能商8，余数为除数减去“相差量与除数的差”所得的差。同学们，你们学会了这类题的口算方法吗？下面这组题就请同学们口算看看！ (1)24026 (2)21024 (3)22026 (4)23026 (5)22826 (

6、6)21425 (7)27029 (8)22525小知识：神奇的弃九验算“弃九验算”是我国古代数学中的一枝奇葩。运用弃九法可以验算加、减、乘、除法的计算结果是否正确。神奇吧！要想学会这种神奇的验算方法，首先必须理解“弃九数”。因为“弃九法”的一个基本原理就是：先将参与计算的数的各个数位上的数字相加，逢九舍弃，得到弃九数。比如说：1349利用弃九法则有：134917，178，因此，1349的弃九数是8。当然，也可以先舍去9，算成1348。也就是说，在计算出一个数的弃九数时，也可以先把这个数中的9以及相加能得到9的数先行舍去，从而使得计算简便。下面，先说说用弃九法验算加法。比如说验算2476398

7、2874，2476的弃九数是1（4610，101，279直接舍弃了），398的弃九数是2（3811，112，数字9先舍弃了）这时，等号左边两弃九数相加有：123，而等号右边2874的弃九数正好是3（8412，123，279同样先舍弃了），前后都是3，说明计算正确。也就是说，如果“两个加数的弃九数之和和的弃九数”，那么计算正确。怎么样，方便吧！再说用弃九法验算减法。比如说验算42039873216。4203的弃九数是0（4239，990），987的弃九数是6（8715，1596），这时，左边06不够减，要看成963；右边3216的弃九数是3（123，369直接舍去了），两边相等，说明计算正确。同

8、样，如果“被减数的弃九数减数的弃九数差的弃九数”，计算一般正确。需要注意的是，如果出现了被减数的弃九数比减数的弃九数小，那就要先将被减数加上9，再减去减数的弃九数。接下来谈谈用弃九法验算乘法。例如验算75987350，75的弃九数是3（7512，123），98的弃九数是8（9直接舍去），这时，左边有3824，246，右边7350的弃九数是6（73515，156），两边相等，计算正确。也就是说，用弃九法验算乘法，只要看“乘数的弃九数乘数的弃九数”是否等于“积的弃九数”，如果相等，计算一般正确。最后说说用弃九法验算除法。例如验算44629746，一般地，我们是看“商的弃九数除数的弃九数”是否等于“

9、被除数的弃九数”。46的弃九数是1（4610，101），97的弃九数是7，而177，这时被除数4462的弃九数是7（446216，167），看来，计算正确。需要说明的是，弃九验算是一种不完全验算，它有一定的局限性，遇到下列几种情况时，往往检验不出计算结果的错误。一是如果抄写数字时颠倒了位置，比如说把7536误写成7563，它的弃九数并没有改变，即使计算结果错误，也往往检验不出来。 二是计算结果中出现丢0或多0现象，比如说将4080误写成480或408，误写后的数的弃九数不变，计算结果发生错误，也往往检验不出来。 三是如果计算结果有小数，把小数点的位置点错了，比如说将4.29误写成42.9或0.

10、429，利用弃九验算同样发现不了错误。尽管弃九法存在着上述的局限性，但它在检验多位数四则计算上，仍不失为一种较简捷的检验方法。速算与巧算一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.2.计算：（1）96+15（2）52+69解：（1）9

11、6+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.（2）28+28+28=（28+2

12、）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：加18减19的结果就等于减1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3

13、，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=59 中间数是5=45 共9个数（2）计算：1+3+5+7+9=55 中间数是5=25 共有5个数（3）计算：2+4+6+8+10=65 中间数是6=30 共有5个数（4）计算：3+6+9+12+15=95 中间数是9=45 共有5个数（5）计算：4+8+12+16+20=125 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于

14、首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）5=115=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）4=204=80共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法（1）计算：23+20+19+22+18+21解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.2

15、3+20+19+22+18+21=206+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=206=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.（2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=1005+2+0-1+1-2=500方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=1005

16、=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5. 加法中的巧算1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位

17、数字相加得10。如： 8765512345， 4680253198，8736212638，下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。2.互补数先加。例1 巧算下面各题：36+87+6499+136101 136197263928解：式=（3664）87=10087=187式=（99101）136=200+136=336式=（1361639）（97228）=2000+1000=30003.拆出补数来先加。例2 188873 548996 9898203解：式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）200+861=1061式=（548-4）（9964）=544+1000=1

18、544式=（9898102）（203-102）=10000+101=101014.竖式运算中互补数先加。如：二、减法中的巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27）300-100=200式=1000-（90802010）1000-2008002.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例4 4723-（723189） 2356-159-256解：式=4723-723-1894000-189=3811式=2356-256-1592100-159=19413.利用“补数”把接近整十、整百、整千的

19、数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。例 5 506-397323-189467997987-178-222-390解：式=5006-400+3（把多减的 3再加上）=109式=323-200+11（把多减的11再加上）=123+11134式=4671000-3（把多加的3再减去）1464式=987-（178222）-390987-400-400+10=197三、加减混合式的巧算1.去括号和添括号的法则在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改

20、变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：a（bcd）abcda-（bad）a-b-c-da-（b-c）a-b+c例6 100（102030） 100-（1020+3O） 100-（30-10）解：式=100102030=160式=100-10-20-30=40式=100-301080例7 计算下面各题： 100102030 100-10-20-30 100-3010解：式=100（10+20+30）=10060=160式=100-（1020+30）100-60=40式=100-（30-10）=100-20=802.带符号“搬家”例8 计算 32546-12554解：原式=325-12546+5

21、4（325-125）+（4654）=200+100300注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉例9 计算9+2-93解：原式=9-92+3=54.找“基准数”法几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。例10 计算 78+768382+778079856401.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：52=10254=1001258=1000例1 计算123425 125282554解：式=123（425）=12310012

22、300式=（1258）（254）（52）=100010010=10000002.分解因数，凑整先乘。例 2计算 2425 56125 1255325解：式=6（425）=6100=600式=78125=7（8125）=71000=7000式=1255485=（1258）（554）=1000100=1000003.应用乘法分配律。例3 计算 17534175666712+67356752+6解：式=175（34+66）=175100=17500式=67（1235521） 671006700（原式中最后一项67可看成 671）例4 计算 123101 12399解：式=123（1001）=1231

23、0012312300123=12423式=123（100-1）=12300-123=121774.几种特殊因数的巧算。例5 一个数10，数后添0；一个数100，数后添00；一个数1000，数后添000；以此类推。如：1510=15015100=150015100015000例6 一个数9，数后添0，再减此数；一个数99，数后添00，再减此数；一个数999，数后添000，再减此数； 以此类推。如：129120-12108129912001211881299912000-12=11988例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。如：6530165801165=580。例8 一个数乘以11，“两头一拉

24、，中间相加”。如 2222112444224561127016例9 一个偶数乘以15，“加半添0”.2415（24+12）10360因为2415 24（10+5）24（10102）=2410+24102（乘法分配律）2410+24210（带符号搬家）（24+242）10（乘法分配律）例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字（十位数字加1）100+25如1515=1（1+1）100+25=2252525=2（2+1）100+25=6253535=3（3+1）100+25=12254545=4（4+1）100+25=20255555=5（5+1）100+25=302565656（6+1）100+2

25、5=42257575=7（7+1）100+2556258585=8（8+1）100+25=722595959（9+1）100259025还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看算得快一书。二、除法及乘除混合运算中的巧算1.在除法中，利用商不变的性质巧算商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。例11 计算1105330025 44000125解：1105=（1102）（52）22010=22330025（33004）（254）13200100132 44000125=（440008）（1258）3

26、5200010003522.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。例12 86427548645427=1627=4323.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。例13 13959 215-65209024-4822418712-6312-5212解：139+59=（135）9=1892215-65（21-6）5155=3209024-48224（2090-482）241608246718712-6312-5212（187-63-52）127212=64.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内

27、的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。即a（bc）=abc 从左往右看是去括号，a（bc）abc 从右往左看是添括号。a（bc）abc例14 1320500250400012585600（286）372162542997729（8181）解： 13205002501320（500250）=132022640400012584000（1258）4000100045600（286）=5600286=2006=120037216254=372（16254）37231242997729（8181）299772981

28、81（299781）（72981）379333例1 计算999999999999999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成10001去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.例2 计算19999919999199919919解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 1991200） 19999919999199919919（199991）（199

29、991）（19991）（1991） （191）520000020000200020020-5222220-522225.例3 计算（1351989）（2461988）解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.19904979951990497995.例4 计算 389387383385384386388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 38938738338538438

30、638839071375642730282702.解法2：也可以选380为基准数，则有 389387383385384386388380797354682660422702.例5 计算（494249434938493949414943）6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. （494249434938493949414943）6（49406232113）6（494066）6（这里没有把49406先算出来，而是运49406666运用了除法中的巧算方法）494014941.例6 计算54999945解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可

31、得99，就可以运用乘法分配律进行简算了. 54999945（5445）999999999999（199）991009900.例7 计算 9999222233333334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为33333，规律就出现了. 99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000.例8 1999999999解法1：199999999910009999999991000999（1999）100099910001000（9991）100010001000000.解法

32、2：19999999991999999（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.巧用凑整法对于某些特殊加数的加法，常常用凑整十、整百、整千的方法进行简算。例1 计算：99.9+11.1。分析：先把99.9 拆成90+9+0.9，再把11.1 拆成10+1+0.1，然后把它们重新组合，凑整。解：99.9+11.1=（90+10）+（9+1）+（0.9+0.1）=100+10+1=111例2 计算：9+98+997

33、+6。分析：先把6 拆成1+2+3，然后把它们重新组合、凑整。解：9+98+997+6=（9+1）+（98+2）+（997+3）=10+100+1000=1110例3 计算：9+99+999+9999。分析：从9 里取出3 个1，分别与99、999、9999 相加，凑成整百、整千、整万，然后再相加。解：9+99+999+9999=（93）+（99+1）+（999+1）+（9999+1）=6+100+1000+10000=1116例4 计算：125+125+125+125+125+125+125+120。分析：我们知道1258=1000，可是现在只有7 个125。这时，我们不妨假定最后一个数也是

34、125。这样总和多了5，再减去5 就是了。解：125+125+125+125+125+125+125+120=12585=10005=995例5 计算：56798。分析：可先从567 中减去100，这样比应减的98 多减了2，再加上2就是最后的结果。解：56798=567100+2=467+2=469“以乘代除”当除数为5、25、125 时，都可以用乘法代替除法。具体办法是：用5 去除一个数时，将这个数乘以2 后，向左移一位小数点，即为商；用25 去除一个数时，将这个数乘以4后，向左移两位小数点，即为商；用125 去除一个数时，将这个数乘以8 后，向左移三位小数点，即为商。例1 计算：(1)7

35、65 (2)3755(3)211525 (4)10800125解：(1)765=76210=15210=15.2；(2)3755=375210=75010=75；(3)211525=（21154）100=8460100=84.6；(4)10800125=（108008）1000=864001000=86.4。这是因为765=（762）（52）=76210，211525=（21154）100=23500100=235。例2 计算：587525解：按上面的作法，本题的计算过程是：587525=（58754）25=235000100=235。这道题有没有更简单的方法呢？有。下面我们对除式进行恒等变形

36、：587525=（5800+75）25=（58100+75）25=5810025+7525=584+3=232+3=235不难发现， 当被除数的末尾两位数是25 的倍数时， 可以去掉被除数的末尾两位数，乘以4，再加上末尾两位数除以25 的商，即为原除式的商。例3 计算：(1)6750025 (2)315025(3)822525 (4)617525解：(1)6750025=6754+025=2700+0=2700；(2)315025=314+5025=124+2=126；(3)822525=824+2525=328+1=329；(4)617525=614+7525=244+3=247巧用恒等变形

37、恒等变形是小学数学中重要的思想方法。恒等变形常常需要利用我们学过的有关加、减、乘、除的性质。它是一种有目的性的数学变换。下面几个例题就是用恒等变形的方法进行简算的实例。例1 计算：1651+79。分析：在做加法时，常常用这样一种恒等变形：一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，它们的和不变。这个题可以从被加数中取出21 补在加数上，使加数变为100，从而达到简算的目的。解：1651+79=（165121）+（78+21）=1630+100=1730。例2 计算：59.79.9。分析：在做减法时，常常利用这样一种恒等变形：被减数、减数增加同一个加数，差不变。这道题可以让减数增加0.1，变为1

38、0。为了恒等，必须使被减数也增加同一个0.1。解：59.79.9=（59.7+0.1）（9.9+0.1）=59.810=49.8例3 计算：5.841.25。分析：在做乘法时，常常利用这样一种恒等变形：一个因数扩大若干倍，另一个因数同时缩小相同的倍数，积不变。这个题可让被乘数缩小8 倍，乘数同时扩大8 倍。这不是盲目的，因为我们熟知：1.258=10。解：5.841.25=（5.848）（1.25）=0.7310=7.3。例4 计算：9.72.5。分析：在做除法时，常常利用这样一种恒等变形：被除数、除数都同时扩大相同的倍数，商不变。因为大家熟知：2.54=10，所以，我们很自然地想到，使原除式

39、中被除数和除数都同时扩大4 倍。解：9.72.5=（9.74）（2.54）=38.810=3.88巧用运算规律在整数四则运算中，常常通过巧妙地利用交换律、结合律、分配律，达到简算的目的。在利用这些算律时，头脑一定要灵活，目的性要非常明确。例1 计算：5488。分析：这个乘积中，54 能分解出因数9，88 能分解出因数11，因而乘积中可出现因数99，99=1001。在求积过程中，尽量凑成100，这样利于简算。解：5488=69118=4899=48（1001）=480048=4752。例2 计算：12571。分析：这个乘积中有125，要是出现8，就会凑成1000，这有利于简算。如何使因数出现8 呢？由于71=721，而72=89，问题解决了。解：12571=125（721）=12589125=10009125=9000125=8875。例3 计算：66663333。分析：这个乘积中有3333，要是把它扩大3 倍，就会出现9999，而9999=100001。这样就凑成了